Qaether 연구일지

[v2.3] Qaether Theory: Static Boundary-Graph Axioms

Qaether Theory — Sun, 17 May 2026 12:59:03 +0900

0. Qaether configuration

Qaether configuration은 다음 자료로 정의한다.

\[
\boxed{
\mathcal Q=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
}
\]

여기서

\[
G_Q=(V,E)
\]

는 Qaether graph이다.

각 성분의 의미는 다음과 같다.

\[
V=\text{Qaether vertices},
\]
\[
E=\text{primitive bonds},
\]
\[
\rho:V\to\mathbb R^3 \quad (\text{geometric realization}),
\]
\[
\ell_Q>0 \quad (\text{contact/exclusion scale}),
\]
\[
q:V\to SU(2) \quad (\text{각 vertex의 쿼터니안 상태}),
\]
\[
\mathcal C_\triangle = \text{선택된 primitive triangular boundary cycle family},
\]
\[
\mathcal C_\square = \text{선택된 primitive square boundary cycle family},
\]
\[
\mathcal M_T = \text{tetrahedral boundary motif family},
\]
\[
\mathcal M_O = \text{octahedral boundary motif family}.
\]

기본 원칙은 다음과 같다.

\[
\boxed{
\text{All primitive structures are boundary structures.}
}
\]

즉 Qaether 이론에서 다루는 구조는 채워진 면이나 채워진 부피가 아니라, vertex–edge network 위의 boundary graph와 boundary cycle incidence이다.

I. Boundary-graph ontology

Axiom Q1. Qaether ontology

Qaether는 vertex이다.

\[
\boxed{
\text{Qaether}=\text{vertex}.
}
\]

Primitive bond는 edge이다.

\[
\boxed{
\text{primitive bond}=\text{edge}.
}
\]

Qaether space는 채워진 cell들의 집합이 아니다.

\[
\boxed{
\text{No filled faces.}
}
\]
\[
\boxed{
\text{No filled volumes.}
}
\]

따라서 $C_\triangle,\ C_\square$는 boundary cycles이고, $T,\ O$는 boundary graph motifs이다.

즉,

\[
\boxed{
C_\triangle,C_\square\neq \text{filled 2-faces},
}
\]
\[
\boxed{
T,O\neq \text{filled 3-cells}.
}
\]

II. Graph and realization axioms

Axiom Q2. Simple graph

Qaether graph는 simple graph이다.

\[
\boxed{
G_Q=(V,E),
\qquad
E\subseteq
\bigl\{
\{v,w\}:v,w\in V,\ v\neq w
\bigr\}.
}
\]

따라서 edge는 ordered pair가 아니라 unordered pair이다.

Self-loop와 multiple edge는 허용하지 않는다.

\[
\boxed{
\{v,v\}\notin E.
}
\]

Definition Q2.1. Oriented edge set

방향이 있는 edge들의 집합을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
E^{\mathrm{or}}
:=
\bigl\{
(v,w)\in V\times V:\{v,w\}\in E
\bigr\}.
}
\]

즉 $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$는 undirected edge $\{v,w\}\in E$에 방향을 하나 선택한 것이다.

Axiom Q3. Injective geometric realization

Qaether graph는 injective geometric realization을 가진다.

\[
\boxed{
\rho:V\to\mathbb R^3.
}
\]

서로 다른 Qaether는 같은 기하학적 위치를 점유하지 않는다.

\[
\boxed{
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
\rho(v)\neq\rho(w).
}
\]

Axiom Q4. Local finiteness

Qaether graph는 graph-locally finite하다.

\[
\boxed{
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)<\infty.
}
\]

또한 geometric realization은 geometrically locally finite하다.

\[
\boxed{
\forall K\Subset\mathbb R^3,
\qquad
|\rho^{-1}(K)|<\infty.
}
\]

즉 유한한 물리 영역 안에는 유한 개의 Qaether만 존재한다.

Axiom Q5. Contact/exclusion scale

$\ell_Q>0$는 Qaether의 기본 contact/exclusion scale이다.

서로 다른 Qaether는 최소 거리 $\ell_Q$ 이상 떨어져 있다.

\[
\boxed{
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|\ge \ell_Q.
}
\]

Primitive bond는 contact scale에서만 허용된다.

\[
\boxed{
\{v,w\}\in E
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q.
}
\]

역방향 조건인 $|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q \implies \{v,w\}\in E$는 공리로 넣지 않는다.

따라서 $E$는 단순한 거리관계가 아니라 선택된 primitive boundary incidence이다.

III. Quaternionic vertex state

Axiom Q6. Quaternionic vertex state

각 Qaether vertex는 단위 쿼터니안 상태를 가진다.

\[
\boxed{
q_v\in SU(2)\cong\mathbb H_1.
}
\]

즉,

\[
\boxed{
q:V\to SU(2).
}
\]

Qaether 자체가 쿼터니안인 것이 아니라, 각 vertex가 쿼터니안 상태값을 가진다.

여기에서는 시간진화를 정의하지 않는다.

Definition Q7. Relative quaternionic phase

방향이 있는 edge $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$에 대해 상대 쿼터니안 위상을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
h_{vw}=q_v^{-1}q_w.
}
\]

반대 방향에서는 다음이 성립한다.

\[
\boxed{
h_{wv}=h_{vw}^{-1}.
}
\]

따라서 Qaether의 기본 위상차는 scalar phase가 아니라 group-valued relative phase이다.

\[
\boxed{
h_{vw}\in SU(2).
}
\]

Proposition Q8. Trivial loop holonomy

닫힌 graph loop $C=(v_0,v_1,\dots,v_n=v_0)$를 생각하자. 여기서 모든 $i=0,\dots,n-1$에 대해 다음이 성립한다.

\[
\boxed{
\{v_i,v_{i+1}\}\in E.
}
\]

이때 loop holonomy를 다음과 같이 정의한다.

\[
h_C = h_{v_0v_1} h_{v_1v_2} \cdots h_{v_{n-1}v_0}.
\]

그런데 $h_{v_iv_{i+1}} = q_{v_i}^{-1}q_{v_{i+1}}$이므로 telescoping에 의해 다음이 성립한다.

\[
h_C = q_{v_0}^{-1}q_{v_1} q_{v_1}^{-1}q_{v_2} \cdots q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0} = 1_{SU(2)}.
\]

따라서,

\[
\boxed{
h_C=1_{SU(2)}.
}
\]

즉 Qaether 이론에서는 loop-holonomy curvature가 없다.

\[
\boxed{
\text{Qaether Theory has no loop-holonomy curvature.}
}
\]

곡률은 여기에서 정의하지 않으며, 이후 단계에서 motif residual curvature로 별도 정의한다.

IV. Primitive boundary cycles

여기에서 primitive cycle은 면이 아니라 boundary cycle이다.

\[
\boxed{
C_\triangle,\ C_\square = \text{boundary cycles}.
}
\]

Cycle은 ordered tuple이 아니라 cyclic rotation과 reversal을 동일시한 equivalence class로 정의한다.

즉 $[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}]$는 다음과 같은 cyclic rotation을 모두 동일한 cycle로 본다.

\[
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_1,v_2,\dots,v_0].
\]

또한 reversal도 동일시한다.

\[
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_0,v_{n-1},\dots,v_1].
\]

따라서 $C_n$은 unoriented cyclic equivalence class이다.

또한 $\mathcal C_\triangle$와 $\mathcal C_\square$는 $G_Q$ 안에 존재하는 모든 graph cycle의 집합이 아니라, 그중 primitive physical boundary cycle로 선택된 distinguished families이다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle
\subseteq
\bigl\{ \text{triangular boundary cycles in } G_Q \bigr\}.
}
\]
\[
\boxed{
\mathcal C_\square
\subseteq
\bigl\{ \text{planar chordless square boundary cycles in } G_Q \bigr\}.
}
\]

즉,

\[
\boxed{
\text{Not every graph cycle is primitive.}
}
\]

Axiom Q9. Triangular boundary cycle

$C_\triangle\in\mathcal C_\triangle$는 세 개의 서로 다른 vertex로 이루어진 primitive triangular boundary cycle이다.

\[
\boxed{
C_\triangle=[v_0,v_1,v_2],
}
\]

where $v_0,v_1,v_2$ are pairwise distinct.

그 edge set은 다음과 같다.

\[
E(C_\triangle) = \bigl\{ \{v_0,v_1\}, \{v_1,v_2\}, \{v_2,v_0\} \bigr\}.
\]

그리고,

\[
\boxed{
E(C_\triangle)\subseteq E.
}
\]

세 점은 비퇴화 평면 삼각형을 이룬다.

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff} \{ \rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2) \} =2.
}
\]

Axiom Q5에 의해 세 edge의 길이는 모두 $\ell_Q$이다.

따라서 $C_\triangle$의 geometric realization은 equilateral triangular boundary이다. 하지만,

\[
\boxed{
C_\triangle\neq \text{filled triangular face}.
}
\]

Axiom Q10. Square boundary cycle

$C_\square\in\mathcal C_\square$는 네 개의 서로 다른 vertex로 이루어진 primitive square boundary cycle이다.

\[
\boxed{
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3],
}
\]

where $v_0,v_1,v_2,v_3$ are pairwise distinct.

그 edge set은 다음과 같다.

\[
E(C_\square) = \bigl\{ \{v_0,v_1\}, \{v_1,v_2\}, \{v_2,v_3\}, \{v_3,v_0\} \bigr\}.
\]

그리고,

\[
\boxed{
E(C_\square)\subseteq E.
}
\]

Chordless 조건을 만족한다.

\[
\boxed{
\{v_0,v_2\}\notin E,
\qquad
\{v_1,v_3\}\notin E.
}
\]

네 점은 비퇴화 평면 사각형을 이룬다.

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff} \{ \rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2),\rho(v_3) \} = 2.
}
\]

또한 genuine square boundary cycle이므로 다음 정사각형 조건을 만족한다.

\[
\boxed{
\rho(v_0)+\rho(v_2) = \rho(v_1)+\rho(v_3).
}
\]

그리고 두 대각선 길이는 같다.

\[
\boxed{
|\rho(v_0)-\rho(v_2)| = |\rho(v_1)-\rho(v_3)| = \sqrt{2}\,\ell_Q.
}
\]

Axiom Q5에 의해 네 변의 길이는 모두 $\ell_Q$이다.

따라서 $C_\square$는 genuine planar chordless square boundary cycle이다.

동치적으로, 위 조건 아래에서는 인접 edge의 직교 조건을 쓸 수 있다.

\[
\boxed{
\left\langle
\rho(v_1)-\rho(v_0),
\rho(v_3)-\rho(v_0)
\right\rangle
=0.
}
\]

하지만,

\[
\boxed{
C_\square\neq\text{filled square face}.
}
\]

V. Primitive boundary motifs

Motif는 채워진 3차원 물체가 아니다.

\[
\boxed{
\text{motif} = \text{3D-realized boundary graph with distinguished boundary-cycle incidence}.
}
\]

따라서 boundary motif는 단순한 graph만이 아니라 다음 자료를 포함한다.

\[
\boxed{
\text{boundary motif} = \text{1-skeleton graph} + \text{distinguished boundary cycles}.
}
\]

여기에서 primitive boundary motif는 두 종류뿐이다.

\[
\boxed{
\mathcal M_{\mathrm{prim}} = \mathcal M_T\sqcup\mathcal M_O.
}
\]

즉 허용되는 primitive boundary motifs는 $T,\ O$이다.

VI. Tetrahedral boundary motif

Axiom Q11. T-boundary motif

$T\in\mathcal M_T$는 다음 자료로 이루어진다.

\[
\boxed{
T=
\left(
V_T,
G_Q[V_T],
\mathcal C_\triangle(T)
\right).
}
\]

여기서 $V_T=\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset V$이고 네 vertex는 서로 다르다.

T1. Tetrahedral boundary graph

서로 다른 모든 두 vertex가 edge로 연결된다.

\[
\boxed{
\{a_i,a_j\}\in E \qquad (i\neq j).
}
\]

따라서 induced graph는

\[
\boxed{
G_Q[V_T]\cong K_4.
}
\]

즉 $T$-motif는 tetrahedral boundary graph이다.

\[
\boxed{
T=\text{tetrahedral boundary graph with distinguished triangular cycles}.
}
\]

T2. Edge and cycle sets of T

$T$-motif의 edge set을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
E(T):=E(G_Q[V_T]).
}
\]

또한 $T$-motif의 전체 distinguished cycle family를

\[
\boxed{
\mathcal C(T):=\mathcal C_\triangle(T)
}
\]

로 정의한다. 그리고,

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T):=\varnothing.
}
\]

T3. Three-dimensional nondegeneracy

네 점은 3차원적으로 독립이다.

\[
\boxed{
\dim\operatorname{aff} \{ \rho(a_0),\rho(a_1),\rho(a_2),\rho(a_3) \} = 3.
}
\]

Axiom Q5에 의해 모든 $T$-edge의 길이는 $\ell_Q$이다.

따라서 geometric realization은 regular tetrahedral boundary graph이다. 하지만,

\[
\boxed{
T\neq\text{filled tetrahedron}.
}
\]

T4. Triangular boundary incidence

$T$-motif는 정확히 네 개의 triangular boundary cycles를 가진다.

각 $i=0,1,2,3$에 대해, $V_T\setminus\{a_i\}$의 세 vertex가 만드는 3-cycle을 $C_\triangle^{(i)}$라고 쓴다.

더 엄밀하게, $V_T\setminus\{a_i\} = \{a_j,a_k,a_l\}$이면

\[
\boxed{
C_\triangle^{(i)} = [a_j,a_k,a_l].
}
\]

이때,

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(T) = \bigl\{ C_\triangle^{(0)}, C_\triangle^{(1)}, C_\triangle^{(2)}, C_\triangle^{(3)} \bigr\}.
}
\]

그리고 이들은 global triangular boundary cycle family에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(T)\subseteq\mathcal C_\triangle.
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
|\mathcal C_\triangle(T)|=4.
}
\]

요약하면,

\[
\boxed{
T\sim 4C_\triangle.
}
\]

여기서 $\sim=\text{boundary-cycle incidence decomposition}$이다. 즉 이것은 집합 등식도 아니고, 면분해도 아니고, 부피분해도 아니다.

T5. No square boundary cycle inside T

$K_4$의 모든 4-cycle은 chord를 가진다.

따라서 $T$-motif 안에는 primitive chordless square boundary cycle이 없다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T)=\varnothing.
}
\]

즉,

\[
\boxed{
T\sim 4C_\triangle, \qquad T\not\sim C_\square.
}
\]

VII. Octahedral boundary motif

Axiom Q12. O-boundary motif

$O\in\mathcal M_O$는 다음 자료로 이루어진다.

\[
\boxed{
O=
\left(
V_O,
\mathcal P_O,
G_Q[V_O],
\mathcal C_\triangle(O),
\mathcal C_\square(O)
\right).
}
\]

여기서 $V_O = \{ x_1^+,x_1^-, x_2^+,x_2^-, x_3^+,x_3^- \} \subset V$이고 여섯 vertex는 서로 다르다.

또한,

\[
\boxed{
\mathcal P_O = \bigl\{ \{x_1^+,x_1^-\}, \{x_2^+,x_2^-\}, \{x_3^+,x_3^-\} \bigr\}
}
\]

는 opposite-pair structure이다.

O1. Octahedral boundary graph

서로 다른 두 vertex $x_i^\epsilon,\ x_j^\delta\in V_O$에 대해,

\[
\boxed{
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\}\in E \quad\Longleftrightarrow\quad i\neq j.
}
\]

여기서 $i,j\in\{1,2,3\}, \qquad \epsilon,\delta\in\{+,-\}$이다.

즉 opposite pair 사이에는 edge가 없고, opposite이 아닌 두 vertex 사이에는 edge가 있다.

따라서 induced graph는

\[
\boxed{
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}.
}
\]

즉 $O$-motif는 octahedral boundary graph이다.

\[
\boxed{
O=\text{octahedral boundary graph with distinguished triangular and square cycles}.
}
\]

O2. Edge and cycle sets of O

$O$-motif의 edge set을 다음과 같이 정의한다.

\[
\boxed{
E(O):=E(G_Q[V_O]).
}
\]

또한 $O$-motif의 전체 distinguished cycle family를

\[
\boxed{
\mathcal C(O) := \mathcal C_\triangle(O)\cup\mathcal C_\square(O)
}
\]

로 정의한다.

O3. Octahedral realization

어떤 중심점 $c\in\mathbb R^3$와 orthonormal frame $u_1,u_2,u_3$가 존재하여

\[
\boxed{
\rho(x_i^\pm) = c\pm \frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}u_i
}
\]

가 성립한다.

그러면 opposite이 아닌 두 vertex 사이의 거리는 $\ell_Q$이고, opposite pair 사이의 거리는

\[
\boxed{
|\rho(x_i^+)-\rho(x_i^-)| = \sqrt{2}\,\ell_Q.
}
\]

따라서 $O$-motif의 geometric realization은 regular octahedral boundary graph이다. 하지만,

\[
\boxed{
O\neq\text{filled octahedron}.
}
\]

O4. Three orthogonal square boundary cycles

$O$-motif에는 세 개의 primitive square boundary cycles가 있다.

\[
\boxed{
C_{\square}^{(1)} = [x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-],
}
\]
\[
\boxed{
C_{\square}^{(2)} = [x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-],
}
\]
\[
\boxed{
C_{\square}^{(3)} = [x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-].
}
\]

이 세 square boundary cycles는 각각 다음 평면에 놓인다.

\[
c+\operatorname{span}(u_2,u_3), \quad c+\operatorname{span}(u_1,u_3), \quad c+\operatorname{span}(u_1,u_2).
\]

따라서 세 square boundary cycles는 서로 직교한다.

\[
\boxed{
C_{\square}^{(1)} \perp C_{\square}^{(2)} \perp C_{\square}^{(3)}.
}
\]

여기서 $C_{\square}^{(i)}\perp C_{\square}^{(j)}$는 두 square cycle이 놓인 affine plane들의 normal direction이 서로 직교한다는 뜻이다.

정의상,

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(O) = \bigl\{ C_{\square}^{(1)}, C_{\square}^{(2)}, C_{\square}^{(3)} \bigr\}.
}
\]

그리고 이들은 global square boundary cycle family에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(O)\subseteq\mathcal C_\square.
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
|\mathcal C_\square(O)|=3.
}
\]

중요하게도 이 세 square cycle은 정팔면체의 채워진 사각면이 아니다. $C_\square\in\mathcal C_\square(O)$의 의미는

\[
\boxed{
C_\square \text{ is an equatorial chordless square cycle in the octahedral boundary graph}.
}
\]

O5. Eight triangular boundary cycles

$O$-motif에는 여덟 개의 triangular boundary cycles가 있다.

각 $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3$에 대해,

\[
\boxed{
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} = [x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}].
}
\]

정의상,

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(O) = \bigl\{ C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} : (\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3 \bigr\}.
}
\]

그리고 이들은 global triangular boundary cycle family에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\triangle(O)\subseteq\mathcal C_\triangle.
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
|\mathcal C_\triangle(O)|=8.
}
\]

O6. Square-edge incidence

$O$-motif의 세 square boundary cycles는 $O$의 12개 edge 전체를 정확히 한 번씩 덮는다.

\[
\boxed{
E(O) = E(C_{\square}^{(1)}) \sqcup E(C_{\square}^{(2)}) \sqcup E(C_{\square}^{(3)}).
}
\]

따라서 임의의 $O$-edge $e$에 대해,

\[
\boxed{
\#\bigl\{ C_\square\in\mathcal C_\square(O) : e\in E(C_\square) \bigr\} = 1.
}
\]

O7. Triangle-edge incidence

$O$-motif의 각 edge는 정확히 두 개의 triangular boundary cycles에 속한다.

\[
\boxed{
\forall e\in E(O),\qquad \#\bigl\{ C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(O) : e\in E(C_\triangle) \bigr\} = 2.
}
\]

O8. O-motif incidence decomposition

따라서 $O$-motif는 두 가지 boundary-cycle incidence structure를 동시에 가진다.

\[
|\mathcal C_\square(O)|=3, \qquad |\mathcal C_\triangle(O)|=8.
\]

요약하면,

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle.
}
\]

여기서 $3C_\square^\perp$는 세 개의 직교 square boundary cycles이고, $8C_\triangle$는 여덟 개의 triangular boundary cycles이다.

이것은 면분해나 부피분해가 아니다.

\[
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle
}
\]

의 의미는 하나의 octahedral boundary graph가 두 가지 distinguished boundary-cycle incidence structure를 동시에 가진다는 것이다.

VIII. T/O cycle-level interface

이전 버전의 Q12는 독립 공리로 두지 않는다.
아래 내용은 정의에서 따라오는 convention/remark로 둔다.

Definition Q13. Cycle family of a motif

$T$-motif와 $O$-motif의 distinguished boundary cycle family는 다음과 같다.

\[
\boxed{
\mathcal C(T):=\mathcal C_\triangle(T).
}
\]
\[
\boxed{
\mathcal C(O) := \mathcal C_\triangle(O)\cup\mathcal C_\square(O).
}
\]

Remark Q13.1. Cycle-level T/O interface

만약 $T$-motif와 $O$-motif가 distinguished primitive boundary cycle을 공유한다면, 그 공유 cycle은 triangular boundary cycle이다.

즉,

\[
\forall T \in \mathcal M_T, \quad \forall O \in \mathcal M_O, \quad \forall C, \quad C\in\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O) \Longrightarrow C\in\mathcal C_\triangle.
\]

이는 독립 공리가 아니라 $\mathcal C(T)=\mathcal C_\triangle(T)$라는 정의에서 따라오는 결과이다.

따라서 square boundary cycle은 cycle-level $T/O$ interface가 아니다.

\[
\boxed{
\forall T \in \mathcal M_T, \quad \forall O \in \mathcal M_O, \quad \mathcal C_\square \cap \mathcal C(T) \cap \mathcal C(O) = \varnothing.
}
\]

이 remark는 $T$-motif와 $O$-motif가 vertex 하나만 공유하거나 edge 하나만 공유하는 경우를 금지하지 않는다. 오직 primitive boundary cycle을 공유하는 경우에만 그 공유 cycle이 triangular라는 뜻이다.

IX. Square cycle sector and bond incidence

Axiom Q14. Square boundary cycle belongs to O-sector

모든 primitive square boundary cycle은 적어도 하나의 $O$-motif에 속한다.

\[
\boxed{
\forall C_\square\in\mathcal C_\square, \quad \exists O\in\mathcal M_O \quad \text{such that} \quad C_\square\in\mathcal C_\square(O).
}
\]

반면 $T$-motif에는 primitive square boundary cycle이 없다.

\[
\boxed{
\mathcal C_\square(T)=\varnothing.
}
\]

따라서,

\[
\boxed{
C_\square\text{ belongs to the } O\text{-sector}.
}
\]

Axiom Q15. Bond incidence principle

Qaether 사이의 edge는 독립적인 물질적 막대가 아니다.

