[v1.4] 기본가정 및 공리 - 스핀

A5. 스핀(Spin)의 정의 – SU(2) 스피너·홀로노미 관점

스핀은 Qaether 격자의 SU(2) 스피너가 폐곡선을 따라 병렬 수송될 때 생성되는 홀로노미가 ±1로 나타나 보손과 페르미온을 구분하는 창발적 위상적 자유도이다. 또한, 여러 스핀들이 정점에서 결합할 때는 SU(2) representation 합성 규칙을 따라야 한다.

1. 내부 자유도: SU(2) 회전 연산자로서의 쿼터니언 (스핀 자체가 아님)
   • A1의 쿼터니언 표기를 SU(2) 매트릭스 표현하면 $$\mathbf{q}_i = \cos\!\frac{\phi_i}{2}\,\mathbb I + i\,\sin\!\frac{\phi_i}{2}\,\bigl(\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma}\bigr) = \exp\!\Bigl[i\,\tfrac{\phi_i}{2}\,(\mathbf{n}_i\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma})\Bigr]$$
     • \(\mathbf{n}_i\in S^2\): 회전축(unit vector)
     • \(\phi_i\in(-\pi,\pi]\) : 회전각
     • \(\sigma^a (a=1,2,3)\) : Pauli 행렬
   • 스피너 작용
     • 2성분 복소 스피너 \(\psi_i\in\mathbb C^2\)에 \(\psi_i \;\mapsto\; \mathbf{q}_i\,\psi_i\)로 작용. 이때 \(\mathbf{q}_i\)는 로컬 회전을 수행하는 연산자.
2. 스피너의 병렬 수송 (Parallel Transport) 과 링크 위상차
   • A2의 링크 위상변수정의에 따라 병렬 수송 법칙을 정의하면
     • 셀 \(i\)의 스피너 \(\psi_i\)가 이웃 \(j\)로 전송될 때 \(\psi_j = U_{ij}\,\psi_i\)
     • 이 과정이 격자 전역에 걸쳐 일관되게 연결(parallelism)을 유지해야 물리적으로 모순이 없다.
   • 리 대수와 회전각 $$U_{ij} = \exp\bigl[i\,\tfrac{\Theta_{ij}}{2}\,(\mathbf{n}_{ij}\!\cdot\!\boldsymbol{\sigma})\bigr]$$
     • 여기서 \(\Theta_{ij}\)는 회전각, \(\mathbf{n}_{ij}\)는 회전축.
3. 홀로노미(Holonomy)와 스핀 통계
   • 홀로노미 정의 $$ W(C)=\prod_{e\in C} U_e \in SU(2),\qquad \Theta_C=\arccos\!\Big(\tfrac12\mathrm{Tr}\,W(C)\Big) $$
   • SU(2)–SO(3) 이중 피복
     • SU(2) 매트릭스 \(\pm\mathbb I\) 만이 SO(3) 정체(identity)에 대응
     • \(W(C) = +\mathbb I\) 또는 \(-\mathbb I\)
   • 통계 판별 $$W(C) = \begin{cases} +\mathbb I, & \psi(\ell)= +\psi \quad(\text{보손 / 정수 스핀})\\ -\mathbb I, & \psi(\ell)= -\psi \quad(\text{페르미온 / 반정수 스핀}) \end{cases}$$
     • 보손: 스피너가 \(2\pi\) 회전 → 위상 +1
     • 페르미온: 스피너가 \(2\pi\) 회전 → 위상 -1
   • 게이지변환 \(q_i\to g_i q_i\) 하에서 루프 홀로노미는 \(W(C) \to g_{v_0}\,W(C) \,g_{v_0}^{-1}\) (켤레변환)이므로, \(\mathrm{Tr}\,W(C)\) 및 그로부터 정의되는 각도 \(\Theta_C=\arccos\!\big(\tfrac12\,\mathrm{Tr}\,W(C)\big)\)는 불변량이다. 스핀 루프의 고유시간/위상과 스핀 홀로노미 조건이 일관적으로 맞물린다
4. 스핀‑\(\tfrac12\) 구현: 최소 꼬인 루프
   • 꼬인 루프 조건 $$W(C) = -\mathbb I \quad\Longleftrightarrow\quad \prod_{(ij)\in\ell}^{\to} \; exp[i \tfrac{\Theta_{ij}}2\; (\mathbf{n}_{ij}\cdot \mathbf{\sigma}) ] = -\mathbb I $$
   • 물리적 해석
     • 이 루프 하나가 페르미온의 스피너 구조를 형성.
     • 예: 삼각형 또는 사각형 루프도 가능