모든 edge는 적어도 하나의 primitive boundary cycle 또는 primitive boundary motif에 속해야 한다.

\[
\boxed{
\forall e\in E, \quad \exists X\in \mathcal C_\triangle \sqcup \mathcal C_\square \sqcup \mathcal M_T \sqcup \mathcal M_O \quad \text{such that} \quad e\in E(X).
}
\]

여기서 $E(X)$는 다음을 뜻한다.

\[
E(C_\triangle)=\text{the three boundary edges of } C_\triangle,
\]
\[
E(C_\square)=\text{the four boundary edges of } C_\square,
\]
\[
E(T)=\text{the six edges of the } K_4\text{ boundary motif},
\]
\[
E(O)=\text{the twelve edges of the } K_{2,2,2}\text{ boundary motif}.
\]

연구 방향 (2026-05-10)

Qaether Theory — Sun, 10 May 2026 22:39:10 +0900

최근 내 머릿속은 온통 'Qaether'의 실질 공간화에 빠져 있다. 물리학자도 아니면서 빠져있다는게 웃긴 이야기지만 잠시 휴식을 할때도, 산책을 할때도 항상 내 눈앞에서 작은 공간의 조각들이 파편처럼 흩어졌다가 다시 얽히고는 한다. 내가 제시해 온 가정이 물리적으로 타당한(feasible) 것일까라는 근원적인 의문은 매일 나를 집요하게 괴롭힌다. 우리가 당연하게 딛고 서 있는 이 거대한 우주 공간이 실은 보이지 않는 미세한 조각들의 정교한 집합체에 불과하다는 생각, 이 직관적인 믿음을 단순한 상상이 아닌 물리적 실체로 증명해보고 싶다는 욕심이 요즘 나의 숙제다.

인력을 가정하지 않는다면 도대체 얘네들은 무슨 힘으로, 어떤 원리로 흩어지지 않고 모여 있으려는 걸까? 이 존재론적인 갈증을 안고 자료를 뒤적이다 정말 운 좋게 알더와 웨인라이트(Alder & Wainwright)의 Hard Sphere 상전이 이론과 세펄리(Ceperley)의 PIMC 실험을 발견했다. 이건 나의 무지를 깨우는 정말 구원과도 같은 발견이었다. 사실 입자 사이에 서로 끌어당기는 인력이 없으면 모두 흩어져 버려 결코 고체 구조가 유지되지 않을 거라 생각하고 있었는데, 이들의 연구는 내 고정관념을 완전히 깨뜨려 주었다.

알더의 이론은 입자들을 겹쳐지지 않는 딱딱한 구체로만 가정해도, 밀도가 높아지면 입자들이 자유롭게 움직일 수 있는 '엔트로피적 공간'을 최대화하기 위해 스스로 규칙적인 격자 구조를 형성한다는 것이다. 즉, 에너지가 아니라 엔트로피가 추진력이 되어 FCC나 HCP같은 최밀 충전 구조를 자발적으로 만든다는 점이 핵심이었다. 세펄리의 실험은 단순히 서로를 밀어내는 배제 부피 효과만으로도 공간의 기하학적 질서가 태어날 수 있다는 사실을 실험한 것으로, 내가 그동안 끙끙 앓으며 고민하던 '공간 조립'의 미스터리를 해결하는 데 결정적인 열쇠가 되어주었다. 즉, 고밀도로 압력이 주어지면 최밀 충전 구조가 생기며 이후 외력이 사라져도 쉽게 그 구조가 깨지지 않고 유지된다는거다. 덕분에 Qaether들이 특별한 결합력 없이도 어떻게 견고한 공간의 바탕을 이룰 수 있는지 이론적으로 구체화할 수 있었고, 실제 시뮬레이션 실험까지 진행해 볼 확신이 생겼다.

여기까지 진행이 되자. 난 좀더 내가 찾고 싶었던 공간의 곡률 문제에 대해서도 찾기 시작했다. 늘 큰 산이었던 이 문제는 Kleinert의 World-crystal 가설과 CDT(Causal Dynamical Triangulation) 이론을 찾아 내면서 다시 한번 해결책을 찾게 되었다. 클라이너트가 제안한 것처럼 시공간을 결함이 있는 결정체로 본다면, 곡률은 곧 격자 구조 내의 곡률 결함(Disclination)으로 해석될 수 있기 때문이다. 특히 CDT에서 시공간을 구성하는 기본 단위인 정사면체(Simplex) 결합 구조는 기본적으로 우주를 완전하게 메울수가 없어서 곡률을 유발하는데 이에 정팔면체를 기하학적으로 배치하면, 격자의 불일치로 발생하는 국소적 곡률을 효과적으로 상쇄하거나 최소화할 수 있다거다.

Qaether 이론에서 이 정팔면체 구조들 중 특정한 D4 대칭성을 가진 녀석들을 '물질'로 정의해 왔는데, 이를 연결하면 결국 입자(물질)의 존재가 주변 공간의 기하학적 좌절(Geometric Frustration)을 해소하여 곡률을 완화한다는 결론에 도달하게 된다. 정리하자면, 우주는 본래 기본적인 곡률을 가지고 있지만 물질이 그 곡률을 국소적으로 상쇄하며 완화하기 때문에, 이미 곡률이 있던 세상에 살던 우리 눈에는 마치 물질이 곡률을 새롭게 만들어내는 것처럼 보이는 셈이다. 이 논리가 성립되면 왜 지금의 힘과 반대 방향의 힘이 존재하지 않는지도 설명이 가능해진다. 이를 통해서 한동안 정체되어 있던 머릿속이 다시금 활기를 띠기 시작해 요즘 무척 고무적이다.

사실 요즘 회사가 커지면서 눈코 뜰 새 없이 바빠졌다. 예전만큼 연구에 시간을 쏟기가 쉽지는 않지만, 그래도 나한테는 이게 가장 즐거운 취미이자 유일한 힐링이다. 퇴근하고 이렇게 생각을 정리하며 우주의 본질에 다가가는 시간은 나에겐 최고의 휴식이다. 지금 다듬고 있는 이 이론이 나중에 어떤 결과로 이어질지는 모르겠다. 나만의 즐거운 상상으로 끝날지도 모르지만 결과가 어떻든 상관없다. 우주의 지도를 그려나가는 이 고귀한 취미 덕분에 내 삶은 그 어느 때보다 풍요롭고 단단해지고 있으니까. 몸은 고되지만 마음만은 그 어느 때보다 선명한 밤이다. 오늘도 짧게나마 기록을 남기며 하루를 마무리해 본다.

Phase-Dependent Exclusion Geometry Experiment Plan

Qaether Theory — Sun, 10 May 2026 22:09:08 +0900

Goal

This experiment tests whether phase-dependent exclusion geometry can preserve
local motif topology in dense FCC/HCP lattices beyond simple nearest-neighbor
pair-distance shell preservation.

The model of interest is not the legacy force-amplitude model:

phase difference -> force amplitude

Instead, this experiment tests:

phase difference -> effective exclusion radius
a_eff,ij = a0 * (1 + epsilon * cos(delta theta_ij))

The central question is:

When P_final ~= 1 is observed, is that only pair-distance shell preservation,
or do cuboctahedral shell geometry, tetrahedral/octahedral face incidence,
and 2T+2O local motif incidence also persist?

Physical Constraints

The simulation and interpretation must preserve these constraints:

No explicit attraction.
No bond-energy minimization.
Pairwise antisymmetric central interaction.
Repulsive or contact-like exclusion force only.
In the primary model, phase enters through a_eff, not force amplitude.
Fixed periodic results must not be interpreted as free-boundary expansion.
Plateau/classification is secondary; motif preservation is primary.

Primary Observables

Pair shell observables:

final_P_bond
final_P_bond_1p05
final_P_bond_1p10
final_MSD
final_L_weighted as a secondary force-balance diagnostic

Motif observables:

final_cuboctahedral_shell_score
final_t_face_preservation
final_o_face_preservation
final_twoT_twoO_vertex_fraction
final_non_2T2O_defect_fraction

Contact/jamming observables:

final_geometric_contact_Z_mean
final_active_force_contact_Z_mean
final_isostatic_deficit
final_rattler_fraction
final_backbone_fraction

Stress/exclusion observables:

final_F_abs_fraction
final_F_net_mean
final_cancellation_ratio
final_active_fraction
initial_shared_vertex_edge_weight_corr
initial_stress_tensor_anisotropy

True TOTO/TTOO cyclic order is not implemented. The code should report cyclic
order fields as NaN; the reliable incidence metric is
twoT_twoO_vertex_fraction.

Main Hypothesis

Same-law phase-dependent exclusion,

delta theta = 0  -> larger a_eff
delta theta = pi -> smaller a_eff

may create a constraint geometry that preserves local FCC/HCP motif structure
better than matched controls, without attraction or bond-energy minimization.

Required Controls

Each same-law phase exclusion run should be compared with matched controls:

random_bond
uniform
phase_neutral via phase_exclusion_law=none
mismatch_exclusion via phase_exclusion_law=mismatch
zero

The primary success condition is not a longer plateau. Same-law exclusion is a
candidate signal only if it has stronger motif preservation than controls while
maintaining comparable P_final and not materially increasing MSD.

The comparison score is:

final_cuboctahedral_shell_score
+ 0.5 * final_t_face_preservation
+ 0.5 * final_o_face_preservation
+ final_twoT_twoO_vertex_fraction

Experiment Sequence

1. Code Validation Baseline

Purpose: verify that the code, metrics, and report outputs are internally
consistent before interpreting results.

Run:

PYTHONPATH=.deps python3 phase_lattice_release.py \
  --structures fcc,hcp \
  --L 4 \
  --seeds 1 \
  --F0 1.0 \
  --lam 0.02 \
  --spatial-laws hard_overlap \
  --exclusion-epsilon 0.05 \
  --phase-exclusion-laws same,mismatch,none \
  --phase-modes clustered \
  --controls phase,random_bond,uniform,zero \
  --t-total 0.02 \
  --out-dir results_validation

Check:

FCC/HCP initial degree is 12.
TOTO_cyclic_order_preservation and TTOO_cyclic_order_preservation are NaN.
P_bond uses initial reference distances, not fixed params.a.
final_report.md includes same-law vs random/neutral/mismatch comparisons.

2. Minimal Physical Signal Test

Purpose: look for the first evidence that same-law exclusion outperforms
controls on motif preservation.

Sweep:

structure: fcc,hcp
L: 4
seeds: 0-2
phase_mode: clustered
spatial_law: hard_overlap
epsilon: 0.02,0.05,0.1
lambda: 0.01,0.02,0.05
compression: 1.0

Decision metrics:

final_cuboctahedral_shell_score
final_t_face_preservation
final_o_face_preservation
final_twoT_twoO_vertex_fraction
outperforms_controls

3. Compression Contact Test

Purpose: determine whether contact/exclusion forces are actually active,
especially for hard_overlap.

Sweep:

compression: 1.0,0.98,0.95
spatial_law: hard_overlap
epsilon: 0.02,0.05,0.1
lambda: 0.02
phase_mode: clustered

Focus:

final_active_force_contact_Z_mean
final_geometric_contact_Z_mean
final_rattler_fraction
final_backbone_fraction
fraction_limited_steps

If compression=1.0 yields near-zero active contact force, compressed runs are
more informative for contact-like exclusion.

4. Soft Exclusion Comparison

Purpose: test whether hard-overlap results are contact-only artifacts or also
appear under soft exclusion.

Sweep:

spatial_law: exponential
lambda: 0.005,0.01,0.02,0.05,0.08
epsilon: 0.02,0.05,0.1,0.2
compression: 1.0
phase_mode: clustered

Check:

Whether motif preservation trends match hard_overlap.
Whether larger force cutoffs affect force edges without contaminating shell
metrics.

5. Phase Structure Specificity Test

Purpose: test whether the signal is specific to phase organization rather than
generic dense-lattice geometry.

Sweep:

phase_mode: clustered,random,two_phase_random
structure: fcc,hcp
L: 4
seeds: 0-4
best epsilon/lambda candidates
spatial_law: hard_overlap,exponential

Interpretation:

If clustered outperforms random, that supports phase-organization
specificity.
If all phase modes are similar, the result may be a geometry/contact artifact.

6. Finite Size Test

Purpose: test whether the result survives beyond small-cell effects.

Sweep:

L: 4,5,6
structure: fcc,hcp
seeds: 0-4
best 2-3 parameter sets

Check:

Motif score stability as L increases.
FCC/HCP differences.
Runtime and clipping behavior.

7. Control Dominance Test

Purpose: make the control comparison decisive.

Required comparison:

same phase
random_bond
uniform
none / phase_neutral
mismatch_exclusion
zero

Success condition:

same-law phase score > control score
P_final >= control P_final - tolerance
MSD <= control MSD + tolerance

8. Final Focused Sweep

Purpose: generate the final dataset for interpretation and reporting.

Recommended scope:

structure: fcc,hcp
L: 4,5,6
seeds: 0-9
phase_mode: clustered,random
spatial_law: hard_overlap,exponential
epsilon: best 3 values from earlier tests
lambda: best 3 values from earlier tests
compression: 1.0,0.98
controls: phase,random_bond,uniform,zero
phase_exclusion_law: same,mismatch,none

Expected outputs:

seed_summary.csv
per-run time_series/*.csv
final_report.md
motif/contact time-series plots
same-vs-random_bond motif delta heatmap

Decision Tree

A. P_final high, motif low
   -> Simple pair shell preservation. Core hypothesis weak.

B. P_final high, motif high, controls similar
   -> Dense lattice or contact geometry artifact likely.

C. P_final high, motif high, same-law > random/none/mismatch
   -> Candidate phase-dependent exclusion geometry signal.

D. Motif high, active_force_contact_Z near zero
   -> Recheck whether exclusion force actually acted; run compression tests.

E. HCP fails but FCC succeeds
   -> Recheck HCP minimum image, shell construction, and finite-size effects.

Non-Claims

Do not claim:

Confirmed bound state.
True thermodynamic locking phase.
Attraction.
Energy-minimized bonding.
True TOTO/TTOO cyclic order.

Safe conclusion target:

Phase-dependent exclusion geometry in dense FCC/HCP lattices can be tested as a
constraint-driven alternative to force-amplitude locking. The decisive
observable is whether cuboctahedral and tetrahedral/octahedral motif-level
topology persists beyond simple pair-distance shell preservation.

목표

이 실험은 위상 의존 배제 기하학(phase-dependent exclusion geometry)이 조밀한 FCC/HCP 격자에서 단순한 최근접 이웃 쌍 거리 쉘(pair-distance shell) 보존을 넘어 국부 모티프 위상(local motif topology)을 보존할 수 있는지 테스트합니다.

관심 모델은 기존의 힘-진폭(force-amplitude) 모델이 아닙니다:

위상차 -> 힘의 진폭

대신, 본 실험은 다음을 테스트합니다:

위상차 -> 유효 배제 반경
a_eff,ij = a0 * (1 + epsilon * cos(delta theta_ij))

핵심 질문은 다음과 같습니다:

P_final ~= 1이 관찰될 때, 그것이 단지 쌍 거리 쉘의 보존일 뿐인가?
아니면 입방팔면체 쉘 기하학(cuboctahedral shell geometry), 정사면체/정팔면체 면 입사(tetrahedral/octahedral face incidence),
그리고 2T+2O 국부 모티프 입사 또한 지속되는가?

물리적 제약 조건

시뮬레이션 및 해석은 다음 제약 조건을 준수해야 합니다:

명시적인 인력(attraction) 없음.
결합 에너지 최소화(bond-energy minimization) 없음.
쌍별 반대칭 중심 상호작용(Pairwise antisymmetric central interaction).
척력 또는 접촉 형태의 배제력(exclusion force)만 존재.
기본 모델에서 위상은 힘의 진폭이 아닌 a_eff를 통해 입력됨.
고정된 주기적 결과는 자유 경계 확장(free-boundary expansion)으로 해석되어서는 안 됨.
정체기(Plateau)/분류는 부차적이며, 모티프 보존이 주된 목표임.

주요 관측 지표

쌍 쉘 관측 지표:

final_P_bond
final_P_bond_1p05
final_P_bond_1p10
final_MSD
final_L_weighted (부차적인 힘 균형 진단 지표)

모티프 관측 지표:

final_cuboctahedral_shell_score
final_t_face_preservation
final_o_face_preservation
final_twoT_twoO_vertex_fraction
final_non_2T2O_defect_fraction

접촉/재밍(Jamming) 관측 지표:

final_geometric_contact_Z_mean
final_active_force_contact_Z_mean
final_isostatic_deficit
final_rattler_fraction
final_backbone_fraction

응력/배제 관측 지표:

final_F_abs_fraction
final_F_net_mean
final_cancellation_ratio
final_active_fraction
initial_shared_vertex_edge_weight_corr
initial_stress_tensor_anisotropy

실제 TOTO/TTOO 순환 순서(cyclic order)는 구현되지 않았습니다. 코드는 순환 순서 필드를 NaN으로 보고해야 하며, 신뢰할 수 있는 입사 메트릭은 twoT_twoO_vertex_fraction입니다.

주요 가설

동일 법칙 위상 의존 배제(Same-law phase-dependent exclusion):

delta theta = 0  -> 더 큰 a_eff
delta theta = pi -> 더 작은 a_eff

는 인력이나 결합 에너지 최소화 없이도 대조군보다 FCC/HCP 국부 모티프 구조를 더 잘 보존하는 제약 기하학을 생성할 수 있습니다.

필수 대조군

각 동일 법칙 위상 배제 실행은 다음 대조군들과 비교되어야 합니다:

random_bond
uniform
phase_neutral (phase_exclusion_law=none 이용)
mismatch_exclusion (phase_exclusion_law=mismatch 이용)
zero

주요 성공 조건은 단순한 정체기 지속 시간이 아닙니다. 동일 법칙 배제는 대조군과 비교하여 유사한 P_final을 유지하고 MSD를 실질적으로 증가시키지 않으면서, 대조군보다 더 강력한 모티프 보존을 보일 때만 유효한 신호 후보로 간주됩니다.

비교 점수(Comparison score)는 다음과 같습니다:

final_cuboctahedral_shell_score
+ 0.5 * final_t_face_preservation
+ 0.5 * final_o_face_preservation
+ final_twoT_twoO_vertex_fraction

실험 순서

1. 코드 검증 베이스라인

목적: 결과를 해석하기 전에 코드, 메트릭 및 보고서 출력이 내부적으로 일관된지 확인합니다.

실행:

PYTHONPATH=.deps python3 phase_lattice_release.py \
  --structures fcc,hcp \
  --L 4 \
  --seeds 1 \
  --F0 1.0 \
  --lam 0.02 \
  --spatial-laws hard_overlap \
  --exclusion-epsilon 0.05 \
  --phase-exclusion-laws same,mismatch,none \
  --phase-modes clustered \
  --controls phase,random_bond,uniform,zero \
  --t-total 0.02 \
  --out-dir results_validation

확인 사항:

FCC/HCP 초기 차수(degree)는 12임.
TOTO_cyclic_order_preservation 및 TTOO_cyclic_order_preservation은 NaN임.
P_bond는 고정된 params.a가 아닌 초기 참조 거리를 사용함.
final_report.md에 동일 법칙 vs 무작위/중립/불일치 비교가 포함됨.

2. 최소 물리적 신호 테스트

목적: 동일 법칙 배제가 모티프 보존 측면에서 대조군보다 우수한 성능을 보이는 첫 번째 증거를 찾습니다.

스윕(Sweep) 조건:

structure: fcc,hcp
L: 4
seeds: 0-2
phase_mode: clustered
spatial_law: hard_overlap
epsilon: 0.02, 0.05, 0.1
lambda: 0.01, 0.02, 0.05
compression: 1.0

결정 메트릭:

final_cuboctahedral_shell_score
final_t_face_preservation
final_o_face_preservation
final_twoT_twoO_vertex_fraction
outperforms_controls (대조군 대비 우위 여부)

3. 압축 접촉 테스트

목적: 특히 hard_overlap 모델에서 접촉/배제력이 실제로 활성화되어 있는지 확인합니다.

스윕 조건:

compression: 1.0, 0.98, 0.95
spatial_law: hard_overlap
epsilon: 0.02, 0.05, 0.1
lambda: 0.02
phase_mode: clustered

중점 확인 사항:

final_active_force_contact_Z_mean
final_geometric_contact_Z_mean
final_rattler_fraction
final_backbone_fraction
fraction_limited_steps

만약 compression=1.0에서 활성 접촉력이 거의 0이라면, 압축된(compressed) 실행 결과가 접촉 형태의 배제를 연구하는 데 더 유익할 것입니다.

4. 연성 배제(Soft Exclusion) 비교

목적: 하드 오버랩(hard-overlap) 결과가 단지 접촉에 의한 인위적인 결과(artifact)인지, 아니면 연성 배제 하에서도 나타나는지 테스트합니다.

스윕 조건:

spatial_law: exponential
lambda: 0.005, 0.01, 0.02, 0.05, 0.08
epsilon: 0.02, 0.05, 0.1, 0.2
compression: 1.0
phase_mode: clustered

확인 사항:

모티프 보존 경향이 hard_overlap과 일치하는지 여부.
더 큰 힘 차단 거리(force cutoff)가 쉘 메트릭을 오염시키지 않으면서 힘 엣지(force edges)에 영향을 주는지 여부.

5. 위상 구조 특이성 테스트

목적: 신호가 일반적인 조밀 격자 기하학이 아닌 위상 조직에 특이적인지 테스트합니다.

스윕 조건:

phase_mode: clustered, random, two_phase_random
structure: fcc,hcp
L: 4
seeds: 0-4
이전 테스트의 최적 epsilon/lambda 후보들
spatial_law: hard_overlap, exponential

해석:

clustered가 random보다 우수한 성능을 보인다면, 이는 위상 조직 특이성을 뒷받침합니다.
모든 위상 모드가 유사하다면, 결과는 기하학/접촉에 의한 인위적인 결과일 수 있습니다.

6. 유한 크기 효과 테스트

목적: 결과가 작은 셀 효과를 넘어 살아남는지 테스트합니다.

스윕 조건:

L: 4, 5, 6
structure: fcc,hcp
seeds: 0-4
최적의 2-3가지 파라미터 세트

확인 사항:

L이 증가함에 따른 모티프 점수의 안정성.
FCC/HCP 간의 차이.
런타임 및 클리핑(clipping) 동작.

7. 대조군 우위 테스트

목적: 대조군 비교를 결정적인 단계로 만듭니다.

필수 비교군:

same phase (동일 위상)
random_bond (무작위 결합)
uniform (균일)
none / phase_neutral (중립)
mismatch_exclusion (불일치 배제)
zero (제로)

성공 조건:

same-law 위상 점수 > 대조군 점수
P_final >= 대조군 P_final - 허용 오차
MSD <= 대조군 MSD + 허용 오차

8. 최종 집중 스윕

목적: 해석 및 보고를 위한 최종 데이터셋을 생성합니다.

권장 범위:

structure: fcc,hcp
L: 4, 5, 6
seeds: 0-9
phase_mode: clustered, random
spatial_law: hard_overlap, exponential
epsilon: 이전 테스트에서 선별된 최적 3개 값
lambda: 이전 테스트에서 선별된 최적 3개 값
compression: 1.0, 0.98
controls: phase, random_bond, uniform, zero
phase_exclusion_law: same, mismatch, none

예상 출력물:

seed_summary.csv
실행별 time_series/*.csv
final_report.md
모티프/접촉 시계열 플롯
same-vs-random_bond 모티프 델타 히트맵

의사결정 트리

A. P_final은 높으나 모티프 보존이 낮음
   -> 단순한 쌍 쉘 보존임. 핵심 가설이 약함.

B. P_final과 모티프 보존 모두 높으나 대조군들과 유사함
   -> 조밀 격자 또는 접촉 기하학에 의한 인위적인 결과일 가능성이 높음.

C. P_final과 모티프 보존 모두 높으며, 동일 법칙 > 무작위/없음/불일치임
   -> 위상 의존 배제 기하학 신호의 유력한 후보임.

D. 모티프 보존은 높으나 활성 접촉력이 거의 없음 (active_force_contact_Z near zero)
   -> 배제력이 실제로 작용했는지 재확인하고 압축 테스트를 실행함.

E. HCP는 실패하나 FCC는 성공함
   -> HCP 최소 이미지, 쉘 구성 및 유한 크기 효과를 재점검함.

비주장 사항 (Non-Claims)

다음과 같은 주장을 해서는 안 됩니다:

결합 상태(bound state) 확인됨.
진정한 열역학적 잠금 위상(locking phase).
인력(attraction).
에너지 최소화된 결합.
실제 TOTO/TTOO 순환 순서.

안전한 결론 목표

조밀한 FCC/HCP 격자에서의 위상 의존 배제 기하학은 힘-진폭 잠금의 제약 기반 대안으로 테스트될 수 있다.
결정적인 관측 지표는 입방팔면체 및 정사면체/정팔면체 모티프 수준의 위상이 단순한 쌍 거리 쉘 보존을 넘어 지속되는지 여부이다.

[v2.2] Qaether Theory: Static Boundary-Graph Axioms

Qaether Theory — Sat, 2 May 2026 21:04:54 +0900

Qaether motif 공간

0. 문서의 지위와 기본 원칙

가장 중요한 원칙은 다음이다.

$$
\boxed{
\text{Qaether는 공간 안의 점이 아니라, 공간의 최소단위 자체이다.}
}
$$

따라서 본 문서에서

$$
v \in V
$$

는 Qaether의 중심점이 아니라 하나의 Qaether unit, 즉 하나의 minimal unit of space를 나타낸다.

이 관점에서 Qaether 공간은 다음과 같은 구조이다.

$$
\boxed{
\text{Qaether 공간} := \text{motif-decorated minimal-space-unit adjacency geometry}.
}
$$

즉 Qaether 공간은 기존 유클리드 공간 안에 점들을 배치한 뒤 그 점들을 연결한 그래프가 아니다. 오히려 공간 자체의 최소단위들이 primitive adjacency relation을 통해 직접 결합하고, 그 위에 triangular closure, (T/O)-motif, cyclic order, phase data가 중첩된 구조이다.

핵심 분리는 다음이다.

$$
\boxed{
T\text{-motif} \neq \text{actual tetrahedral } 3\text{-cell},
\qquad
O\text{-motif} \neq \text{actual octahedral } 3\text{-cell}.
}
$$

또한

$$
\boxed{
T\text{-motif} \neq \text{tetrahedron whose vertices are Qaether centers},
}
$$

$$
\boxed{
O\text{-motif} \neq \text{octahedron whose vertices are Qaether centers}.
}
$$

정확히는 (T)-motif는 네 Qaether unit 사이의 $K_4$-type primitive closure pattern이고, (O)-motif는 여섯 Qaether unit 사이의 opposite-paired $K_{2,2,2}$-type closure pattern이다.

Regular tetrahedron과 regular octahedron의 dihedral angle은 실제 3-cell geometry에서 유도되는 값이 아니라, Qaether motif geometry에 부여하는 effective calibration angle이다.

1. 기본 자료: Qaether unit, primitive adjacency, triangular closure

1.1 Qaether unit set

$$
\boxed{
V = \text{the set of Qaether units, i.e. minimal units of space}.
}
$$

한국어로 말하면,

$$
\boxed{
V\text{는 공간의 최소단위인 Qaether들의 집합이다.}
}
$$

각 원소 $v \in V$는 어떤 작은 물체의 중심점이 아니라, 하나의 최소공간단위 자체를 나타낸다.

따라서 이후 문서에서 vertex라는 말은 graph-theoretic representation을 의미할 뿐이며, 기존 배경공간 안에 놓인 점이라는 뜻이 아니다.

1.2 Primitive adjacency relation

두 Qaether unit 사이의 직접 인접 또는 직접 결합 관계를 edge라고 하고,

$$
E \subseteq \binom{V}{2}
$$

라고 둔다. 따라서 edge는 unordered pair

$$
e = \{u, v\}
$$

이다.

해석은 다음과 같다.

$$
\boxed{
\{u,v\} \in E \iff u\text{와 } v\text{라는 두 Qaether unit이 primitive adjacency relation을 가진다.}
}
$$

여기서 $e$는 기존 공간 안의 선분이 아니다. 그것은 두 최소공간단위 사이의 primitive adjacency relation이다.

1.3 Calibrated adjacency scale

모든 primitive adjacency에는 동일한 calibration scale을 부여한다. 이를 Planck adjacency scale이라고 하고,

$$
\ell_P > 0
$$

로 둔다. 모든 $e \in E$에 대해

$$
\ell(e) = \ell_P.
$$

이때 $\ell_P$는 Qaether unit 자체의 지름이 아니다. 또한 두 중심점 사이의 실제 거리라고 해석해서도 안 된다.

$$
\boxed{
\ell_P \text{ is not the diameter of a Qaether unit; it is the calibrated scale assigned to a primitive adjacency relation.}
}
$$

한국어로는 다음과 같다.

$$
\boxed{
\ell_P\text{는 Qaether 자체의 지름이 아니라, 직접 인접 관계에 부여한 기본 길이 척도이다.}
}
$$

기본 adjacency graph는

$$
\boxed{
G_Q = (V, E, \ell_P)
}
$$

이다. 여기서 $G_Q$는 simple graph이다. 즉 self-loop와 multiple edge는 허용하지 않는다.

이 구조를 metric graph라고 부를 수는 있지만, 그 metric은 기존 배경공간의 점들 사이 거리라기보다 primitive adjacency에 부여된 calibrated scale이다.

1.4 Local finiteness

Qaether 공간은 다음 local finiteness 조건을 만족해야 한다.

$$
\deg(v) < \infty \qquad (v \in V),
$$
$$
\#\{f \in F_\triangle : e \subset f\} < \infty \qquad (e \in E),
$$
$$
\#\{\mu \in \mathcal{M}_T \cup \mathcal{M}_O : e \in E(\mu)\} < \infty \qquad (e \in E).
$$

즉 각 Qaether unit과 각 primitive adjacency 주변에는 유한한 수의 adjacency, triangular closure, motif만 incident한다.

1.5 Primitive triangular closure

세 Qaether unit $v_1, v_2, v_3 \in V$가 서로 모두 primitive adjacency로 연결되어 있으면,

$$
\{v_1,v_2\}, \{v_2,v_3\}, \{v_3,v_1\} \in E
$$

이고, 이는 graph-theoretic triangular loop이다. 그러나 모든 triangular loop가 자동으로 triangular closure가 되는 것은 아니다.

Qaether 공간에서는 selected primitive triangular closure set을 별도로 둔다.

$$
\boxed{
F_\triangle \subseteq \{[v_1 v_2 v_3] : v_1 v_2 v_3 v_1 \text{ is a primitive triangular loop}\}
}
$$

여기서 $[v_1 v_2 v_3]$는 unordered triangular boundary, 즉 세 Qaether unit의 집합 $\{v_1, v_2, v_3\}$을 의미한다.

따라서

$$
\boxed{
3\text{-cycle} \nRightarrow \text{primitive triangular closure}.
}
$$

이 구분은 중요하다. 세 Qaether unit이 서로 인접한다고 해서 반드시 공간적 closure를 형성한다고 볼 수는 없기 때문이다.

v2.2에서는 $F_\triangle$를 set으로 둔다. 같은 boundary를 가진 중복 triangular closure는 허용하지 않는다. 중복 closure가 필요해지면 향후 버전에서 별도의 2-cell incidence data로 확장한다.

2. (T)-motif와 (O)-motif

2.1 (T)-motif: four-Qaether $K_4$-closure

네 개의 서로 다른 Qaether unit

$$
\tau = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \subset V, \qquad |\tau|=4
$$

가 모든 쌍마다 primitive adjacency로 연결되어 있으면, 이들은 $K_4$-skeleton을 이룬다.

$$
\{v_i, v_j\} \in E \qquad (1 \le i < j \le 4).
$$

이때

$$
E(\tau) = \{\{v_i, v_j\} : 1 \le i < j \le 4\}
$$

이고,

$$
\partial_\triangle \tau := \{[v_1 v_2 v_3], [v_1 v_2 v_4], [v_1 v_3 v_4], [v_2 v_3 v_4]\}.
$$

Admissible (T)-configuration들의 집합은

$$
\boxed{
\operatorname{Adm}_T :=
\left\{
\tau = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \subset V :
\begin{array}{l}
|\tau|=4, \\
\{v_i, v_j\} \in E \quad (1 \le i < j \le 4), \\
\partial_\triangle \tau \subseteq F_\triangle
\end{array}
\right\}.
}
$$

실제로 활성화된 (T)-motif set은 선택된 부분집합이다.

$$
\boxed{
\mathcal{M}_T \subseteq \operatorname{Adm}_T.
}
$$

(T)-motif는 ordered tuple이 아니라 4-element subset이므로 unrooted이다. Qaether unit의 나열 순서는 (T)-motif를 바꾸지 않는다.

정확한 해석은 다음이다.

$$
\boxed{
T\text{-motif} := \text{selected four-Qaether } K_4\text{-type primitive closure pattern}.
}
$$

(T)-motif는 실제 tetrahedral 3-cell이 아니며, Qaether 중심점들이 만든 정사면체도 아니다.

2.2 (O)-motif: six-Qaether opposite-paired $K_{2,2,2}$-closure

(O)-motif는 단순한 6-element subset이 아니라 opposite-pairing을 가진 6-Qaether configuration이다.

$$
\omega = (X_\omega, \mathcal{P}_\omega)
$$

를 하나의 opposite-paired octahedral closure configuration이라고 한다. 여기서

$$
X_\omega \subset V, \qquad |X_\omega|=6,
$$

이고,

$$
\mathcal{P}_\omega = \{P_1, P_2, P_3\}
$$

는 $X_\omega$를 세 개의 unordered two-element subset으로 분할한 partition이다.

중요하게, (O)-motif 자체는 pair

$$
\boxed{
\omega = (X_\omega, \mathcal{P}_\omega)
}
$$

이다. 표기

$$
P_i = \{x_i^+, x_i^-\} \qquad (i=1,2,3)
$$

에서 $(+/-)$ labeling은 auxiliary notation일 뿐이다. 즉 $\mathcal{P}_\omega$는 순서 없는 세 pair의 집합이고, 각 $P_i$도 순서 없는 two-element set이다. 따라서 다음 변화들은 같은 (O)-motif의 다른 presentation일 뿐이다.

$$
P_1, P_2, P_3\text{의 순열}, \qquad x_i^+ \leftrightarrow x_i^-.
$$

같은 opposite pair에 속한 두 Qaether unit은 primitive adjacency로 연결되지 않는다.

$$
\{x_i^+, x_i^-\} \notin E \qquad (i=1,2,3).
$$

서로 다른 opposite pair에 속한 Qaether unit들은 모두 primitive adjacency로 연결된다.

$$
\{x_i^\epsilon, x_j^\eta\} \in E \qquad (i \neq j, \ \epsilon, \eta \in \{+,-\}).
$$

따라서

$$
\boxed{
E(\omega) := \left\{ \{x_i^\epsilon, x_j^\eta\} : 1 \le i < j \le 3, \ \epsilon, \eta \in \{+,-\} \right\}.
}
$$

특히 $\#E(\omega)=12$이고, skeleton은 $K_{2,2,2}$이다.

(O)-motif의 triangular boundary는

$$
\partial_\triangle \omega := \{[x_1^{\epsilon_1} x_2^{\epsilon_2} x_3^{\epsilon_3}] : \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \in \{+,-\}\}.
$$

Admissible (O)-configuration들의 집합은

$$
\boxed{
\operatorname{Adm}_O :=
\left\{
\omega = (X_\omega, \mathcal{P}_\omega) :
\begin{array}{l}
X_\omega \subset V, \ |X_\omega|=6, \\
\mathcal{P}_\omega = \{P_1, P_2, P_3\} \text{ is a partition of } X_\omega \\
\text{into three unordered two-element subsets}, \\
P_i = \{x_i^+, x_i^-\} \text{ is auxiliary notation}, \\
\{x_i^+, x_i^-\} \notin E \quad (i=1,2,3), \\
\{x_i^\epsilon, x_j^\eta\} \in E \quad (i \neq j, \ \epsilon, \eta \in \{+,-\}), \\
\partial_\triangle \omega \subseteq F_\triangle
\end{array}
\right\}.
}
$$

실제로 활성화된 (O)-motif set은 선택된 부분집합이다.

$$
\boxed{
\mathcal{M}_O \subseteq \operatorname{Adm}_O.
}
$$

따라서

$$
\boxed{
O\text{-motif} := \text{selected six-Qaether opposite-paired } K_{2,2,2}\text{-type closure pattern}.
}
$$

(O)-motif는 실제 octahedral 3-cell이 아니며, Qaether 중심점들이 만든 정팔면체도 아니다.

3. Square-type phase channel

(O)-motif는 실제 square face를 갖지 않는다. 정팔면체의 실제 2-face는 모두 삼각형이기 때문이다.

하지만 (O)-motif의 $K_{2,2,2}$-skeleton 안에는 세 개의 canonical induced $K_{2,2}$ subgraph가 있다. 서로 다른 두 opposite pair $(P_i, P_j)$를 고르면 $P_i \cup P_j$ 위의 induced subgraph는 $K_{2,2}$이고, 이를 square-type phase channel로 본다.

각 (O)-motif $\omega$에 대해

$$
\boxed{
\mathcal{C}_\square(\omega) := \{C_{12}(\omega), C_{13}(\omega), C_{23}(\omega)\}.
}
$$

여기서

$$
\boxed{
C_{ij}(\omega) := [x_i^+, x_j^+, x_i^-, x_j^-]_{\mathrm{unor}}.
}
$$

$[x_i^+, x_j^+, x_i^-, x_j^-]_{\mathrm{unor}}$는 cyclic rotation과 reversal을 quotient한 unoriented 4-cycle이다. 이 표기는 opposite-pair의 순서 변경이나 $(+/-)$ 교환에 의존하지 않는다.

Qaether phase theory에서는 motif별 channel contribution을 구분하는 것이 안전하므로, v2.2의 기본 square-channel set은 motif-tagged disjoint union이다.

$$
\boxed{
\widetilde{\mathcal{C}}_\square := \bigsqcup_{\omega \in \mathcal{M}_O} \mathcal{C}_\square(\omega) = \{(\omega, C_{ij}) : \omega \in \mathcal{M}_O, \ 1 \le i < j \le 3\}.
}
$$

필요할 경우 ambient 4-cycle만 보는 quotient를 둘 수 있다.

$$
\boxed{
\mathcal{C}_\square := \widetilde{\mathcal{C}}_\square / \sim_{\mathrm{amb}},
}
$$

여기서 $\sim_{\mathrm{amb}}$는 같은 ambient adjacency 4-cycle을 동일시하는 동치관계이다.

4. Qaether 공간의 기본 정의와 유도량

4.1 기본 정의

Geometric Qaether 공간은 다음 tuple이다.

$$
\boxed{
\mathcal{S}_Q := \left( V, E, \ell_P, F_\triangle, \mathcal{M}_T, \mathcal{M}_O, \operatorname{cyc} \right).
}
$$

여기서

- $V = \text{Qaether units}$,
- $E = \text{primitive adjacency relations between Qaether units}$,
- $\ell_P = \text{calibrated Planck-scale adjacency length}$,
- $F_\triangle = \text{selected primitive triangular closures}$,
- $\mathcal{M}_T = \text{selected } K_4\text{-type Qaether closure motifs}$,
- $\mathcal{M}_O = \text{selected opposite-paired } K_{2,2,2}\text{-type Qaether closure motifs}$.

4.2 Edge 주변 incident motif set과 cyclic order

각 primitive adjacency $e \in E$에 대해

$$
I_e := \{\mu \in \mathcal{M}_T \cup \mathcal{M}_O : e \in E(\mu)\}
$$

라고 한다. Local finiteness에 의해 $I_e$는 finite set이다.

$\operatorname{cyc}_e$는 $I_e$ 위의 cyclic order이다.

$$
\boxed{
\operatorname{cyc} := \{\operatorname{cyc}_e : e \in E\}.
}
$$

퇴화 경우에 대해서는 다음 convention을 둔다.

$$
\boxed{
|I_e| \le 2\text{이면 } I_e\text{ 위의 cyclic order는 유일한 degenerate cyclic order로 본다.}
}
$$
$$
\boxed{
|I_e| \ge 3\text{일 때만 일반적인 cyclic order를 사용한다.}
}
$$

Order defect는 오직 $(t_e, o_e) = (2,2)$, 즉 $|I_e| = 4$인 primitive adjacency에서만 사용된다.

중요하게,

$$
\boxed{
\operatorname{cyc}\text{는 adjacency-local abstract cyclic order data일 뿐, global } 3D\text{ realization을 보장하지 않는다.}
}
$$

4.3 Adjacency 주변 (T/O) count

방향성이 있는 모서리($\vec{e}$)가 아니라 각 무방향 primitive adjacency $e \in E$에 대해

$$
\boxed{
t_e := \#\{\tau \in \mathcal{M}_T : e \in E(\tau)\},
}
$$
$$
\boxed{
o_e := \#\{\omega \in \mathcal{M}_O : e \in E(\omega)\}.
}
$$

여기서 반드시 unrooted motif를 센다. Rooted presentation이나 labeled presentation을 세면 안 된다.

다음 자료들은 기본 선택 자료가 아니라 유도 자료이다.

$$
\boxed{
\widetilde{\mathcal{C}}_\square, \mathcal{C}_\square, t_e, o_e, K_Q, \delta_{\mathrm{geom}}, \delta_{\mathrm{ord}} \text{ are derived data.}
}
$$

5. Effective angle calibration과 adjacency defect

5.1 Effective calibration angles

(T/O)-motif는 실제 다면체 cell이 아니지만, 각각 regular tetrahedron과 regular octahedron의 dihedral angle을 effective angle로 갖는다고 calibration한다.

$$
\boxed{
\theta_T = \arccos\left(\frac{1}{3}\right), \qquad \theta_O = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right).
}
$$

그러면

$$
\theta_O = \pi - \theta_T, \qquad \theta_T + \theta_O = \pi.
$$

따라서

$$
2\theta_T + 2\theta_O = 2\pi.
$$

이 관계가 (2T+2O) balance가 특별한 이유이다. 단, $\theta_T, \theta_O$는 실제 graph embedding에서 자동 유도되는 값이 아니라 effective calibration angle이다.

5.2 Qaether adjacency defect

Primitive adjacency $e = \{u, v\} \in E$ 주변의 Qaether effective defect를

$$
\boxed{
K_Q(e) := 2\pi - \left(t_e \theta_T + o_e \theta_O\right)
}
$$

로 정의한다.

더 정확한 해석은 다음이다.

$$
\boxed{
K_Q(e) := \text{motif-residual defect around the primitive adjacency } u \sim v.
}
$$

즉 $K_Q(e)$는 기존 공간 안의 선분 주변 곡률이 아니라, 두 Qaether unit의 primitive adjacency 주변에 쌓인 motif balance defect이다.

- $K_Q(e) > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{effective angle deficit}$,
- $K_Q(e) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{the adjacency is motif-angle-balanced under regular calibration}$,
- $K_Q(e) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{effective angle excess 또는 bonding stress}$.

여기서 curvature는 Riemann curvature tensor가 아니다.

$$
\boxed{
K_Q(e) = \text{adjacency-local effective angular defect}.
}
$$

5.3 (2T+2O) 조건의 유일성

Proposition 5.1

Regular calibration 아래에서

$$
\boxed{
K_Q(e) = 0 \iff (t_e, o_e) = (2,2).
}
$$

**Proof**
Local finiteness와 motif counting 정의에 의해
$$
t_e, o_e \in \mathbb{Z}_{\ge 0}.
$$
$K_Q(e) = 0$이면
$$
t_e \theta_T + o_e \theta_O = 2\pi.
$$
$\theta_O = \pi - \theta_T$이므로
$$
t_e \theta_T + o_e (\pi - \theta_T) = 2\pi.
$$
따라서
$$
(t_e - o_e) \theta_T + (o_e - 2)\pi = 0.
$$
양변을 $\pi$로 나누면
$$
(t_e - o_e)\frac{\theta_T}{\pi} + o_e - 2 = 0.
$$
이제 $\theta_T/\pi \notin \mathbb{Q}$이다. 실제로 $\theta_T/\pi \in \mathbb{Q}$라면 Niven theorem에 의해 rational angle의 rational cosine은
$$
0, \quad \pm\frac{1}{2}, \quad \pm 1
$$
중 하나여야 한다. 그러나 $\cos\theta_T = 1/3$이므로 모순이다.

따라서 정수 계수 식 $(t_e - o_e)\frac{\theta_T}{\pi} + o_e - 2 = 0$ 이 성립하려면
$$
t_e - o_e = 0, \qquad o_e - 2 = 0
$$
이어야 한다. 즉 $t_e = o_e = 2$.
반대로 $(t_e, o_e) = (2,2)$이면
$$
t_e \theta_T + o_e \theta_O = 2\theta_T + 2\theta_O = 2\pi,
$$
따라서 $K_Q(e) = 0$이다. $\blacksquare$

이 명제는 regular calibration 아래에서만 참이다.

6. Defect indicators와 sector

6.1 Geometric defect

Geometric defect indicator를 $\delta_{\mathrm{geom}} : E \to \{0,1\}$ 로 정의한다.

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e) :=
\begin{cases}
0, & K_Q(e) = 0, \\
1, & K_Q(e) \neq 0.
\end{cases}
}
$$

Regular calibration 아래에서
$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e) = 0 \iff (t_e, o_e) = (2,2).
}
$$

6.2 Order defect

Order defect는 모든 primitive adjacency에서 정의하지 않는다. 정의역은 geometric defect-free adjacency들의 집합이다.

$$
E_{\mathrm{geom}=0} := \{e \in E : \delta_{\mathrm{geom}}(e) = 0\}.
$$

Regular calibration 아래에서는
$$
E_{\mathrm{geom}=0} = \{e \in E : (t_e, o_e) = (2,2)\}.
$$

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}} : E_{\mathrm{geom}=0} \to \{0,1\}.
}
$$

만약 $e \in E_{\mathrm{geom}=0}$이면 $e$ 주변에는 두 개의 (T)-motif와 두 개의 (O)-motif가 있다. 이 네 motif의 cyclic type은 cyclic rotation과 reversal을 같은 것으로 보면 정확히 두 가지이다.

$$
T-O-T-O, \qquad T-T-O-O.
$$

이를 각각 TOTO, TTOO라고 부른다.

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e) = 0 \iff \operatorname{cyc}_e \sim TOTO.
}
$$
$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e) = 1 \iff \operatorname{cyc}_e \sim TTOO.
}
$$

따라서

$$
\boxed{
TOTO = \text{adjacency-geometrically defect-free and order defect-free},
}
$$
$$
\boxed{
TTOO = \text{adjacency-geometrically defect-free but order-defective}.
}
$$

주의할 점은 다음이다.
$$
\boxed{
TOTO \not\Rightarrow \text{cuboctahedral one-Qaether neighborhood in abstract Qaether space}.
}
$$
그 결론을 얻으려면 별도의 vertex-link compatibility axiom이 필요하다.

6.3 Sector, internal adjacency, internal Qaether unit

Qaether sector는 $\mathcal{S}_Q$의 부분집합이 아니라, subgraph와 내부 adjacency/internal Qaether unit data로 정의한다.

$$
\boxed{
U = (V_U, E_U, E_U^{\mathrm{int}}, V_{U,\star}^{\mathrm{int}}, V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}})
}
$$
where
$$
V_U \subseteq V, \qquad E_U \subseteq E, \qquad E_U^{\mathrm{int}} \subseteq E_U,
$$
$$
V_{U,\star}^{\mathrm{int}} \subseteq V_U, \qquad V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}} \subseteq V_U.
$$

내부 adjacency의 canonical choice는 다음이다.
$$
\boxed{
E_U^{\mathrm{int}} := \{e \in E_U : \mu \in I_e \Rightarrow V(\mu) \subseteq V_U \text{ and } E(\mu) \subseteq E_U\}.
}
$$
여기서
$$
V(\tau) = \tau \quad (\tau \in \mathcal{M}_T), \qquad V(\omega) = X_\omega \quad (\omega \in \mathcal{M}_O).
$$

만약 $I_e = \varnothing$이면 위 조건은 공허하게 참이다. 이 경우 $e$는 motif-free internal adjacency가 될 수 있으며, $(t_e, o_e) = (0,0)$이므로 regular calibration 아래에서 geometric defect adjacency로 분류된다. Motif-supported internal adjacency만 다루고 싶다면 추가로 $I_e \neq \varnothing$을 요구한 부분집합을 사용할 수 있다.

내부 Qaether unit은 두 단계로 정의한다.

먼저 adjacency-star-internal Qaether unit을
$$
\boxed{
V_{U,\star}^{\mathrm{int}} := \left\{ v \in V_U : \{v,u\} \in E \Rightarrow u \in V_U \text{ and } \{v,u\} \in E_U \right\}
}
$$
로 둔다. 즉 $v$와 직접 인접한 모든 Qaether unit이 sector 안에 있으며, 그 primitive adjacency도 sector 안에 있다.

그다음 full-internal Qaether unit을
$$
\boxed{
V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}} := V_{U,\star}^{\mathrm{int}} \cap \left\{ v \in V_U : \mu \in I_v \Rightarrow V(\mu) \subseteq V_U \text{ and } E(\mu) \subseteq E_U \right\}
}
$$
로 정의한다. 여기서
$$
I_v := \{\mu \in \mathcal{M}_T \cup \mathcal{M}_O : v \in V(\mu)\}.
$$

즉 $v \in V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}$이면 $v$의 adjacency star와 $v$에 incident한 모든 motif가 sector 안에 완전히 포함된다. Vertex-link compatibility는 boundary Qaether unit이 아니라 $V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}$에 대해서만 적용한다.

만약 sector graph를 induced subgraph로 제한한다면
$$
E_U = E \cap \binom{V_U}{2}
$$
를 추가할 수 있고, 이 경우 $V(\mu) \subseteq V_U$만으로 $E(\mu) \subseteq E_U$가 자동으로 따른다.

Intrinsic counts는
$$
t_e^U := \#\{\tau \in \mathcal{M}_T : e \in E(\tau), \ V(\tau) \subseteq V_U, \ E(\tau) \subseteq E_U\},
$$
$$
o_e^U := \#\{\omega \in \mathcal{M}_O : e \in E(\omega), \ V(\omega) \subseteq V_U, \ E(\omega) \subseteq E_U\}.
$$

위 canonical interior definition을 쓰면 내부 adjacency $e \in E_U^{\mathrm{int}}$에서
$$
t_e = t_e^U, \qquad o_e = o_e^U.
$$
Sector classification은 항상 $e \in E_U^{\mathrm{int}}$에 대해 적용한다.

6.4 Sector types

**1) (T)-only curved bare sector**
$$
\boxed{
U\text{ is } T\text{-only} \iff o_e = 0 \text{ and } t_e > 0 \quad (e \in E_U^{\mathrm{int}}).
}
$$
Regular calibration 아래에서 (T)-only sector는 항상 adjacency-geometric defect를 갖는다. 단, $K_Q(e)$의 부호는 $t_e$에 따라 달라질 수 있다.

**2) (2T+2O) relaxed sector**
$$
\boxed{
(t_e, o_e) = (2,2) \quad (e \in E_U^{\mathrm{int}}).
}
$$
이면 $K_Q(e) = 0$이다. 따라서 이는 adjacency-geometrically defect-free relaxed sector 또는 locally angle-balanced sector이다.

**3) (TOTO) order-perfect sector**
모든 내부 adjacency에서
$$
(t_e, o_e) = (2,2), \qquad \operatorname{cyc}_e \sim TOTO
$$
이면 $U$를 (TOTO) order-perfect sector라고 한다.

**4) Order-defective relaxed sector and pure (TTOO) sector**
모든 내부 adjacency에서 $(t_e, o_e) = (2,2)$이지만 적어도 하나의 내부 adjacency에서 $\operatorname{cyc}_e \sim TTOO$이면, $U$는 order-defective relaxed sector이다.
모든 내부 adjacency에서
$$
(t_e, o_e) = (2,2), \qquad \operatorname{cyc}_e \sim TTOO
$$
이면 $U$를 pure (TTOO) sector라고 부른다.

**5) (T/O)-imbalance defect sector**
어떤 내부 adjacency에서
$$
(t_e, o_e) \neq (2,2)
$$
이면 regular calibration 아래에서 $K_Q(e) \neq 0$이고, 해당 sector는 adjacency-geometric defect 또는 bonding stress sector이다.

7. Phase-extended Qaether 공간

7.1 Oriented data

Oriented adjacency set은
$$
E^{\mathrm{or}} := \{(u,v) : \{u,v\} \in E\}
$$
이다.

각 unordered triangular closure $[v_1 v_2 v_3] \in F_\triangle$는 두 orientation을 갖는다.
$$
[(v_1, v_2, v_3)]_{\mathrm{cyc}}, \qquad [(v_1, v_3, v_2)]_{\mathrm{cyc}}.
$$
여기서
$$
(v_1, v_2, v_3) \sim_{\mathrm{cyc}} (v_2, v_3, v_1) \sim_{\mathrm{cyc}} (v_3, v_1, v_2).
$$
따라서
$$
\boxed{
F_\triangle^{\mathrm{or}} := \left\{ [(v_1, v_2, v_3)]_{\mathrm{cyc}}, [(v_1, v_3, v_2)]_{\mathrm{cyc}} : [v_1 v_2 v_3] \in F_\triangle \right\}.
}
$$

각 motif-tagged square channel $(\omega, C_{ij}) \in \widetilde{\mathcal{C}}_\square$도 정확히 두 orientation을 갖는다. 이들의 집합을
$$
\boxed{
\widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}
}
$$
라고 한다.

7.2 Edge phase connection

Additive notation에서는
$$
A : E^{\mathrm{or}} \to \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}
$$
를 둔다. Orientation reversal compatibility는
$$
\boxed{
A(v,u) = -A(u,v) \quad \pmod{2\pi}.
}
$$

Multiplicative notation에서는
$$
\phi : E^{\mathrm{or}} \to U(1), \qquad \phi(v,u) = \phi(u,v)^{-1}.
$$

Phase-extended Qaether 공간은
$$
\boxed{
\mathcal{S}_Q^{\mathrm{ph}} := \left( \mathcal{S}_Q, E^{\mathrm{or}}, F_\triangle^{\mathrm{or}}, \widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}, A \right).
}
$$

7.3 Phase holonomy defect

Oriented loop $\gamma = (v_0, v_1, \dots, v_k = v_0)$ 에 대해
$$
\operatorname{Hol}_A(\gamma) := \sum_{i=0}^{k-1} A(v_i, v_{i+1}) \quad \pmod{2\pi}.
$$

각 oriented triangular closure 또는 oriented channel $c \in F_\triangle^{\mathrm{or}} \cup \widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}$ 에 대해
$$
\boxed{
F_A(c) := \operatorname{Hol}_A(\partial c) \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}
}
$$
라고 정의한다.

$F_A(c)$는 selected closure/channel loop holonomy defect이다. 이는 Riemann curvature가 아니며, square-type channel의 경우 실제 2-cell curvature도 아니다.

Orientation reversal에 대해
$$
\boxed{
F_A(\bar{c}) = -F_A(c).
}
$$
따라서 $F_A(c)$는 oriented defect이다. Unoriented defect가 필요하면 $\{F_A(c), -F_A(c)\}$ 또는 적절한 orientation-invariant norm $|F_A(c)|_{2\pi}$를 별도로 정의해야 한다.

7.4 Phase-closed sector

Phase closure는 일반적인 $\mathcal{S}_Q^{\mathrm{ph}}$의 정의에 포함하지 않는다. 그것은 special phase-closed sector를 정의하는 추가 조건이다.

선택된 oriented loop family를 $\mathcal{C}_{\mathrm{cl}} \subseteq F_\triangle^{\mathrm{or}} \cup \widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}$ 라고 하자. Phase-extended sector가 $\mathcal{C}_{\mathrm{cl}}$ 위에서 phase-closed라는 것은
$$
\boxed{
F_A(c) = 0 \qquad \text{for all } c \in \mathcal{C}_{\mathrm{cl}}
}
$$
이라는 뜻이다.

전체 selected triangular closure와 square-type channel에 대해 phase closure를 요구하려면 $\mathcal{C}_{\mathrm{cl}} = F_\triangle^{\mathrm{or}} \cup \widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}$ 로 둔다.

7.5 $D_4$-ordering type

Square-type phase channel에 네 개의 서로 다른 phase-label $a, b, c, d$가 배치되어 있고, 실제 phase value가 아니라 boundary ordering만을 본다면, square의 dihedral symmetry group $D_4$로 quotient한 inequivalent ordering type은 정확히 3개이다.
$$
\boxed{
\#\{\text{distinct label orderings of } a,b,c,d \text{ on a square}\}/D_4 = 3.
}
$$
하지만 일반적인 phase value configuration space $(U(1))^4 / D_4$ 는 3개의 원소가 아니라 연속적인 quotient space이다.

8. Qaether link와 cuboctahedral compatibility

8.1 Motif-tagged candidate Qaether link

추상 Qaether 공간에서는 하나의 Qaether unit 주변 link가 자동으로 $S^2$의 cell decomposition이 되지 않는다. 따라서 먼저 motif-tagged candidate adjacency-neighborhood incidence structure를 정의한다.

각 $v \in V$에 대해 link vertex set은
$$
\boxed{
\operatorname{Lk}_Q(v)^{(0)} := \{u \in V : \{u,v\} \in E\}.
}
$$
즉 $v$와 직접 인접한 Qaether unit들이 link-vertices이다.

따라서 $\operatorname{Lk}_Q(v)$는 연속공간의 미소구면이 아니라,
$$
\boxed{
v\text{라는 하나의 Qaether unit 주변의 직접 인접 Qaether들의 incidence pattern}
}
$$
이다.

**1) (T)-motif가 주는 tagged triangular link face**
만약 $\tau = \{v, a, b, c\} \in \mathcal{M}_T$ 이면, $\operatorname{Lk}_Q(v)$ 안에 motif-tagged triangular 2-face
$$
\boxed{
(\tau, v; [abc])
}
$$
를 넣는다. 여기서 $[abc]$는 link vertex set 안의 triangular boundary이다.

**2) (O)-motif가 주는 tagged square link face**
만약 $v \in \omega \in \mathcal{M}_O$이고, auxiliary presentation을 잡아 $v = x_i^\sigma$ $(\sigma \in \{+,-\})$ 라고 하자. 그러면 $v$와 $\omega$ 안에서 primitive adjacency로 연결된 네 Qaether unit은 나머지 두 opposite pair의 unit들이다.
$$
P_j \cup P_k \qquad (\{i,j,k\} = \{1,2,3\}).
$$
이 네 Qaether unit은 link 안에서 motif-tagged square 2-face를 이룬다고 정의한다.
$$
\boxed{
(\omega, v; [x_j^+, x_k^+, x_j^-, x_k^-]_{\mathrm{unor}}).
}
$$
이 square boundary는 opposite-pair의 순서나 $(+/-)$ labeling 선택에 의존하지 않는 unoriented square boundary이다.

따라서 link 2-faces는 먼저 tagged disjoint union으로 둔다.
$$
\boxed{
\operatorname{Lk}_Q(v)^{(2)} := \operatorname{Lk}_{Q,T}(v)^{(2)} \sqcup \operatorname{Lk}_{Q,O}(v)^{(2)}.
}
$$

$\operatorname{Lk}_Q(v)$의 1-cells는 tagged triangular faces와 tagged square faces의 boundary edges로 생성한다.

이렇게 얻은 $\operatorname{Lk}_Q(v)$는 일반적으로 candidate incidence structure이다. 자동으로 regular cell complex이거나 sphere일 필요는 없다. 서로 다른 tagged faces가 같은 ambient boundary를 갖는다면, 이는 multiplicity를 가진 incidence로 남긴다. Cuboctahedral compatibility를 요구할 때는 이러한 multiplicity가 regular cell complex로 내려갈 수 있는지 별도로 검사한다.

8.2 Cuboctahedral one-Qaether neighborhood compatibility axiom

Cuboctahedral local order를 갖는 Qaether sector에서는 boundary Qaether unit이 아니라 full-internal Qaether unit에 대해 다음 axiom을 추가로 요구한다.

$$
\boxed{
\operatorname{Lk}_Q(v) \text{ is a regular cell complex and } \operatorname{Lk}_Q(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}} \qquad (v \in V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}).
}
$$

여기서 $\Sigma_{\mathrm{co}}$는 cuboctahedral spherical figure의 combinatorial type이다.

이 명제의 의미는 접공간의 구면분할이 아니라,
$$
\boxed{
v\text{라는 하나의 Qaether unit의 직접 인접구조가 cuboctahedral incidence type을 가진다는 뜻이다.}
}
$$

따라서 정확한 논리 관계는 다음이다.
$$
\boxed{
2T+2O \Rightarrow K_Q(e)=0.
}
$$
$$
\boxed{
2T+2O+TOTO \Rightarrow \text{adjacency-local order defect-free}.
}
$$
하지만
$$
\boxed{
2T+2O+TOTO \not\Rightarrow \operatorname{Lk}_Q(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}} \text{ in abstract Qaether space}.
}
$$

Cuboctahedral/FCC-type local order는 추가 compatibility axiom 또는 별도 존재정리가 필요한 상위 구조이다.

9. FCC-type skeleton과 vacuum candidate

9.1 Standard FCC graph as reference model

표준 FCC lattice를
$$
\boxed{
\Lambda_{\mathrm{FCC}} := \{(i,j,k) \in \mathbb{Z}^3 : i+j+k \equiv 0 \pmod{2}\}
}
$$
로 둔다. 표준 FCC nearest-neighbor graph를
$$
\boxed{
\Gamma_{\mathrm{FCC}} = (\Lambda_{\mathrm{FCC}}, E_{\mathrm{FCC}})
}
$$
라고 하고, $\{p,q\} \in E_{\mathrm{FCC}} \iff |p-q| = \sqrt{2}$ 로 정의한다. 필요하면 전체 graph를 homothety로 rescale하여 nearest-neighbor length를 $\ell_P$로 맞춘다.

그러나 이 FCC lattice는 Qaether unit들이 기존 유클리드 공간 안에 점으로 박혀 있다는 뜻이 아니다. 그것은 Qaether adjacency graph의 local combinatorial type을 비교하기 위한 reference graph이다.

$$
\boxed{
\text{The FCC lattice is used only as a reference graph for local adjacency type; it is not assumed that Qaether units are embedded as points in a pre-existing Euclidean space.}
}
$$

한국어로는 다음과 같다.
$$
\boxed{
FCC\text{ lattice는 Qaether들이 기존 유클리드 공간 안에 점으로 박혀 있다는 뜻이 아니라, Qaether adjacency graph의 표준 비교모델이다.}
}
$$

9.2 FCC-type local skeleton

Sector $U = (V_U, E_U, E_U^{\mathrm{int}}, V_{U,\star}^{\mathrm{int}}, V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}})$가 반경 $r$에서 FCC-type local skeleton을 갖는다는 것은, 모든 $v \in V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}$에 대해 $G_Q|_U$에서의 radius-$r$ graph ball이 $\Gamma_{\mathrm{FCC}}$의 어떤 vertex 주변 radius-$r$ graph ball과 graph-isomorphic이라는 뜻이다.

$$
\boxed{
B_{G_Q|_U}(v,r) \cong B_{\Gamma_{\mathrm{FCC}}}(p,r) \quad \text{for some } p \in \Lambda_{\mathrm{FCC}}.
}
$$

모든 finite radius $r$에 대해 이 조건이 성립하면, $U$는 locally FCC-type skeleton을 갖는다고 한다. Global FCC skeleton을 요구하려면 $G_Q|_U$ 전체가 $\Gamma_{\mathrm{FCC}}$의 subgraph 또는 rescaled copy와 graph-isomorphic이어야 한다.

중요하게,
$$
\boxed{
FCC\text{-type skeleton은 } TOTO\text{에서 따라오지 않는다. 별도 조건이다.}
}
$$

9.3 Vacuum candidate

FCC nearest-neighbor graph는 Qaether 공간의 가능한 reference skeleton 후보가 될 수 있다. 그러나 FCC skeleton 자체가 curvature나 order를 결정하지 않는다.
$$
\boxed{
FCC\text{ skeleton} \neq \text{Qaether vacuum}.
}
$$

곡률과 order는 $\mathcal{M}_T, \ \mathcal{M}_O, \ \operatorname{cyc}$ 에 의해 결정된다.

Qaether vacuum candidate는 다음 조건을 만족하는 sector로 정의할 수 있다.
$$
\boxed{
\mathcal{S}_Q^{\mathrm{vac}} := \text{FCC-type adjacency skeleton} + 2T+2O + TOTO + \text{one-Qaether cuboctahedral neighborhood compatibility}.
}
$$

더 구체적으로, sector $U$가 vacuum candidate이면 다음을 만족한다.

$G_Q|_U$는 FCC-type local adjacency skeleton이다.
모든 $e \in E_U^{\mathrm{int}}$에 대해 $(t_e, o_e) = (2,2)$이다.
모든 $e \in E_U^{\mathrm{int}}$에 대해 $\operatorname{cyc}_e \sim TOTO$이다.
모든 $v \in V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}$에 대해 $\operatorname{Lk}_Q(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}}$이다.

그러나 다음은 아직 정의가 아니라 별도의 증명 또는 물리적 postulate가 필요하다.
$$
\boxed{
\text{global } TOTO\text{ decoration의 존재성, 유일성, 안정성, 물리적 vacuum 해석.}
}
$$

10. 최종 압축 정의

Qaether 공간 v2.2은 다음 구조이다.

$$
\boxed{
\mathcal{S}_Q := \left( V, E, \ell_P, F_\triangle, \mathcal{M}_T, \mathcal{M}_O, \operatorname{cyc} \right).
}
$$

여기서
- $\boxed{V = \text{set of Qaether units, i.e. minimal units of space}}$
- $\boxed{E = \text{primitive adjacency relations between Qaether units}}$
- $\boxed{\ell_P = \text{calibrated Planck-scale adjacency length}}$
- $\boxed{F_\triangle = \text{selected primitive triangular closures}}$
- $\boxed{\mathcal{M}_T \subseteq \operatorname{Adm}_T = \text{selected four-Qaether } K_4\text{-type closure motifs}}$
- $\boxed{\mathcal{M}_O \subseteq \operatorname{Adm}_O = \text{selected six-Qaether opposite-paired } K_{2,2,2}\text{-type closure motifs}}$
- $\boxed{\operatorname{cyc} := \text{adjacency-local cyclic order data on incident motifs}}$

Regular calibration은
$$
\boxed{
\theta_T = \arccos\left(\frac{1}{3}\right), \qquad \theta_O = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right).
}
$$

Qaether adjacency defect는
$$
\boxed{
K_Q(e) = 2\pi - (t_e \theta_T + o_e \theta_O).
}
$$

Regular calibration 아래에서
$$
\boxed{
K_Q(e) = 0 \iff (t_e, o_e) = (2,2).
}
$$

(2T+2O) adjacency에서
$$
\boxed{
TOTO = \text{adjacency-geometrically defect-free and order defect-free},
}
$$
$$
\boxed{
TTOO = \text{adjacency-geometrically defect-free but order-defective}.
}
$$

하지만 추상 Qaether 공간에서는
$$
\boxed{
TOTO \not\Rightarrow \operatorname{Lk}_Q(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}}, \qquad TOTO \not\Rightarrow FCC.
}
$$

Cuboctahedral/FCC order는 별도의 one-Qaether neighborhood compatibility axiom 또는 존재정리가 필요한 상위 구조이다.

Qaether_Motif_Spaces__A_Combinatorial_Effective_Framework_for_Minimal_Space_Unit_Adjacency_Geometry.pdf

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기하학적 정팔면체 모티프 구성

Qaether Theory — Sat, 18 Apr 2026 20:03:36 +0900

1. 계의 정의 및 기본 상태 (Definitions & State Space)

정의 1.1: 직교 평면과 변(Edges)
3차원 좌표계의 원점을 중심으로 세 개의 서로 직교하는 정사각형 $A, B, C$가 각각 $xy, yz, zx$ 평면에 존재한다. 각 사각형의 4변은 시계방향(Clockwise)으로 배정된 방향 벡터 고리(Directed loop)를 형성하며, 각 변의 스칼라 값을 나타내는 집합을 다음과 같이 정의한다.

$E_A = {a_1, a_2, a_3, a_4}$
$E_B = {b_1, b_2, b_3, b_4}$
$E_C = {c_1, c_2, c_3, c_4}$

공리 1 (양의 점유 및 이산성):
모든 변의 값은 0 이상의 정수(음이 아닌 정수)이다.
$$a_i, b_j, c_k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$$

공리 2 (총량 보존 및 비대칭성):
각 사각형을 구성하는 4변의 합은 12로 일정하며, 단일 사각형 내에서 모든 변의 값은 서로 다르다.
$$\sum_{n=1}^{4} a_n = \sum_{n=1}^{4} b_n = \sum_{n=1}^{4} c_n = 12$$
$$a_i \neq a_j \quad (i \neq j)$$

2. 위상수학적 구조와 순환 (Topology & Circulation)

정의 2.1: 면(Faces)과 경계(Boundary)
세 사각형의 교차로 인해 정팔면체의 8개 정삼각형 면 $F_k \ (k=1, 2, \dots, 8)$이 형성된다. 각 면 $F_k$의 경계 $\partial F_k$는 세 집합 $E_A, E_B, E_C$에서 각각 하나씩 선택된 세 개의 변으로 구성된다.

정의 2.2: 면의 순환합 (Face Circulation, $\Phi$)
특정 면 $F_k$의 테두리를 따라 오른손 법칙(또는 특정 회전 방향)을 기준으로 선적분(Line integral)을 수행할 때, 각 사각형에 부여된 시계방향이 이 적분 경로와 일치하는지(+1), 엇갈리는지(-1)를 나타내는 부호 함수를 $s_{A}, s_{B}, s_{C} \in {-1, 1}$이라 하자. 면의 순환합 $\Phi(F_k)$는 다음과 같이 정의된다.
$$\Phi(F_k) = s_A a_i + s_B b_j + s_C c_l$$

공리 3 (양자화된 위상 조건):
모든 8개의 면에 대하여, 순환합의 절댓값은 오직 0 또는 12만을 갖는다.
$$|\Phi(F_k)| \in {0, 12}$$
(즉, $\Phi(F_k)$의 가능한 상태는 ${-12, 0, +12}$뿐이다.)

3. 유도된 수학적 정리 (Derived Theorems)

위의 공리계로부터 다음과 같은 강력한 수학적/물리적 보존 법칙들이 필연적으로 유도됩니다.

정리 3.1: 전체 다이버전스 제로 (Global Null-Flux Theorem)
정팔면체의 8개 면에 대하여 모든 순환합을 더하면, 각 내부 변($a_i, b_j, c_k$)은 인접한 두 면에서 서로 반대 방향으로 정확히 두 번 적분 경로에 포함되므로 전체 합은 항등적으로 0이 된다.
$$\sum_{k=1}^{8} \Phi(F_k) = 0$$

물리적 의미: 계 전체에 걸쳐 에너지가 무에서 창조되거나 소멸하지 않으며, 소스(Source, $+12$)와 싱크(Sink, $-12$)가 항상 쌍으로 존재함(쌍생성)을 증명한다.

정리 3.2: 이산 스토크스 정리 (Discrete Stokes' Theorem at Vertices)
정팔면체의 6개 꼭짓점 중 임의의 꼭짓점 $V$를 공유하는 4개의 인접한 면 집합을 $S_V$라 할 때, 이 4개 면의 순환합의 총합은 해당 꼭짓점의 반대편에 위치한 '적도면 사각형(Equatorial Square)'의 총합과 같다.
$$\sum_{F \in S_V} \Phi(F) = \pm 12$$

물리적 의미: $|\Phi(F)| \in {0, 12}$ 조건에 의해, 특정 꼭짓점 주변의 4개 면 중 단 1개의 면만이 활성화($\pm 12$)되고 나머지 3개 면은 반드시 완벽한 진공($0$) 상태를 유지해야 한다.

정리 3.3: 마법 수열 스펙트럼 (Spectrum of Permitted States)
공리 1과 공리 2($\sum = 12$, 모두 다른 정수)를 만족하는 단일 평면의 집합 $E$는 수학적으로 오직 9개의 고유한 해(Set)만을 갖는다.

$E \in \{ \{0,1,2,9\}, \{0,1,3,8\}, \{0,1,4,7\}, \{0,1,5,6\}, \{0,2,3,7\}, \{0,2,4,6\}, \{0,3,4,5\}, \{1,2,3,6\}, \{1,2,4,5\} \}$
물리적 의미: 에너지가 공간에 연속적으로 분포할 수 없으며, 시스템이 자발적으로 대칭성을 깨고(Spontaneous Symmetry Breaking) 9가지 중 하나의 불균등한 상태(비대칭 구배, Gradient)를 선택하도록 강제한다. 이는 비자명한 진공(Non-trivial vacuum)의 존재 증명이다.

정리 3.4: 공명에 의한 극단적 쏠림 (Principle of Constructive Interference)
어떤 면 $F_k$가 $\Phi(F_k) = \pm 12$를 만족하기 위해서는, 세 사각형에서 선택된 가장 큰 값들(예: 9, 2, 1 등)이 해당 면에서 부호의 충돌 없이 동일한 위상(+ 방향)으로 완벽하게 중첩되어야 한다. 동시에 다른 면에서는 수식 상쇄(예: $+a_i - b_j + 0 = 0$)를 통해 0을 만들어내야 한다.

물리적 의미: 세 직교 평면 $A, B, C$는 독립적일 수 없으며, 국소적인 실체(입자성)를 형성하기 위해 서로의 위상을 톱니바퀴처럼 완벽하게 맞물려야(Entanglement) 한다.

요약 및 결론

이 모델은 단순히 합이 12인 사각형 세 개를 교차시킨 것이 아닙니다.
"방향성을 가진 변", "모든 변의 값이 다르다", "면의 순환합은 0 또는 12다"라는 세 가지 조건이 결합되는 순간, 이 기하학적 뼈대는 아무 값이나 가질 수 없는 고도로 제약된 양자화된 대수학적 네트워크(Quantized Algebraic Network)로 변모합니다.

이 엄밀한 수학적 틀 안에서, 특정한 값을 갖는 면(12)은 입자나 에너지의 플럭스로, 0을 갖는 면은 구조적 상쇄가 일어난 진공으로 자연스럽게 정의되며, Qaether 이론의 이산적 공간-에너지 매커니즘을 설명하는 완벽한 뼈대가 됩니다.

Tetrahedral–Octahedral Complexes with Cuboctahedral Vertex Figures

Qaether Theory — Fri, 10 Apr 2026 09:57:34 +0900

1장. 서론

1.1 문제 설정

유클리드 3공간 $\mathbb R^3$을 유한 종류의 기본 셀들의 복사본들을 face-to-face로 결합한 복합체로 기술하는 문제는 이산기하와 조합위상수학의 고전적 주제이다. 본 논문이 다루는 출발점은 다음과 같은 질문이다.

"모든 3-cell이 같은 edge length를 갖는 regular tetrahedron일 때, 그러한 셀들만으로 $\mathbb R^3$를 결함 없이 채우는 face-to-face complex가 존재하는가?"

이 문제의 기본적인 장애는 regular tetrahedron의 이면각
$$
\alpha_{\mathrm{tet}}=\arccos(1/3)
$$
에 있다. 이 값의 정수배는 $2\pi$가 되지 않으므로, 하나의 edge 주위를 regular tetrahedra만으로 둘러싸더라도 각이 정확히 닫히지 않는다. 따라서 regular tetrahedral-only 결합은 defect-free한 3차원 모델을 줄 수 없을 것으로 예상된다.

이 자연스러운 장애를 넘기 위해 본 논문은 허용 셀의 종류를 넓혀, regular tetrahedron과 regular octahedron을 함께 허용하는 경우를 연구한다. 그러면 문제는 다음과 같이 바뀐다.

regular tetrahedra와 regular octahedra를 함께 허용하면 defect-free한 face-to-face 3차원 complex가 존재하는가?

그리고 만약 존재한다면, 그러한 complex의 가능한 전역 구조는 국소 결합 조건에 의해 얼마나 강하게 제약되는가가 핵심 문제가 된다.

1.2 이 논문의 관점

본 논문은 특정 lattice나 특정 ordered structure를 처음부터 가정하지 않는다. 대신 가능한 모델들의 큰 공간을 먼저 정의하고, 그 위에 점차 국소 조건을 더해 가며 전역 구조를 축소한다. 흐름은 다음과 같다.

첫째, $\mathbb R^3$ 안의 일반적인 face-to-face 3차원 polyhedral complex의 클래스 $\mathfrak C_0$를 정의한다.

둘째, 그 가운데 3-cells가 regular tetrahedron과 regular octahedron뿐인 복합체들의 클래스 $\mathfrak C_1(a)$를 정의한다.

셋째, 그 안에서 $\mathbb R^3$를 결함 없이 채우는 defect-free 클래스 $\mathfrak C_2(a)$를 정의한다.

넷째, defect-free tet–oct complex의 각 vertex에서 작은 구면 절단으로 얻어지는 vertex link를 분석하여, 가능한 국소 구조가 triangle–square spherical figure의 문제로 환원됨을 보인다.

다섯째, 모든 vertex가 같은 vertex figure를 갖는 vertex-uniform 클래스 $\mathfrak C_3(a)$를 도입하여, 분류 문제를 admissible spherical figure의 분류와 realizability 문제로 재구성한다.

1.3 주요 결과

본 논문의 핵심 결과는 다음과 같다.

첫째, regular tetrahedral-only 클래스는 defect-free 조건과 양립하지 않는다. 즉,
$$
\mathfrak T(a)\cap \mathfrak C_2(a)=\varnothing
$$
이다.

둘째, regular tetrahedra와 regular octahedra를 함께 허용하면 defect-free periodic complex가 존재한다. 즉,
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing
$$
이다.

셋째, defect-free tet–oct complex에서는 각 vertex의 작은 구면 절단이 자동으로 $S^2$의 finite cell decomposition을 이루며, 그 2-faces는 삼각형과 사각형뿐이다.

넷째, 각 edge 주위의 각도 조건을 이용하면 모든 edge에 대해
$$
t_e=2,\qquad o_e=2
$$
가 성립한다. 여기서 $t_e$, $o_e$는 각각 그 edge에 incident한 tetrahedra와 octahedra의 개수이다.

다섯째, 위의 edge 조건과 vertex link의 계수 관계를 결합하면 각 vertex에 incident한 tetrahedron의 개수는 항상
$$
t_v=8
$$
임을 얻는다.

여섯째, vertex-uniform 조건을 도입하면 realizable한 vertex figure $\Sigma$는 반드시
$$
t(\Sigma)=8,\qquad o(\Sigma)=6,\qquad (f_0,f_1,f_2)=(12,24,14)
$$
를 만족한다.

일곱째, 표준 periodic tet–oct complex의 vertex figure는 cuboctahedron의 boundary cellulation과 조합적으로 동일하다. 따라서 cuboctahedral spherical figure는 realizable하다.

1.4 논문의 구성

2장에서는 기본 클래스들
$$
\mathfrak C_0,\ \mathfrak C_1(a),\ \mathfrak T(a),\ \mathfrak C_2(a),\ \mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)
$$
을 정의한다.

3장에서는 regular tetrahedral-only 클래스의 불가능성과 mixed-cell periodic complex의 존재를 증명한다.

4장에서는 defect-free tet–oct complex의 vertex link를 분석하여, 국소 구조가 triangle–square spherical figure로 환원됨을 보이고 edge 및 vertex 수준의 제약을 도출한다.

5장에서는 vertex-uniform 클래스 $\mathfrak C_3(a)$와 vertex figure type $\Sigma$에 따른 부분 클래스 $\mathfrak C_3(a;\Sigma)$를 도입하고, 분류 문제를 admissible spherical figure의 분류와 realizability의 판정 문제로 재구성한다.

2장. 기본 클래스의 정의

2.1 face-to-face polyhedral complexes

정의 2.1
$\mathcal K$를 $\mathbb R^3$ 안의 볼록 polytope들의 locally finite한 집합이라 하자. 다음 조건이 성립하면 $\mathcal K$를 face-to-face 3차원 polyhedral complex라 한다.

$\mathcal K$의 각 원소는 $\mathbb R^3$의 볼록 polytope이다.
각 셀의 모든 face는 다시 $\mathcal K$에 속한다.
임의의 두 셀의 교집합은 공집합이거나 공통 face이다.
maximal cells는 모두 3차원이다.

복합체의 지지집합은
$$
|\mathcal K|:=\bigcup_{\sigma\in\mathcal K}\sigma
$$
로 쓴다.

이러한 모든 복합체의 클래스를 $\mathfrak C_0$로 표기한다.

2.2 허용 셀 종류에 의한 제한

정의 2.2
$a>0$를 고정하자. $\mathcal K\in\mathfrak C_0$가 다음을 만족하면 $\mathcal K$를 regular tetrahedral–octahedral complex of scale $a$ 라 한다.

$\mathcal K$의 모든 maximal 3-cells가 edge length $a$인 regular tetrahedron 또는 regular octahedron과 합동이다.

이러한 복합체들의 클래스를 $\mathfrak C_1(a)$로 쓴다.

정의 2.3
$\mathcal K\in \mathfrak C_1(a)$가 모든 maximal 3-cells가 regular tetrahedron일 때, $\mathcal K$를 regular tetrahedral-only complex라 한다.

이러한 복합체들의 클래스를
$$
\mathfrak T(a)\subset \mathfrak C_1(a)
$$
로 쓴다.

주석 2.4
regular octahedron의 2-faces는 모두 정삼각형이다. 따라서 $\mathfrak C_1(a)$의 원래 복합체에서 나타나는 모든 2-faces도 삼각형이다. 이후 등장하는 사각형은 원래 복합체의 2-face가 아니라 vertex link 위의 2-cell이다.

2.3 defect-free와 periodicity

정의 2.5
$\mathcal K\in\mathfrak C_1(a)$가 다음을 만족하면 $\mathcal K$를 defect-free라 한다.

$|\mathcal K|=\mathbb R^3$,
모든 2-face가 정확히 두 개의 3-cells에 속한다.

이러한 복합체들의 클래스를
$$
\mathfrak C_2(a)\subset \mathfrak C_1(a)
$$
로 쓴다.

정의 2.6
$\mathcal K\in \mathfrak C_2(a)$가 어떤 rank 3 translation lattice $\Lambda\subset\mathbb R^3$에 대해 $\Lambda$-불변이면 $\mathcal K$를 periodic이라 한다. 즉,
$$
\sigma\in\mathcal K,\ \lambda\in\Lambda \implies \sigma+\lambda\in\mathcal K
$$
가 모든 $\sigma\in\mathcal K,\ \lambda\in\Lambda$에 대해 성립한다.

이러한 복합체들의 클래스를
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\subset \mathfrak C_2(a)
$$
로 쓴다.

정의 2.8
$\mathcal K\in\mathfrak C_0$의 edge $e\in E(\mathcal K)$가
$$
\operatorname{relint}(e)\subset \operatorname{int}(|\mathcal K|)
$$
를 만족하면 $e$를 interior edge라 한다.

특히 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이면 $|\mathcal K|=\mathbb R^3$이므로 모든 edge는 interior edge이다.

정의 2.9
$\mathcal K\in\mathfrak C_0$의 interior edge $e$를 고정하자. $x\in\operatorname{relint}(e)$를 잡고, $e$에 수직인 충분히 작은 닫힌 원판 $D_x$를 $x$ 중심으로 택하자. 이때 $D_x$는 $e$에 incident한 셀들과만 만나고, 각 그러한 3-cell과의 교차는 $D_x$ 안의 하나의 sector가 된다. $\partial D_x\cong S^1$ 위에 유도되는 원형 cell decomposition을 $e$의 edge-link라 한다.

명제 2.10
$\mathcal K\in\mathfrak C_0$의 interior edge $e$에 대하여, 충분히 작은 $D_x$를 택하면 $e$의 edge-link는 $S^1$의 finite cell decomposition이 된다. 특히 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이면 $e$ 주위의 이면각 총합은 정확히 $2\pi$이다.

증명
$x\in\operatorname{relint}(e)$를 고정한다. $e$가 interior edge이므로
$$
x\in \operatorname{int}(|\mathcal K|)
$$
이다. local finiteness에 의해 어떤 $r>0$에 대하여 닫힌 공 $\overline{B_r(x)}$와 만나는 셀은 유한 개뿐이며, $r$를 충분히 작게 택하면
$$
\overline{B_r(x)}\subset \operatorname{int}(|\mathcal K|)
$$
가 성립한다.

이제 $\overline{B_r(x)}$와 만나는 셀들 가운데 $x$를 포함하는 셀들을 생각하자. $x\in\operatorname{relint}(e)$이므로, 어떤 셀 $\sigma\in\mathcal K$가 $x$를 포함하면 $\sigma\cap e$는 $e$의 face로서 $x$를 포함해야 한다. 그런데 $x$를 포함하는 $e$의 face는 $e$ 자신뿐이므로, $x\in\sigma$이면 반드시
$$
e\subset \sigma
$$
이다. 즉 $x$를 포함하는 셀은 정확히 $e$에 incident한 셀들이다.

한편 $\overline{B_r(x)}$와 만나지만 $x$를 포함하지 않는 셀들은 유한 개이므로, 그들로부터 $x$까지의 거리의 최솟값
$$
\delta:=\min \{ d(x,\tau) \mid \tau\cap \overline{B_r(x)}\neq\varnothing,\ x\notin\tau \}
$$
는 양수이다. 따라서 $0<\varepsilon<\min \{ r,\delta \}$로 잡으면, $e$에 수직인 반지름 $\varepsilon$의 닫힌 원판 $D_x$는 $x$를 포함하지 않는 어떤 셀과도 만나지 않는다. 그러므로 $D_x$는 정확히 $e$에 incident한 셀들과만 만난다.

이제 $e$에 incident한 각 3-cell $\sigma$에 대해 $D_x\cap \sigma$를 보자. $\sigma$는 볼록 polytope이고 $x\in e\subset \sigma$이므로 $D_x\cap \sigma$는 $x$를 꼭짓점으로 하는 볼록한 sector이다. 또한 face-to-face 조건 때문에 서로 다른 두 그러한 3-cell $\sigma,\sigma'$에 대하여
$$
(D_x\cap \sigma)\cap(D_x\cap \sigma')=D_x\cap(\sigma\cap\sigma')
$$
는 공집합이거나 공통 radial edge이다. 또 $D_x\subset |\mathcal K|$이고 $D_x$가 $e$에 incident한 3-cell들과만 만나므로,
$$
D_x=\bigcup_{\sigma\supset e}(D_x\cap \sigma)
$$
가 성립한다. 따라서 $\partial D_x\cong S^1$ 위에는 유한 개의 호와 꼭짓점으로 이루어진 finite cell decomposition이 유도된다. 이것이 $e$의 edge-link이다.

이제 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$라고 하자. 그러면 $D_x\subset |\mathcal K|=\mathbb R^3$이므로 위 sector들은 $D_x$를 겹침 없이 정확히 한 번 둘러싸며, 따라서 그 평면각들의 합은 $2\pi$이다. 그런데 각 sector $D_x\cap \sigma$의 중심각은 $\sigma$가 edge $e$에서 가지는 interior dihedral angle과 일치한다. 이는 $e$에 수직인 평면 단면에서 이면각이 바로 그 평면각으로 측정되기 때문이다. 따라서 $e$ 주위의 이면각 총합은 정확히 $2\pi$이다. $\square$

3장. tetrahedral-only의 장애와 mixed-cell complex의 존재

3.1 tetrahedral-only complex의 각도 결손

regular tetrahedron의 이면각을
$$
\alpha_{\mathrm{tet}}:=\arccos(1/3)
$$
로 둔다.

보조정리 3.1
정수 $m\ge 1$에 대하여
$$
m\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi
$$
를 만족하는 $m$은 존재하지 않는다.

증명
수치적으로
$$
\alpha_{\mathrm{tet}}\approx 1.230959417\ldots
$$
이므로
$$
5\alpha_{\mathrm{tet}}\approx 6.1548\ldots \lt 2\pi \lt 6\alpha_{\mathrm{tet}}\approx 7.3857\ldots.
$$
따라서
$$
5 \lt \frac{2\pi}{\alpha_{\mathrm{tet}}} \lt 6.
$$
특히 $\frac{2\pi}{\alpha_{\mathrm{tet}}}\notin\mathbb Z$이므로 그런 $m$은 존재하지 않는다. $\square$

정리 3.2
defect-free regular tetrahedral-only complex는 존재하지 않는다.

증명
반대로
$$
\mathcal K\in \mathfrak T(a)\cap \mathfrak C_2(a)
$$
라고 하자. 임의의 edge $e\in E(\mathcal K)$를 잡고, $e$에 incident한 tetrahedra의 개수를 $m(e)$라 하자.

$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이므로 $e$는 interior edge이다. 따라서 명제 2.10에 의해 $e$ 주위의 이면각 총합은 정확히 $2\pi$이다. 그런데 $e$에 incident한 모든 3-cells는 regular tetrahedron이므로
$$
m(e)\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi
$$
가 되어야 한다. 이는 보조정리 3.1에 모순이다. 따라서
$$
\mathfrak T(a)\cap \mathfrak C_2(a)=\varnothing.
$$
$\square$

3.2 mixed-cell periodic complex의 구성

이제 regular octahedron을 함께 허용한다.

$$L:= \{(i,j,k)\in\mathbb Z^3:\ i+j+k\equiv 0\pmod 2 \},$$ $$L^{\mathrm{odd}}:= \{(i,j,k)\in\mathbb Z^3:\ i+j+k\equiv 1\pmod 2 \}$$를 둔다.

각 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 unit cube
$$
Q_n:=n+[0,1]^3
$$
를 잡는다.

각 cube $Q_n$의 여덟 꼭짓점 가운데 정확히 네 개가 $L$에 속한다. 그 네 점의 convex hull를
$$
\Delta_n
$$
이라 하자.

또한 각 $c\in L^{\mathrm{odd}}$에 대하여

$$ e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)
$$

이라면 이때 $O_c$를 다음과 같이 정의한다.

$$ O_c:=\operatorname{conv} \{c\pm e_1,\ c\pm e_2,\ c\pm e_3\}
$$

이 장의 목표는 다음 정리를 증명하는 것이다.

정리 3.3
각 $a \gt 0$에 대해 defect-free periodic regular tetrahedral–octahedral complex가 존재한다. 즉
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing.
$$

3.3 중앙 tetrahedron과 odd-center octahedron

보조정리 3.4
각 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 $\Delta_n$은 edge length $\sqrt2$인 regular tetrahedron이고, 각 $c\in L^{\mathrm{odd}}$에 대하여 $O_c$는 edge length $\sqrt2$인 regular octahedron이다.

증명
참조 큐브 $Q_0=[0,1]^3$에서 $L$-꼭짓점은
$$
(0,0,0),\ (1,1,0),\ (1,0,1),\ (0,1,1)
$$
이며, 임의의 두 점 사이의 거리는 모두 $\sqrt2$이다. 따라서
$$
\Delta_0=\operatorname{conv} \{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}
$$
는 edge length $\sqrt2$인 regular tetrahedron이다. 일반 $n$에 대해서도 $\Delta_n$은 $\Delta_0$와 합동이므로 같은 결론이 성립한다.

한편 $O_c$의 꼭짓점은
$$
c\pm e_1,\ c\pm e_2,\ c\pm e_3
$$
이고, 인접한 두 꼭짓점 사이의 거리는 항상 $\sqrt2$이다. 따라서 $O_c$는 edge length $\sqrt2$인 regular octahedron이다. $\square$

3.4 각 cube의 5-tetrahedra 분해

참조 큐브 $Q_0=[0,1]^3$의 odd parity 꼭짓점은 $$ u_1=(1,0,0),\quad u_2=(0,1,0),\quad u_3=(0,0,1),\quad u_4=(1,1,1) $$ 이다. 각 $u_i$에 대해 corner tetrahedron을 $ C_{u_i} $로 쓴다. 즉 $$ C_{(1,0,0)} =\operatorname{conv} \{(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,0,0) \}, $$ $$ C_{(0,1,0)}=\operatorname{conv} \{(0,1,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0) \}, $$ $$ C_{(0,0,1)}=\operatorname{conv} \{(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0) \}, $$ $$ C_{(1,1,1)} =\operatorname{conv} \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) \}.$$

그리고 중앙 tetrahedron은 $$ \Delta_0=\operatorname{conv} \{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\} $$ 이다.

이들은 다음의 선형 부등식으로 주어진다. $$ C_{(1,0,0)}= \{x\in Q_0:\ x_1\ge x_2+x_3\}, $$

$$ C_{(0,1,0)}= \{x\in Q_0:\ x_2\ge x_1+x_3\},$$ $$ C_{(0,0,1)}= \{x\in Q_0:\ x_3\ge x_1+x_2\}, $$ $$ C_{(1,1,1)}=\{x\in Q_0:\ x_1+x_2+x_3\ge 2\}, $$ $$ \Delta_0= \{x\in Q_0:\ x_1\le x_2+x_3,\ x_2\le x_1+x_3,\ x_3\le x_1+x_2,\ x_1+x_2+x_3\le 2 \}.$$

실제로 각 우변은 $Q_0$와 유한 개의 반공간의 교집합으로 주어지는 볼록 polytope이며, 그 extreme points를 직접 계산하면 위에서 정의한 corresponding tetrahedron의 네 꼭짓점만을 갖는다. 따라서 각 식은 정확히 해당 tetrahedron을 기술한다.

이제 이 다섯 집합이 $Q_0$를 분할함을 보이자. 임의의 $$ x=(x_1,x_2,x_3)\in Q_0 $$를 잡는다.

만약 $x_1+x_2+x_3\ge 2 $이면 $x\in C_{(1,1,1)}$이다.

이제 $ x_1+x_2+x_3<2 $ 라고 하자.

이때 만약 $x_1>x_2+x_3 $이면 $x\in C_{(1,0,0)}$이고,

만약 $x_2>x_1+x_3 $이면 $x\in C_{(0,1,0)}$이며,

만약 $ x_3>x_1+x_2 $이면 $x\in C_{(0,0,1)}$이다.

이 네 경우가 모두 일어나지 않으면
$$
x_1\le x_2+x_3,\qquad
x_2\le x_1+x_3,\qquad
x_3\le x_1+x_2,\qquad
x_1+x_2+x_3\le 2
$$
가 동시에 성립하므로 $x\in\Delta_0$이다. 따라서
$$
Q_0=
\Delta_0
\cup C_{(1,0,0)}
\cup C_{(0,1,0)}
\cup C_{(0,0,1)}
\cup C_{(1,1,1)}
$$
가 성립한다.

또한 각 집합의 상대내부는 defining inequalities가 strict form으로 주어지는 점들의 집합과 일치한다. 예를 들어 $$\operatorname{relint}(C_{(1,0,0)})=\{x\in \mathbb R^3:\ 0 \lt x_2, \quad 0 \lt x_3, \quad x_2+x_3 \lt x_1 \lt 1\},$$ $$\operatorname{relint}(C_{(0,1,0)})=\{x\in \mathbb R^3:\ 0 \lt x_1, \quad 0 \lt x_3, \quad x_1+x_3 \lt x_2 \lt 1\},$$ $$\operatorname{relint}(C_{(0,0,1)})=\{x\in \mathbb R^3:\ 0 \lt x_1, \quad 0 \lt x_2, \quad x_1+x_2 \lt x_3 \lt 1\},$$ $$\operatorname{relint}(C_{(1,1,1)})=\{x\in \mathbb R^3:\ 0 \lt x_1 \lt 1, \quad 0 \lt x_2 \lt 1, \quad 0 \lt x_3 \lt 1, \quad x_1+x_2+x_3 \gt 2\},$$ $$\operatorname{relint}(\Delta_0)=\{x\in Q_0:\ x_1 \lt x_2+x_3,\ x_2 \lt x_1+x_3,\ x_3 \lt x_1+x_2,\ x_1+x_2+x_3 \lt 2\}.$$ 따라서 이 다섯 tetrahedra의 상대내부는 서로 서로소이다.

이제 일반 cube $Q_n$으로 옮긴다. $A_n\in O(3)$와 $b_n\in\mathbb Z^3$를
$$
A_n=
\begin{cases}
I,& n_1+n_2+n_3\equiv 0\pmod 2,\\
-I,& n_1+n_2+n_3\equiv 1\pmod 2
\end{cases}
\qquad
b_n=
\begin{cases}
n,& n_1+n_2+n_3\equiv 0\pmod 2,\\
n+\mathbf 1,& n_1+n_2+n_3\equiv 1\pmod 2
\end{cases}
$$
로 두고
$$
\iota_n(x):=A_nx+b_n
\qquad (x\in\mathbb R^3)
$$
를 정의하자. 여기서
$$
\mathbf 1=(1,1,1)
$$
이다.

그러면 $\iota_n$는 $Q_0$를 $Q_n$으로 보내는 affine isometry이다. 실제로 $n_1+n_2+n_3$가 짝수이면
$$
\iota_n(x)=x+n
$$
이므로 자명하고, 홀수이면
$$
\iota_n(x)=-x+n+\mathbf 1
$$
이므로
$$
\iota_n([0,1]^3)=n+[0,1]^3=Q_n
$$
이다.

또한 $\iota_n$는 $Q_0$의 꼭짓점들을 $Q_n$의 꼭짓점들로 보내며, parity도 보존한다. 실제로 $v\in \{0,1\}^3$에 대해
$$
\sum_{i=1}^3 (\iota_n(v))_i \equiv \sum_{i=1}^3 v_i \pmod 2
$$
가 성립하므로, $\iota_n$는 even corners를 even corners로, odd corners를 odd corners로 보낸다. 따라서 $Q_0$에서의 위 5-tetrahedra 분해는 각 $Q_n$으로 동일한 방식으로 옮겨진다. 즉 각 $Q_n$은 정확히 하나의 중앙 tetrahedron $\Delta_n$과 네 개의 corner tetrahedra로 분해된다.

이를 정리하면 다음과 같다.

보조정리 3.5.
각 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 $Q_n$는 정확히 다섯 개의 tetrahedra, 즉 하나의 중앙 tetrahedron $\Delta_n$와 네 개의 corner tetrahedra로 분해되며, 이들의 상대내부는 서로 서로소이다.

증명.
위에서 $Q_0$에 대해 명제를 확인하였고, affine isometry $\iota_n$가 그 분해를 $Q_n$으로 옮긴다. affine isometry는 convexity, incidence, 상대내부의 서로소성을 모두 보존하므로 결론이 모든 $n$에 대해 성립한다. $\square$

3.5 인접한 cubes 사이의 face compatibility

이제 위 분해들이 cube들 사이에서 서로 잘 맞물린다는 점을 확인한다.

보조정리 3.6
서로 인접한 두 unit cube $Q_n,Q_m$가 공통 square face $F=Q_n\cap Q_m$를 가진다고 하자. 그러면 보조정리 3.5의 5-tetrahedra 분해가 $F$ 위에 유도하는 2차원 simplicial decomposition은 양쪽 cube에서 정확히 일치한다.

증명
$F$의 네 꼭짓점 가운데 정확히 두 개는 even parity이고 두 개는 odd parity이다. 각 cube의 중앙 tetrahedron은 그 cube의 네 even corners의 convex hull이므로, $F$ 위에서는 정확히 $F$의 두 even corners를 잇는 diagonal segment를 남긴다. 이 diagonal은 $Q_n$와 $Q_m$에서 동일하다.

이제 $F$의 각 odd corner $u$를 보자. $Q_n$에서 $u$를 꼭짓점으로 하는 corner tetrahedron은 $F$ 위에 $u$를 포함하는 triangular half-face 하나를 남긴다. $Q_m$에서도 동일한 꼭짓점 $u$에 대한 corner tetrahedron이 exactly 같은 triangular half-face를 남긴다. 한편 $F$에 놓인 나머지 두 tetrahedra는 $F$와의 교집합이 lower-dimensional face이다.

따라서 양쪽 cube가 $F$ 위에 유도하는 분해는 precisely 같은 diagonal로 나뉜 두 삼각형 분해이다. $\square$

이 보조정리에 의해 모든 cube의 5-tetrahedra 분해는 전역적으로 서로 호환된다. 따라서 이를 모두 합치면 (\mathbb R^3) 위의 simplicial decomposition이 된다.

따름정리 3.7
모든 $n\in\mathbb Z^3$에 대한 보조정리 3.5의 tetrahedra와 그 모든 faces의 집합은 $\mathbb R^3$의 locally finite simplicial complex $\mathcal S$를 이룬다.

증명
보조정리 3.5에 의해 각 $Q_n$ 내부에서는 tetrahedra 분해가 성립하고, 보조정리 3.6에 의해 인접 cubes의 공통 square face 위에서 induced subdivision이 일치한다. cubic tessellation의 edge와 vertex는 square faces들의 교차로 얻어지므로, edge와 vertex에서의 induced subdivision도 자동으로 일치한다. 따라서 전역적으로 simplicial complex가 정의된다.

또한 각 tetrahedron은 어떤 unit cube 안에 포함되고, 임의의 compact set는 unit cubes와 유한 개만 만나므로 $\mathcal S$는 locally finite이다. $\square$

3.6 odd vertex 주위의 8개 corner tetrahedra와 octahedron

각 $c\in L^{\mathrm{odd}}$는 정확히 여덟 개의 unit cube의 꼭짓점이다. 각 such cube 안에는 (c)를 꼭짓점으로 하는 corner tetrahedron이 하나씩 있다.

한편
$$
O_c= \{x\in\mathbb R^3:\ |x_1-c_1|+|x_2-c_2|+|x_3-c_3|\le 1 \}
$$
이므로, 각 부호 삼중 $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\in{\pm1}^3$에 대해 corresponding orthant에서의 조각은
$$
T_{c,\varepsilon}:=
\operatorname{conv} \{c,\ c+\varepsilon_1e_1,\ c+\varepsilon_2e_2,\ c+\varepsilon_3e_3 \}
$$
이다. 이것은 정확히 $c$를 꼭짓점으로 하는 해당 cube의 corner tetrahedron이다.

따라서 $O_c$는 $\mathcal S$의 정확히 여덟 개 3-simplices의 합이다. 또한 그 경계는 여덟 개의 triangular facets
$$
F_{c,\varepsilon}:=
\operatorname{conv} \{c+\varepsilon_1e_1,\ c+\varepsilon_2e_2,\ c+\varepsilon_3e_3 \},
\qquad
\varepsilon\in \{\pm1 \}^3
$$
으로 이루어진다.

보조정리 3.8
각 $c\in L^{\mathrm{odd}}$에 대하여 $O_c$는 $\mathcal S$의 정확히 여덟 개 corner tetrahedra의 합이며, 그 여덟 개 triangular boundary facets는 (c)를 꼭짓점으로 하는 여덟 개 cubes와 하나씩 일대일 대응한다. $\square$

3.7 $O_c$와 하나의 cube의 교차

이 절의 핵심은 $O_c\cap Q_n$를 완전히 분류하는 것이다.

먼저 참조 큐브 $Q_0=[0,1]^3$를 본다. $c\in\mathbb Z^3$에 대해
$$
d_1(c,Q_0):=\min_{x\in Q_0}|x-c|_1
$$
라 두면
$$
d_1(c,Q_0)=\sum_{i=1}^3 d(c_i,[0,1])
$$
이다.

따라서 $O_c\cap Q_0\neq\varnothing$이면 $d_1(c,Q_0)\le 1$이어야 한다.

보조정리 3.9
$c\in L^{\mathrm{odd}}$와 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 $O_c\cap Q_n$는 다음 셋 중 하나이다.

$c$가 $Q_n$의 odd corner이면, $O_c\cap Q_n$는 $Q_n$의 그 corner tetrahedron이다.
$c\notin Q_n$이고 $O_c\cap Q_n\neq\varnothing$이면, $O_c\cap Q_n$는 $Q_n$의 어떤 even corner 하나이다.
위 두 경우가 아니면 $O_c\cap Q_n=\varnothing$.

증명
먼저 $n=0$인 경우를 본다.

(a) $c$가 $Q_0$의 odd corner인 경우

가능한 $c$는
$$
(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1),\ (1,1,1)
$$
뿐이다. 예를 들어 $c=(1,0,0)$이면
$$
|x-c|_1=(1-x_1)+x_2+x_3
\qquad (x\in Q_0),
$$
따라서
$$
|x-c|_1\le 1
\iff x_1\ge x_2+x_3.
$$
즉
$$
O_{(1,0,0)}\cap Q_0=C_{(1,0,0)}.
$$
나머지 세 odd corners도 완전히 같은 방식으로 corresponding corner tetrahedron을 준다.

(b) $c\notin Q_0$이면서 $O_c\cap Q_0\neq\varnothing$인 경우

$d_1(c,Q_0)\le 1$이어야 하므로, 각 $c_i$는 $\{-1,0,1,2\}$에 속하고, $[0,1]$ 바깥에 있는 좌표는 정확히 하나뿐이다. 따라서 $c$는 $Q_0$의 어떤 corner $v$와 어떤 좌표방향 $e_i$에 대해
$$
c=v-e_i
\quad\text{또는}\quad
c=v+e_i
$$
의 꼴이다. parity를 보면 $c$가 odd이려면 $v$는 even corner이어야 한다.

이제 $x\in Q_0$에 대해
$$
|x-c|_1=1+|x-v|_1.
$$
따라서
$$
|x-c|_1\le 1
\iff |x-v|_1=0
\iff x=v.
$$
즉
$$
O_c\cap Q_0=\{v\},
$$
여기서 $v$는 $Q_0$의 even corner이다.

(c) 그 밖의 경우

$d_1(c,Q_0)>1$이므로 intersection은 공집합이다.

이제 일반 $n$에 대해 보조정리 3.5의 affine isometry $\iota_n(x)=A_nx+b_n$를 쓰자. $\iota_n$는 $Q_0$를 $Q_n$으로 보내고, even/odd corners를 각각 even/odd corners로 보낸다. 또한 $A_n=\pm I$이므로 $\ell^1$-norm을 보존하여
$$
\iota_n(O_c)=O_{A_nc+b_n}
$$
가 성립한다. 따라서 $Q_0$에 대한 분류가 $Q_n$에 그대로 옮겨진다. $\square$

이제 중앙 tetrahedron과 octahedron의 교차가 즉시 따라온다.

따름정리 3.10
$c\in L^{\mathrm{odd}}$, $n\in\mathbb Z^3$에 대하여 $\Delta_n\cap O_c$는 다음 셋 중 하나이다.

$c$가 $Q_n$의 odd corner이면, $\Delta_n\cap O_c$는 $\Delta_n$와 $O_c$의 공통 triangular facet 하나이다.
$O_c\cap Q_n$가 $Q_n$의 even corner $v$ 하나이면, $\Delta_n\cap O_c= \{v\}$이고 이는 $\Delta_n$와 $O_c$의 공통 vertex이다.
그 밖의 경우 $\Delta_n\cap O_c=\varnothing$이다.

증명
$\Delta_n\subset Q_n$이므로
$$
\Delta_n\cap O_c=\Delta_n\cap (O_c\cap Q_n).
$$
이제 보조정리 3.9를 그대로 대입하면 된다.

$O_c\cap Q_n$가 $Q_n$의 corner tetrahedron이면, 보조정리 3.5의 5-tetrahedra 분해에서 중앙 tetrahedron과 그 corner tetrahedron은 triangular facet 하나를 공유한다. 보조정리 3.8에 의해 이 삼각형은 동시에 $O_c$의 boundary facet이기도 하다.
$O_c\cap Q_n= \{v\}$이면, $v$는 even corner이고 $\Delta_n$의 꼭짓점들은 exactly $Q_n$의 even corners이다. 또한 $v=c\pm e_i$의 꼴이므로 $v$는 $O_c$의 꼭짓점이기도 하다.
나머지는 자명하다. $\square$

3.8 최대 3-cells의 교집합

이제
$$
\mathcal M:= \{\Delta_n:\ n\in\mathbb Z^3 \}\cup \{O_c:\ c\in L^{\mathrm{odd}}\}
$$
를 정의하자.

보조정리 3.11

$\mathcal M$의 서로 다른 두 원소의 교집합은 공집합이거나 공통 face이다.

증명

서로 다른 두 원소의 종류에 따라 경우를 나눈다.

(1) $\Delta_n$와 $\Delta_m$의 경우

먼저
$$
\Delta_n\subset Q_n,\qquad \Delta_m\subset Q_m
$$
이므로
$$
\Delta_n\cap \Delta_m\subset Q_n\cap Q_m
$$
이다. 두 unit cube의 교집합은 공집합이거나 square face, edge, vertex 가운데 하나이다.

$Q_n\cap Q_m=\varnothing$이면 자명하게
$$
\Delta_n\cap \Delta_m=\varnothing
$$
이다.

$Q_n\cap Q_m=F$가 square face이면, $F$의 네 꼭짓점 가운데 정확히 두 개가 even parity이다. 각 중앙 tetrahedron은 $F$ 위에서 그 두 even corners를 잇는 같은 diagonal edge를 남기므로
$$
\Delta_n\cap \Delta_m
$$
는 바로 그 공통 edge이다.

$Q_n\cap Q_m=E$가 cube edge이면, $E$의 양 끝점 가운데 정확히 하나만 even parity이다. 각 중앙 tetrahedron은 $E$와 정확히 그 even endpoint에서만 만나므로
$$
\Delta_n\cap \Delta_m
$$
는 그 하나의 vertex이다.

$Q_n\cap Q_m={v}$가 cube vertex이면, $v$가 even parity일 때만
$$
v\in \Delta_n\cap \Delta_m
$$
이고, $v$가 odd parity이면
$$
\Delta_n\cap \Delta_m=\varnothing
$$
이다.

따라서 $\Delta_n\cap \Delta_m$는 항상 공집합, vertex, 또는 edge이며, 특히 공통 face이다.

(2) $O_c$와 $O_{c'}$의 경우

서로 다른 $c,c'\in L^{\mathrm{odd}}$를 잡자. 만약
$$
x\in O_c\cap O_{c'}
$$
이면 triangle inequality에 의해
$$
|c-c'|_1\le |x-c|_1+|x-c'|_1\le 2
$$
이다.

한편 $c-c'\in\mathbb Z^3$이고 $c,c'$는 둘 다 odd parity이므로
$$
|c-c'|_1
$$
는 짝수 정수이다. 따라서 교집합이 비어 있지 않으려면
$$
|c-c'|_1=2
$$
여야 한다.

이제 $\mathbb Z^3$의 벡터 가운데 $\ell^1$-norm이 $2$인 것은 정확히
$$
\pm 2e_i
\qquad\text{또는}\qquad
\pm e_i\pm e_j \quad (i\ne j)
$$
의 꼴뿐이므로, 다음 두 경우만 보면 충분하다.

(2-a) $c'=c+2e_i$인 경우

$x\in O_c\cap O_{c+2e_i}$이면
$$
|x_i-c_i|+\sum_{j\ne i}|x_j-c_j|\le 1,
$$
$$
|x_i-c_i-2|+\sum_{j\ne i}|x_j-c_j|\le 1
$$
이다. 두 식을 더하면
$$
|x_i-c_i|+|x_i-c_i-2|+2\sum_{j\ne i}|x_j-c_j|\le 2
$$
를 얻는다.

그런데 임의의 실수 $t$에 대해
$$
|t|+|t-2|\ge 2
$$
이므로
$$
|x_i-c_i|+|x_i-c_i-2|\ge 2
$$
이다. 따라서 위 부등식에서는 equality가 강제되고,
$$
\sum_{j\ne i}|x_j-c_j|=0
$$
를 얻는다. 즉
$$
x_j=c_j\qquad (j\ne i)
$$
이다.

이제 이를 원래의 두 부등식에 대입하면
$$
|x_i-c_i|\le 1,\qquad |x_i-c_i-2|\le 1
$$
이므로
$$
x_i-c_i\in [0,1]\cap [1,2]=\{1\}.
$$
따라서
$$
x_i=c_i+1
$$
이고,
$$
O_c\cap O_{c+2e_i}= \{c+e_i\}
$$
를 얻는다. $c'=c-2e_i$인 경우도 완전히 동일하다.

(2-b) $c'=c+s_ie_i+s_je_j$인 경우

여기서 $i\ne j$이고 $s_i,s_j\in \{\pm1\}$이다. 평행이동과 좌표반사를 적용하면 $c=0$, $c'=e_1+e_2$인 경우만 보면 충분하다. 이 변환들은 $\ell^1$-ball의 구조와 face 관계를 보존한다.

이제
$$
x\in O_0\cap O_{e_1+e_2}
$$
라고 하자. 그러면
$$
|x_1|+|x_2|+|x_3|\le 1,
$$
$$
|x_1-1|+|x_2-1|+|x_3|\le 1
$$
이다. 두 식을 더하면
$$
\bigl(|x_1|+|x_1-1|\bigr)+\bigl(|x_2|+|x_2-1|\bigr)+2|x_3|\le 2
$$
를 얻는다.

각 괄호는 각각 최소 $1$ 이상이므로 again equality가 강제되고,
$$
x_3=0,\qquad 0\le x_1\le 1,\qquad 0\le x_2\le 1
$$
를 얻는다. 첫 번째 부등식은
$$
x_1+x_2\le 1
$$
을 주고, 두 번째는
$$
(1-x_1)+(1-x_2)\le 1
\iff x_1+x_2\ge 1
$$
을 준다. 따라서
$$
x_1+x_2=1,\qquad x_3=0.
$$
즉
$$
O_0\cap O_{e_1+e_2}=\operatorname{conv} \{e_1,e_2\}.
$$
일반 경우로 돌아가면
$$
O_c\cap O_{c+s_ie_i+s_je_j}= \operatorname{conv} \{c+s_ie_i,\ c+s_je_j\},
$$
즉 공통 edge이다.

(2-c) 그 밖의 경우

위 두 경우가 아니면
$$|c-c'|_1 \gt 2 $$
이므로
$$
O_c\cap O_{c'}=\varnothing.
$$

결론적으로 $O_c\cap O_{c'}$는 항상 공집합, vertex, 또는 edge이며, 특히 공통 face이다.

(3) $\Delta_n$와 $O_c$의 경우

이는 따름정리 3.10에서 이미 분류되었다. 따라서
$$
\Delta_n\cap O_c
$$
는 공집합, vertex, 또는 triangular facet이며, 특히 공통 face이다.

이로써 모든 경우가 끝났고, 보조정리 3.11이 증명되었다. $\square$

3.9 maximal cells에서 전체 face complex로 내려가기

이제 남은 것은 최대 3-cells의 교집합 정보로부터 전체 face-to-face complex를 얻는 일반 보조정리이다.

보조정리 3.12

$\mathcal M$을 $\mathbb R^3$ 안의 locally finite한 convex $3$-polytopes의 집합이라 하자. 서로 다른 $P,Q\in\mathcal M$에 대하여 $P\cap Q$가 공집합이거나 $P,Q$의 공통 face라고 가정하자. 그러면 $\mathcal M$의 모든 faces의 집합은 face-to-face $3$차원 polyhedral complex를 이룬다.

증명

$\mathcal M$의 모든 faces의 집합을 $\mathcal K$라 하자. $\mathcal K$가 face-to-face $3$차원 polyhedral complex의 공리들을 만족함을 보이면 충분하다.

먼저 각 $P\in\mathcal M$는 convex $3$-polytope이므로 유한 개의 faces만 가지며, $\mathcal K$는 볼록 polytopes들로 이루어진 집합이다. 또한 $\mathcal K$의 각 셀의 face는 다시 같은 $P$의 face이므로 $\mathcal K$에 속한다. 따라서 complex 공리 가운데 faces의 포함 조건이 성립한다. 또 $\mathcal M$의 원소들은 모두 $3$차원이므로, $\mathcal K$의 maximal cells는 정확히 $\mathcal M$의 원소들이고 특히 모두 $3$차원이다.

이제 $\mathcal K$의 임의의 두 셀 $A,B$를 잡자. 각각 어떤 $P,Q\in\mathcal M$의 face라 하여
$$
A\le P,\qquad B\le Q
$$
라고 쓰자.

먼저 $P=Q$인 경우를 보자. 이때 $A$와 $B$는 같은 convex polytope $P$의 faces이므로, 잘 알려진 사실에 따라
$$
A\cap B
$$
는 공집합이거나 다시 $P$의 face이다. 따라서 $A$와 $B$의 공통 face이다.

이제 $P\neq Q$인 경우를 보자. 가정에 의해
$$
F:=P\cap Q
$$
는 공집합이거나 $P,Q$의 공통 face이다. $F=\varnothing$이면 자명하게
$$
A\cap B=\varnothing
$$
이다. 이제 $F\neq\varnothing$라고 하자. 그러면
$$
A\cap B\subset P\cap Q=F
$$
이고
$$
A\cap B=(A\cap F)\cap(B\cap F)
$$
이다.

여기서 $A\cap F$는 $A$와 $F$가 모두 $P$의 face이므로 공집합이거나 $P$의 face이다. 또한 $A\cap F\subset F$이므로, $A\cap F\neq\varnothing$이면 이는 $F$의 face이다. 따라서 $A\cap F$는 공집합이거나 $F$의 face이다. 같은 이유로 $B\cap F$도 공집합이거나 $F$의 face이다.

그러므로 둘 중 하나가 공집합이면 $A\cap B=\varnothing$이다. 둘 다 공집합이 아니면 $A\cap F$와 $B\cap F$는 $F$의 두 face이므로, 그 교집합
$$
A\cap B=(A\cap F)\cap(B\cap F)
$$
는 공집합이거나 $F$의 face이다. 특히 $A\cap B$는 $A$와 $B$의 공통 face이다.

마지막으로 local finiteness를 보이자. 임의의 compact set $K\subset\mathbb R^3$를 잡으면, $\mathcal M$의 local finiteness에 의해 $K$와 만나는 $P\in\mathcal M$는 유한 개뿐이다. 각 such $P$는 유한 개의 faces만 가지므로, $K$와 만나는 $\mathcal K$의 셀도 유한 개뿐이다. 따라서 $\mathcal K$는 locally finite하다.

이상으로 $\mathcal K$는 face-to-face $3$차원 polyhedral complex를 이룬다. $\square$

3.10 maximal cells의 local finiteness

보조정리 3.13
$\mathcal M:=\{\Delta_n:\ n\in\mathbb Z^3\}\cup \{O_c:\ c\in L^{\mathrm{odd}}\}$ 는 locally finite한 최대 3-cell들의 집합이다. 즉 임의의 compact set $K\subset\mathbb R^3$와 만나는 $\mathcal M$의 원소는 유한 개뿐이다.

증명
먼저 $\Delta_n\cap K\neq\varnothing$이면 $Q_n\cap K\neq\varnothing$이므로, $K$와 만나는 unit cubes의 개수만큼만 가능하다. compact set와 만나는 unit cubes는 유한 개이므로 이러한 $\Delta_n$도 유한 개다.

다음으로 $O_c\cap K\neq\varnothing$라고 하자. $x\in O_c\cap K$를 택하면
$$
|x-c|_1\le 1
$$
이므로 각 좌표에 대해 $|x_i-c_i|\le 1$이다. 따라서
$$
c\in x+[-1,1]^3\subset K+[-1,1]^3.
$$
오른쪽은 compact set이므로 그 안에 들어가는 정수점은 유한 개뿐이다. 따라서 $K$와 만나는 $O_c$도 유한 개다.

결론적으로 $K$와 만나는 $\mathcal M$의 원소는 유한 개뿐이다. $\square$

3.11 존재정리의 증명

이제
$$
\mathcal H_{\sqrt2}:= \{\sigma \mid \sigma \text{는 어떤 } M\in\mathcal M \text{의 face이다}\}
$$
로 두자.

정리 3.3의 증명

각 $a>0$에 대하여 defect-free periodic regular tetrahedral–octahedral complex가 존재한다. 즉
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing
$$
이다.

증명

먼저 edge length $\sqrt2$인 경우를 구성한 뒤, 마지막에 확대를 통해 일반 $a>0$의 경우를 얻는다.

1단계: $\mathcal H_{\sqrt2}$는 face-to-face $3$-차원 polyhedral complex이다.

보조정리 3.13에 의해 $\mathcal M$은 locally finite한 convex $3$-polytopes의 집합이다. 또한 보조정리 3.11에 의해 서로 다른 $M,M'\in\mathcal M$에 대하여
$$
M\cap M'
$$
는 공집합이거나 $M,M'$의 공통 face이다. 따라서 보조정리 3.12를 적용하면, $\mathcal M$의 모든 faces의 집합 $\mathcal H_{\sqrt2}$는 face-to-face $3$-차원 polyhedral complex를 이룬다.

또한 보조정리 3.4에 의해 $\mathcal H_{\sqrt2}$의 maximal $3$-cells는 모두 edge length $\sqrt2$인 regular tetrahedron 또는 regular octahedron이다. 따라서
$$
\mathcal H_{\sqrt2}\in \mathfrak C_1(\sqrt2)
$$
이다.

2단계: $|\mathcal H_{\sqrt2}|=\mathbb R^3$.

임의의 $x\in\mathbb R^3$를 잡자. 그러면 어떤 $n\in\mathbb Z^3$에 대하여
$$
x\in Q_n
$$
이다. 보조정리 3.5에 의해 $Q_n$는 하나의 중앙 tetrahedron $\Delta_n$와 네 개의 corner tetrahedra로 분해된다.

만약
$$
x\in \Delta_n
$$
이면 자명하게
$$
x\in |\mathcal H_{\sqrt2}|
$$
이다.

이제 $x$가 $Q_n$의 어떤 corner tetrahedron에 속한다고 하자. 그러면 보조정리 3.8에 의해 그 corner tetrahedron은 어떤 $c\in L^{\mathrm{odd}}$에 대한 octahedron $O_c$에 포함된다. 따라서
$$
x\in O_c\subset |\mathcal H_{\sqrt2}|.
$$

결국 모든 $x\in\mathbb R^3$에 대하여
$$
x\in |\mathcal H_{\sqrt2}|
$$
이므로
$$
|\mathcal H_{\sqrt2}|=\mathbb R^3
$$
이다.

3단계: $\mathcal H_{\sqrt2}$의 모든 $2$-face는 정확히 두 개의 maximal $3$-cells에 속한다.

$\mathcal H_{\sqrt2}$의 maximal $3$-cells는 tetrahedron과 octahedron뿐이며, 이들의 $2$-faces는 모두 삼각형이다. 따라서 $\mathcal H_{\sqrt2}$의 maximal $3$-cells에 속하는 $2$-faces는 모두 triangular faces이다.

먼저 $\Delta_n$의 triangular facets를 보자. $\Delta_n$의 네 꼭짓점은 $Q_n$의 네 even corners이므로, $\Delta_n$의 각 triangular facet은 $Q_n$의 정확히 하나의 odd corner $c$에 대응한다. 이 facet은 보조정리 3.5에서 $\Delta_n$와 그 odd corner $c$에 대응하는 corner tetrahedron이 공유하는 삼각형이다. 보조정리 3.8에 의해 그 corner tetrahedron은 $O_c$에 포함되므로, 이 triangular facet은 정확히 $O_c$와 공유된다.

반대로 $O_c$의 triangular facets를 보자. 보조정리 3.8에 의해 $O_c$의 각 triangular facet은 $c$를 꼭짓점으로 하는 정확히 하나의 unit cube에 대응한다. 그 cube 안에서 이 facet은 중앙 tetrahedron과 대응하는 corner tetrahedron이 공유하는 삼각형이며, 따라서 정확히 하나의 $\Delta_n$와 공유된다.

이제 보조정리 3.11의 분류를 사용하자. 서로 다른 두 tetrahedra의 교집합은 공집합, vertex, 또는 edge이므로 triangular face가 될 수 없다. 마찬가지로 서로 다른 두 octahedra의 교집합도 공집합, vertex, 또는 edge이므로 triangular face가 될 수 없다. 따라서 $\mathcal H_{\sqrt2}$의 각 triangular $2$-face는 정확히 하나의 tetrahedron과 정확히 하나의 octahedron 사이에서만 공유된다.

그러므로 $\mathcal H_{\sqrt2}$의 모든 $2$-face는 정확히 두 개의 maximal $3$-cells에 속한다. 따라서
$$
\mathcal H_{\sqrt2}\in \mathfrak C_2(\sqrt2)
$$
이다.

4단계: $\mathcal H_{\sqrt2}$는 periodic이다.

집합
$$
L= \{(i,j,k)\in\mathbb Z^3:\ i+j+k\equiv 0\pmod 2\}
$$
는
$$
(1,1,0),\qquad (1,0,1),\qquad (0,1,1)
$$
을 기저로 가지는 rank $3$ lattice이다.

이제 $\lambda\in L$에 대한 평행이동
$$
T_\lambda(x):=x+\lambda
$$
를 생각하자. 그러면
$$
T_\lambda(Q_n)=Q_{n+\lambda}
$$
이고, parity가 보존되므로 $Q_n$의 even corners는 $Q_{n+\lambda}$의 even corners로 옮겨진다. 따라서
$$
T_\lambda(\Delta_n)=\Delta_{n+\lambda}
$$
이다.

또한
$$
T_\lambda(O_c)
=\operatorname{conv} \{c+\lambda\pm e_1,\ c+\lambda\pm e_2,\ c+\lambda\pm e_3\}
=O_{c+\lambda}.
$$
여기서 $c\in L^{\mathrm{odd}}$이고 $\lambda\in L$이므로 $c+\lambda\in L^{\mathrm{odd}}$이다.

따라서 모든 $\lambda\in L$에 대하여 $\mathcal M$은 $T_\lambda$ 아래에서 불변이고, 그러므로 그 모든 face들로 이루어진 $\mathcal H_{\sqrt2}$도 $L$-불변이다. 즉 $\mathcal H_{\sqrt2}$는 rank $3$ lattice $L$에 대해 periodic이다. 따라서
$$
\mathcal H_{\sqrt2}\in \mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(\sqrt2)
$$
이다.

5단계: 일반 $a>0$의 경우

이제 임의의 $a>0$를 잡고, 원점 중심의 확대
$$
S_a(x):=\frac{a}{\sqrt2}x
$$
를 적용하자. $\mathcal H_{\sqrt2}$의 각 maximal $3$-cell은 regular tetrahedron 또는 regular octahedron이므로, 그 상 $S_a(\mathcal H_{\sqrt2})$의 maximal $3$-cells는 edge length $a$인 regular tetrahedron 또는 regular octahedron이다.

또한 similarity는 faces, incidence relations, face-to-face 성질을 보존하므로
$$
\mathcal H_a:=S_a(\mathcal H_{\sqrt2})
$$
는 여전히 face-to-face $3$-차원 polyhedral complex이다. 그리고
$$
|\mathcal H_a|=S_a(|\mathcal H_{\sqrt2}|)=S_a(\mathbb R^3)=\mathbb R^3
$$
이며, 각 $2$-face가 정확히 두 maximal $3$-cells에 속하는 성질도 보존된다. 따라서
$$
\mathcal H_a\in \mathfrak C_2(a)
$$
이다.

마지막으로 $L$-periodicity는 확대에 의해
$$
\frac{a}{\sqrt2}L
$$
에 대한 periodicity로 옮겨진다. $\frac{a}{\sqrt2}L$ 역시 rank $3$ translation lattice이므로
$$
\mathcal H_a\in \mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)
$$
이다.

결국 임의의 $a>0$에 대하여
$$
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing
$$
가 성립한다. $\square$

3.12 3장의 결론

3장의 결과는 다음과 같이 요약된다.
$$
\mathfrak T(a)\cap \mathfrak C_2(a)=\varnothing,
\qquad
\mathfrak C_2^{\mathrm{per}}(a)\neq\varnothing.
$$

즉 regular tetrahedral-only class는 defect-free 조건과 양립하지 않지만, regular tetrahedral–octahedral mixed-cell class는 defect-free periodic realization을 허용한다.

4장. vertex link와 국소 구면 구조에 의한 모델의 축소

4.1 vertex link의 정의

정의 4.1
$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$를 잡자. $v$ 중심의 충분히 작은 반지름 $\varepsilon>0$인 구면 $S_\varepsilon(v)$를 택하여, 이 구면이 $v$를 포함하는 셀들과만 만나고 각 셀과 transverse하게 만나도록 하자. 이때 $v$를 포함하는 각 $k$-cell $\sigma\in\mathcal K$에 대해
$$
\sigma\cap S_\varepsilon(v)
$$
는 $S_\varepsilon(v)$ 위의 $(k-1)$-cell을 이룬다. 이러한 셀들로 이루어진 2차원 cell complex를 $v$의 vertex link라 하고
$$
\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)
$$
로 쓴다.

$\varepsilon$를 충분히 작게 택하면 얻어지는 cell complex의 조합형은 $\varepsilon$의 선택에 의존하지 않으며, 이를 $v$의 vertex link라 한다.

4.2 defect-free 조건 아래에서의 $S^2$-link

명제 4.2
임의의 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$에 대해, vertex link $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 지지집합은 $S^2$와 위상동형이며, 실제로 $S_\varepsilon(v)\cong S^2$ 위의 finite cell decomposition을 이룬다.

증명
local finiteness에 의해 어떤 작은 닫힌 공 $\overline{B_r(v)}$와 만나는 셀은 유한 개뿐이다. 이들 가운데 $v$를 포함하지 않는 셀들의 집합을 $\mathcal A$라 하자. 만약 $\mathcal A = \varnothing $이면, 임의의 $0 \lt \varepsilon \lt r$에 대하여 $S_\varepsilon(v)$는 $v$를 포함하지 않는 셀과 만나지 않는다.

만약 $\mathcal A \ne \varnothing $라고 하자. 각 $\tau\in\mathcal A$는 닫힌 집합이고 $v\notin\tau$이므로
$$
d(v,\tau)>0
$$
이다. $\mathcal A$가 유한하므로
$$
\delta:=\min_{\tau\in\mathcal A} d(v,\tau)>0
$$
이다. 따라서
$$
0<\varepsilon<\min \{r,\delta \}
$$
로 잡으면 $S_\varepsilon(v)$는 $v$를 포함하지 않는 어떤 셀과도 만나지 않는다. 즉 $S_\varepsilon(v)$는 오직 $v$를 포함하는 셀들과만 만난다.

이제 $v$를 포함하는 각 셀 $\sigma$에 대해 $\sigma\cap S_\varepsilon(v)$를 생각하자. $\sigma$는 볼록 polytope이고 $v \in \sigma$이므로, $\sigma\cap S_\varepsilon(v)$는 $S_\varepsilon(v)$ geodesically convex spherical polytope이다. 따라서 이는 하나의 spherical cell을 이룬다. 또한 face-to-face 조건 때문에 서로 다른 두 셀 $\sigma,\sigma'$에 대해
$$
(\sigma\cap S_\varepsilon(v))\cap(\sigma'\cap S_\varepsilon(v))
=(\sigma\cap\sigma')\cap S_\varepsilon(v)
$$
는 공집합이거나 공통 spherical face이다.

한편 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이므로 $|\mathcal K|=\mathbb R^3$, 따라서
$$
S_\varepsilon(v)\subset |\mathcal K|.
$$
그러므로 위의 spherical cells는 $S_\varepsilon(v)$ 전체를 덮는다. 또 $S_\varepsilon(v)$와 만나는 셀은 유한 개뿐이므로 이는 finite cell decomposition이다. 따라서 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 지지집합은 $S_\varepsilon(v)\cong S^2$와 위상동형이다. $\square$

4.3 tet–oct complex의 vertex link 구조

이제 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$를 고정하자. $v$에 incident한 각 3-cell은 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$ 위에 하나의 2-cell을 남긴다.

regular tetrahedron은 vertex figure로 삼각형을 준다.
regular octahedron은 vertex figure로 사각형을 준다.

따라서 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$는 삼각형과 사각형으로 이루어진 $S^2$의 finite cellulation이 된다.

4.4 기본 계수 관계

$v\in V(\mathcal K)$에 incident한 tetrahedra의 개수를 $t_v$, octahedra의 개수를 $o_v$라 하자. 또한 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 vertex, edge, face 수를 각각
$$
f_0(v),\quad f_1(v),\quad f_2(v)
$$
라 하자.

그러면
$$
f_2(v)=t_v+o_v
$$
이고, face-edge incidence를 세면
$$
3t_v+4o_v=2f_1(v)
$$
가 성립한다.

또한 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong S^2$이므로 Euler 공식
$$
f_0(v)-f_1(v)+f_2(v)=2
$$
가 성립한다. 따라서
$$
f_1(v)=\frac{3t_v+4o_v}{2},
\qquad
f_0(v)=2+\frac{t_v}{2}+o_v.
$$

이제 link의 vertices는 원래 복합체에서 $v$에 incident한 edges와 정확히 대응하므로
$$
f_0(v)=\deg(v).
$$
따라서 다음을 얻는다.

정리 4.3
$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$에 대해
$$
\deg(v)=2+\frac{t_v}{2}+o_v
$$
가 성립한다.

따름정리 4.4
모든 $v\in V(\mathcal K)$에 대해 $t_v$는 짝수이다.

증명
$\deg(v)\in\mathbb Z$이므로 $\frac{t_v}{2}\in\mathbb Z$이어야 한다. $\square$

4.5 edge 수준의 각도 제약

정의 4.5
$e\in E(\mathcal K)$를 잡고, $e$에 incident한 tetrahedra의 개수를 $t_e$, octahedra의 개수를 $o_e$라 하자.

regular octahedron의 이면각을
$$
\alpha_{\mathrm{oct}}:=\arccos(-1/3)=\pi-\alpha_{\mathrm{tet}}
$$
로 둔다.

정리 4.6
$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $e\in E(\mathcal K)$에 대해
$$
t_e=2,\qquad o_e=2
$$
가 성립한다.

증명
$\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$이므로 $e$는 interior edge이고, 명제 2.10에 의해 $e$ 주위의 이면각 총합은 정확히 $2\pi$이다. 따라서
$$
t_e\alpha_{\mathrm{tet}}+o_e\alpha_{\mathrm{oct}}=2\pi.
$$
여기에 $\alpha_{\mathrm{oct}}=\pi-\alpha_{\mathrm{tet}}$를 대입하면
$$
(t_e-o_e)\alpha_{\mathrm{tet}}=(2-o_e)\pi
$$
를 얻는다.

이제 경우를 나눈다.

$o_e=0$이면 $t_e\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi$가 되어 보조정리 3.1에 모순이다.
$o_e=1$이면 $(t_e-1)\alpha_{\mathrm{tet}}=\pi$가 된다. 그런데
$$
\frac{\pi}{\alpha_{\mathrm{tet}}}\in \left(\frac52,3\right)
$$
이므로 불가능하다.
$o_e=2$이면 $(t_e-2)\alpha_{\mathrm{tet}}=0$이므로 $t_e=2$.
$o_e=3$이면 $(3-t_e)\alpha_{\mathrm{tet}}=\pi$가 되어 역시 불가능하다.
$o_e=4$이면 $(4-t_e)\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi$가 되어 보조정리 3.1에 모순이다.
$o_e\ge 5$이면
$$
t_e=o_e-(o_e-2)\frac{\pi}{\alpha_{\mathrm{tet}}}<0
$$
가 되어 불가능하다.

따라서 가능한 경우는 오직
$$
t_e=2,\qquad o_e=2
$$
뿐이다. $\square$

따름정리 4.7
$\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 각 vertex는 정확히 4개의 faces와 만난다. 더 나아가 그 4개의 face 가운데 정확히 2개는 삼각형이고 2개는 사각형이다.

증명
$\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 한 vertex는 원래 복합체에서 $v$에 incident한 하나의 edge $e$에 대응한다. 이 link-vertex에 incident한 faces의 개수는 $e$에 incident한 3-cells의 개수와 같고, 정리 4.6에 의해 그것은 $2+2=4$이다. 또한 tetrahedra에서 온 faces가 2개, octahedra에서 온 faces가 2개이므로 결론이 성립한다. $\square$

4.6 vertex 수준의 추가 축소

정리 4.8
임의의 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$에 대해
$$
t_v=8
$$
가 성립한다.

증명
따름정리 4.7에 의해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 모든 vertex의 차수는 4이다. 따라서
$$
2f_1(v)=4f_0(v),
\qquad\text{즉}\qquad
f_1(v)=2f_0(v).
$$

한편
$$
2f_1(v)=3t_v+4o_v
$$
이고, 정리 4.3에서
$$
f_0(v)=2+\frac{t_v}{2}+o_v
$$
이다. 따라서
$$
3t_v+4o_v
=2f_1(v)
=4f_0(v)
=4\left(2+\frac{t_v}{2}+o_v\right)
=8+2t_v+4o_v.
$$
따라서
$$
t_v=8.
$$
$\square$

따름정리 4.9
임의의 $v\in V(\mathcal K)$에 대하여
$$
o_v=6,\qquad
\deg(v)=12,\qquad
f_0(v)=12,\qquad
f_1(v)=24,\qquad
f_2(v)=14
$$
가 성립한다.

증명
따름정리 4.7에 의해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 각 vertex에는 정확히 두 개의 삼각형과 두 개의 사각형이 만난다.

먼저 triangle–vertex incidence를 세면
$$
3t_v=2f_0(v)
$$
가 성립한다. 정리 4.8에 의해 $t_v=8$이므로
$$
24=2f_0(v),
\qquad\text{따라서}\qquad
f_0(v)=12.
$$

다음으로 square–vertex incidence를 세면
$$
4o_v=2f_0(v)=24
$$
이므로
$$
o_v=6.
$$

이제
$$
f_2(v)=t_v+o_v=8+6=14
$$
이고,
$$
2f_1(v)=3t_v+4o_v=3\cdot 8+4\cdot 6=48
$$
이므로
$$
f_1(v)=24.
$$

마지막으로 link의 vertices는 원래 복합체에서 $v$에 incident한 edges와 정확히 대응하므로
$$
\deg(v)=f_0(v)=12.
$$
증명이 끝났다. $\square$

4.7 4장의 결론

defect-free tet–oct complex의 각 vertex link는 다음 조건을 만족하는 triangle–square spherical figure이다.

underlying space가 $S^2$이다.
삼각형 face가 정확히 $8$개이다.
사각형 face가 정확히 $6$개이다.
$(f_0,f_1,f_2)=(12,24,14)$이다.
각 vertex의 차수는 $4$이다.
각 vertex에는 삼각형 $2$개와 사각형 $2$개가 만난다.

따라서 분류 문제는 다음의 국소 문제로 축소된다.

"어떤 triangle–square cellulation of $S^2$가 위 조건을 만족하며, 실제로 defect-free regular tetrahedral–octahedral complex의 vertex link로 실현되는가?"

5장. Vertex-uniform 조건과 구면 vertex figure에 의한 분류 틀

5.1 일반 차원에서의 spherical vertex figure

정의 5.1
$\mathcal K$를 $\mathbb R^d$ 안의 pure face-to-face polyhedral complex라 하자. $v\in V(\mathcal K)$에 대해, $v$ 중심의 충분히 작은 구면과의 교차로 얻어지는 link가 $S^{d-1}$ 위의 finite cell decomposition을 이룰 때, 그 $(d-1)$-차원 cell complex를 $v$의 spherical vertex figure라 한다.

정의 5.2
$d$-차원 복합체 $\mathcal K$가 vertex-uniform이라는 것은, 어떤 고정된 $(d-1)$-차원 spherical cell complex $\Sigma$가 존재하여 모든 vertex $v\in V(\mathcal K)$에 대해
$$
\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong \Sigma
$$
가 성립함을 뜻한다. 여기서 $\cong$은 Cell complex의 조합적 동형을 뜻한다. 이때 $\Sigma$를 $\mathcal K$의 vertex figure type이라 한다.

3차원에서는 $\mathfrak C_2(a)$ 안의 vertex-uniform 복합체들의 클래스를
$$
\mathfrak C_3(a)\subset \mathfrak C_2(a)
$$
로 쓴다.

5.2 3차원 tet–oct complex의 vertex figure

4장에서 보았듯이, 임의의 $\mathcal K\in\mathfrak C_2(a)$와 $v\in V(\mathcal K)$에 대해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$는 $S^2$의 finite cellulation이며, 그 faces는 삼각형과 사각형뿐이다.

정의 5.3
삼각형 face와 사각형 face만으로 이루어진 $S^2$의 finite cellulation $\Sigma$를 triangle–square spherical figure라 한다.

정의 5.4
triangle–square spherical figure $\Sigma$에 대하여,

삼각형 face의 수를 $t(\Sigma)$,
사각형 face의 수를 $o(\Sigma)$,

라 하고, $\Sigma$의 $i$-cell 개수를
$$
f_i(\Sigma)\qquad (i=0,1,2)
$$
로 쓴다.

5.3 vertex figure type에 따른 부분 클래스

정의 5.5
triangle–square spherical figure $\Sigma$가 주어졌을 때,
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)
$$
를 다음 조건을 만족하는 복합체들의 집합으로 정의한다.

$\mathcal K\in \mathfrak C_3(a)$,
모든 vertex $v\in V(\mathcal K)$에 대해
$$
\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong \Sigma.
$$

관찰 5.6
$$
\mathfrak C_3(a)=\bigcup_{\Sigma}\mathfrak C_3(a;\Sigma),
$$
여기서 합집합은 모든 triangle–square spherical figure $\Sigma$의 동형류에 대해 취한다. 또한 $\Sigma\not\cong \Sigma'$이면
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)\cap \mathfrak C_3(a;\Sigma')=\varnothing
$$
이다.

따라서 vertex-uniform class의 분류 문제는 자연스럽게 다음 문제로 환원된다.

"어떤 triangle–square spherical figure $\Sigma$에 대해 $ \mathfrak C_3(a;\Sigma)\neq\varnothing $ 인가?

5.4 admissibility와 realizability

정의 5.7
triangle–square spherical figure $\Sigma$가 admissible하다는 것은 다음 조건을 만족함을 뜻한다.

$$
t(\Sigma)=8,\qquad o(\Sigma)=6.
$$

모든 vertex의 차수는 $4$이다.
각 vertex에는 정확히 두 개의 삼각형과 두 개의 사각형이 만난다.

정의 5.8
admissible spherical figure $\Sigma$가 realizable하다는 것은 어떤 $a>0$에 대하여
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)\neq\varnothing
$$
가 성립함을 뜻한다.

앞의 확대 논법에 의해, 이는 동치적으로 모든 $a>0$에 대하여
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)\neq\varnothing
$$
가 성립함과 같다.

즉 admissibility는 4장에서 얻은 국소 조합적 필요조건을 뜻하고, realizability는 그러한 spherical figure가 실제 defect-free regular tetrahedral–octahedral complex의 vertex figure로 실현됨을 뜻한다.

5.5 realizable spherical figure의 필수 조건

정리 5.9
$\Sigma$가 어떤 $a>0$에 대해 realizable하다고 하자. 즉,
$$
\mathfrak C_3(a;\Sigma)\neq\varnothing
$$
라 하자. 그러면 $\Sigma$는 admissible이며, 더 나아가
$$
t(\Sigma)=8,\qquad
o(\Sigma)=6,\qquad
(f_0(\Sigma),f_1(\Sigma),f_2(\Sigma))=(12,24,14)
$$
를 만족한다.

증명
$\mathcal K\in\mathfrak C_3(a;\Sigma)$를 잡고 $v\in V(\mathcal K)$를 택하자. 그러면
$$
\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong \Sigma
$$
이다.

명제 4.2에 의해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)$의 underlying space는 $S^2$와 위상동형이다. 그런데 $\operatorname{Lk}_{\mathcal K}(v)\cong\Sigma$이므로 $\Sigma$의 underlying space도 $S^2$와 위상동형이다. 또한 4.3절의 관찰에 의해 모든 2-faces는 삼각형 또는 사각형이다. 더 나아가 따름정리 4.7, 정리 4.8, 따름정리 4.9에 의해
$$
t(\Sigma)=8,\qquad
o(\Sigma)=6,\qquad
(f_0(\Sigma),f_1(\Sigma),f_2(\Sigma))=(12,24,14),
$$
그리고 $\Sigma$의 각 vertex의 차수는 $4$이며 각 vertex에는 정확히 두 개의 삼각형과 두 개의 사각형이 만난다.

이는 정의 5.7의 admissibility 조건을 정확히 뜻한다. 따라서 $\Sigma$는 admissible이며 위 계수 조건도 만족한다. $\square$

5.6 표준 realizable 예와 분류 문제

정리 5.10.
모든 $a>0$에 대하여
\[
\mathfrak C_3(a;\Sigma_{\mathrm{co}})\neq\varnothing
\]
이다. 특히 cuboctahedral spherical figure $\Sigma_{\mathrm{co}}$는 realizable하다.

증명.
3장 정리 3.3에서 구성한 표준 periodic regular tetrahedral–octahedral complex를 $\mathcal H_a$라 하자. 먼저 $a=\sqrt2$인 경우를
\[
\mathcal H:=\mathcal H_{\sqrt2}
\]
로 쓴다. 마지막에 스케일링으로 일반 $a$의 경우를 얻는다.

먼저 $\mathcal H$의 vertex 집합이
\[
L= \{(i,j,k)\in\mathbb Z^3:\ i+j+k\equiv 0\pmod 2\}
\]
와 정확히 일치함을 보이자.

$\mathcal H$의 maximal $3$-cell은 어떤 $\Delta_n$ 또는 어떤 $O_c$이다. $\Delta_n$ 의 꼭짓점들은 $Q_n$의 even corners이므로 모두 $L$에 속한다. 또한 $O_c$의 꼭짓점들은
\[
c\pm e_1,\qquad c\pm e_2,\qquad c\pm e_3
\]
인데 $c\in L^{\mathrm{odd}}$이므로 이들 역시 모두 $L$에 속한다. 따라서
\[
V(\mathcal H)\subset L
\]
이다.

반대로 임의의 $v\in L$를 잡자. $v$는 unit cube
\[
Q_v=v+[0,1]^3
\]
의 even corner이고, 따라서 그 중앙 tetrahedron $\Delta_v$의 꼭짓점이다. 그러므로
\[
v\in V(\mathcal H).
\]
즉
\[
L\subset V(\mathcal H).
\]
결론적으로
\[
V(\mathcal H)=L
\]
이다.

이제 $\lambda\in L$에 대한 평행이동 $T_\lambda(x)=x+\lambda$는 $\mathcal H$를 자기 자신으로 보낸다. 특히 임의의 $v\in V(\mathcal H)=L$에 대하여 $T_v$는 $0$을 $v$로 보내며 $\mathcal H$를 보존하므로, $T_v$는
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)\cong \operatorname{Lk}_{\mathcal H}(v)
\]
를 유도한다. 따라서 모든 vertex link는 조합적으로 서로 동형이고, 원점에서의 link만 계산하면 충분하다.

이제 원점 $0$에 incident한 edges를 결정하자.
\[
N:= \{(\pm1,\pm1,0),\ (\pm1,0,\pm1),\ (0,\pm1,\pm1) \}
\]
라 두자.

먼저 $0$을 꼭짓점으로 갖는 tetrahedra를 보자. 원점을 꼭짓점으로 갖는 unit cube는 정확히 여덟 개이며, 이는 각 $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\in \{\pm1\}^3$에 대하여
\[
Q_\varepsilon:=\prod_{i=1}^3 I_i^{\varepsilon_i},
\qquad
I_i^{+}=[0,1],\quad I_i^{-}=[-1,0]
\]
의 꼴로 주어진다. 각 $Q_\varepsilon$에서 $0$은 even corner이고, 그 중앙 tetrahedron은
\[
\Delta_\varepsilon
:=
\operatorname{conv}\{
0,
(\varepsilon_1,\varepsilon_2,0),
(\varepsilon_1,0,\varepsilon_3),
(0,\varepsilon_2,\varepsilon_3)
\}
\]
이다. 따라서 $0$을 꼭짓점으로 갖는 중앙 tetrahedron은 정확히 이 여덟 개이고, 이들에서 $0$과 edge로 연결되는 다른 꼭짓점들은 모두 $N$에 속한다.

다음으로 $0$을 꼭짓점으로 갖는 octahedron을 보자. $O_c$의 꼭짓점은
\[
c\pm e_1,\qquad c\pm e_2,\qquad c\pm e_3
\]
이므로 $0\in V(O_c)$이려면 $c=\pm e_i$여야 한다. 따라서 $0$을 꼭짓점으로 갖는 octahedron은 정확히
\[
O_{e_1},\ O_{-e_1},\ O_{e_2},\ O_{-e_2},\ O_{e_3},\ O_{-e_3}
\]
의 여섯 개이다. 예를 들어 $O_{e_1}$에서 $0$과 edge로 연결되는 꼭짓점들은
\[
(1,1,0),\ (1,-1,0),\ (1,0,1),\ (1,0,-1)
\]
이고, 이들 역시 모두 $N$에 속한다. 나머지 다섯 경우도 완전히 동일하다.

이제 $\mathcal H$의 임의의 edge가 $0$에 incident하다고 하자. 그 edge는 어떤 $0$에 incident한 maximal $3$-cell의 edge여야 하므로, 위 분류에 의해 그 다른 끝점은 반드시 $N$에 속한다. 반대로 각 $p\in N$는 위의 여덟 tetrahedron 가운데 적어도 하나의 꼭짓점이므로 $[0,p]$는 실제로 $\mathcal H$의 edge이다. 따라서
\[
V\bigl(\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)\bigr)
\]
는 정확히 $N$과 대응한다.

이제
\[
P:=\operatorname{conv}(N)
\]
라 두자. 한편
\[
C:=[-1,1]^3\cap \{x\in\mathbb R^3:\ |x_1|+|x_2|+|x_3|\le 2 \}
\]
라 두면 $N\subset C$이므로 $P\subset C$이다. 반대로 $C$의 vertex를 잡자. $C$는 선형부등식들의 유한 교집합이므로 그 vertex는 세 개의 독립적인 경계초평면의 교점이다. 이때 $|x_1|+|x_2|+|x_3|\le 2$와 $|x_i|\le 1$의 조합을 보면, vertex에서는 정확히 두 좌표가 $\pm1$이고 나머지 한 좌표는 $0$이어야 한다. 따라서 $C$의 vertex들은 정확히 $N$이다. 그러므로
\[
C=\operatorname{conv}(N)=P.
\]
즉
\[
P=[-1,1]^3\cap \{x\in\mathbb R^3:\ |x_1|+|x_2|+|x_3|\le 2 \},
\]
따라서 $P$는 표준 cuboctahedron이다.

$P$의 facet들은 정확히 다음 $14$개이다.

삼각형 facet:
\[
T_\varepsilon
:=
P\cap \{x\in\mathbb R^3:\ \varepsilon_1x_1+\varepsilon_2x_2+\varepsilon_3x_3=2 \},
\qquad
\varepsilon\in \{\pm1\}^3,
\]
사각형 facet:
\[
S_{i,\sigma}
:=
P\cap \{x\in\mathbb R^3:\ x_i=\sigma \},
\qquad
i\in \{1,2,3\},\ \sigma\in \{\pm1\}.
\]

각 $T_\varepsilon$의 꼭짓점은
\[
(\varepsilon_1,\varepsilon_2,0),\qquad
(\varepsilon_1,0,\varepsilon_3),\qquad
(0,\varepsilon_2,\varepsilon_3)
\]
이고, 각 $S_{i,\sigma}$의 꼭짓점은 각각
\[
S_{1,\sigma}:\ (\sigma,1,0),\ (\sigma,-1,0),\ (\sigma,0,1),\ (\sigma,0,-1),
\]
\[
S_{2,\sigma}:\ (1,\sigma,0),\ (-1,\sigma,0),\ (0,\sigma,1),\ (0,\sigma,-1),
\]
\[
S_{3,\sigma}:\ (1,0,\sigma),\ (-1,0,\sigma),\ (0,1,\sigma),\ (0,-1,\sigma)
\]
이다.

이제 충분히 작은 $\rho>0$를 택하여 $\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)$를 구면 $S_\rho(0)$ 위에서 실현하자. $0$은 $P$의 내부점이므로 radial projection
\[
r_\rho:\partial P\to S_\rho(0),\qquad
r_\rho(x)=\rho \frac{x}{|x|}
\]
는 $\partial P$를 $S_\rho(0)$ 위의 spherical cellulation으로 보내는 cell-complex 동형을 준다.

이제 $\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)$의 $2$-cells를 계산한다.

먼저 incident tetrahedron $\Delta_\varepsilon$에 대하여,
\[
\Delta_\varepsilon=\operatorname{conv}\bigl(0,T_\varepsilon\bigr)
\]
이므로
\[
\Delta_\varepsilon\cap S_\rho(0)=r_\rho(T_\varepsilon)
\]
이다. 따라서 $\Delta_\varepsilon$는 link 위에 정확히 하나의 spherical triangle $r_\rho(T_\varepsilon)$를 남긴다.

다음으로 incident octahedron $O_{\sigma e_i}$를 보자. 예를 들어 $i=1,\sigma=1$이면
\[
O_{e_1} = \{x\in\mathbb R^3:\ |x_1-1|+|x_2|+|x_3|\le 1\}.
\]
$\rho<1/2$로 택하면 $B_\rho(0)$ 안에서는 항상 $x_1<1$이므로 $|x_1-1|=1-x_1$이고, 따라서
\[
O_{e_1}\cap B_\rho(0) = \{x\in B_\rho(0):\ |x_2|+|x_3|\le x_1\}.
\]
이 집합은 원점에서 사각형
\[
S_{1,1}=\operatorname{conv} \{(1,1,0),(1,-1,0),(1,0,1),(1,0,-1)\}
\]
위로 뻗는 cone과 정확히 같다. 그러므로
\[
O_{e_1}\cap S_\rho(0)=r_\rho(S_{1,1})
\]
이다. 나머지 $O_{\sigma e_i}$들에 대해서도 완전히 같은 계산으로
\[
O_{\sigma e_i}\cap S_\rho(0)=r_\rho(S_{i,\sigma})
\]
를 얻는다. 따라서 각 incident octahedron은 link 위에 정확히 하나의 spherical quadrilateral $r_\rho(S_{i,\sigma})$를 남긴다.

결국 $\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)$의 $2$-cells는 정확히
\[
\{ r_\rho(T_\varepsilon):\ \varepsilon\in \{\pm1\}^3 \}
\cup
\{ r_\rho(S_{i,\sigma}):\ i=1,2,3,\ \sigma=\pm1 \}
\]
이다. 즉 $\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)$는 $\partial P$의 radial projection으로 얻어지는 spherical cellulation과 정확히 일치한다. 그런데 $\partial P$는 cuboctahedron의 boundary cellulation이므로
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(0)\cong \Sigma_{\mathrm{co}}.
\]

앞에서 보인 $L$-평행이동 불변성에 의해 임의의 $v\in V(\mathcal H)=L$에 대하여
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal H}(v)\cong \Sigma_{\mathrm{co}}
\]
가 성립한다. 따라서 $\mathcal H$는 vertex-uniform이고
\[
\mathcal H\in \mathfrak C_3(\sqrt2;\Sigma_{\mathrm{co}})
\]
이다.

마지막으로 임의의 $a>0$에 대하여 확대
\[
S_a(x):=\frac{a}{\sqrt2}x
\]
를 적용하자. similarity는 face-to-face 성질과 incidence 관계를 보존하므로
\[
S_a(\mathcal H)\in \mathfrak C_2(a)
\]
이며, 각 vertex link의 조합형도 보존된다. 따라서
\[
S_a(\mathcal H)\in \mathfrak C_3(a;\Sigma_{\mathrm{co}})
\]
이다. 그러므로
\[
\mathfrak C_3(a;\Sigma_{\mathrm{co}})\neq\varnothing
\]
가 성립한다. 특히 $\Sigma_{\mathrm{co}}$는 realizable하다. $\square$

6장. 고대칭 edge 조건과 국소 패턴의 붕괴

6.1 edge주위의 cyclic type

4장 정리 4.6에 의해, 임의의
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2(a)
\]
와 임의의 edge
\[
e \in E(\mathcal{K})
\]
에 대하여
\[
t_e=2, \qquad o_e=2
\]
가 성립한다. 따라서 $e$에 incident한 maximal $3$-cells는 정확히 네 개이며, edge-link의 원형 순서로 읽으면 tetrahedron 두 개와 octahedron 두 개로 이루어진 cyclic word를 얻는다.

보조정리 6.1
시작점의 선택과 원형 순서의 반전을 동치로 보면, 가능한 cyclic type은 정확히 다음 두 가지뿐이다.
\[
T-O-T-O, \qquad T-T-O-O.
\]

증명
원형으로 배열된 네 자리 가운데 정확히 두 자리에 $T$, 나머지 두 자리에 $O$를 놓는 경우를 생각하자. 회전과 반전까지 허용하면, 같은 종류가 서로 떨어져 있는 alternating case와 같은 종류가 서로 인접한 clustered case의 두 경우만 남는다. 따라서 가능한 cyclic type은 정확히 위의 두 가지뿐이다. $\square$

6.2 고대칭 edge 조건

## 6.2 고대칭 edge 조건

정의 6.2
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2(a)
\]
가 **edge-alternating**이라 함은, 모든 edge
\[
e \in E(\mathcal{K})
\]
에 대하여 $e$ 주위의 cyclic type이
\[
T-O-T-O
\]
가 됨을 뜻한다.

이러한 복합체들의 클래스를
\[
\mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a) \subset \mathfrak{C}_2(a)
\]
로 쓴다.

이 조건은 표준 tetrahedral--octahedral honeycomb의 edge-star에 나타나는 alternating 구조를 추상화한 것이다. defect-free 조건이 edge 주위의 각도합만을 $2\pi$로 고정한다면, edge-alternating 조건은 그 닫힘이 가장 대칭적인 순서로 실현됨을 요구한다.

6.3 vertex link에서의 alternating 조건

\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2(a), \qquad v \in V(\mathcal{K})
\]
를 잡자. 4장에 의해
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)
\]
는 삼각형과 사각형으로 이루어진 $S^2$의 finite cell decomposition이고, 각 vertex에는 정확히 두 개의 삼각형과 두 개의 사각형이 만난다.

명제 6.3
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2(a), \qquad v \in V(\mathcal{K})
\]
를 잡고, $\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)$의 한 vertex $p$에 대응하는 원래 복합체의 edge를 $e$라 하자. 그러면 다음 두 조건은 동치이다.

1.  $e$의 cyclic type이
    \[
    T-O-T-O
    \]
    이다.
2.  $p$ 주위의 $2$-faces의 cyclic order가
    \[
    \triangle-\square-\triangle-\square
    \]
    이다.

증명
$v$ 중심의 충분히 작은 구면 $S_\varepsilon(v)$를 택하여 $\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)$를 $S_\varepsilon(v)$ 위에서 실현하자. $p$는 $v$에서 나가는 edge $e$의 방향에 대응하는 점이다. 한편
\[
x \in \operatorname{relint}(e)
\]
를 잡고, $e$에 수직인 충분히 작은 원판 $D_x$를 택하자.

$\varepsilon$와 $D_x$를 충분히 작게 택하면, $p$의 작은 원형 link는 $e$의 edge-link와 조합적으로 동일하다. 실제로 $e$를 포함하는 각 maximal $3$-cell $\sigma$는 $D_x$ 위에 하나의 sector를 남기고, 동시에 $v$를 포함하므로 $S_\varepsilon(v)$ 위에 $p$를 포함하는 하나의 $2$-face를 남긴다. 이 대응은 $e$에 incident한 maximal $3$-cells와 $p$에 incident한 link-faces 사이의 일대일 대응을 주며, 원형 순서도 보존한다. 시작점의 선택과 방향 반전을 허용하면 두 cyclic order는 정확히 같은 조합적 자료를 준다.

또한 tetrahedron은 link에서 삼각형 $2$-face를 남기고, octahedron은 link에서 사각형 $2$-face를 남긴다. 따라서 $e$ 주위의 $T/O$ 순서와 $p$ 주위의 $\triangle/\square$ 순서는 정확히 서로 대응한다. 그러므로 (1)과 (2)는 동치이다. $\square$

정의 6.4
triangle--square spherical figure $\Sigma$가 **alternating**이라 함은, $\Sigma$의 모든 vertex에서 incident $2$-faces의 cyclic order가
\[
\triangle-\square-\triangle-\square
\]
가 됨을 뜻한다.

명제 6.3에 의해
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a)
\]
일 필요충분조건은, 모든
\[
v \in V(\mathcal{K})
\]
에 대하여
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)
\]
가 alternating spherical figure가 되는 것이다.

6.4 alternating admissible spherical figure의 구조

이 절에서는 alternating 조건을 추가하면 admissible spherical figure가 조합적으로 유일해짐을 보인다.

보조정리 6.5
$\Sigma$를 alternating spherical figure라 하자. 그러면 $\Sigma$의 모든 edge는 정확히 하나의 삼각형 face와 하나의 사각형 face에 속한다.

증명
$\Sigma$의 한 edge $f$를 잡자. $\Sigma$가 $S^2$의 cell decomposition이므로 $f$는 정확히 두 개의 $2$-faces에 incident하다. $f$의 한 endpoint에서 보면 이 두 $2$-faces는 $f$의 양쪽 sector를 이루는 인접한 두 face이다. 그런데 alternating 조건에 의해 각 vertex에서 인접한 두 face는 항상 서로 다른 종류이다. 따라서 $f$에 incident한 두 $2$-faces는 하나의 삼각형과 하나의 사각형이다. $\square$

이제 $\Sigma$의 사각형 face들 사이의 incidence를 기록하는 그래프를 도입한다.

정의 6.6
$\Sigma$의 사각형 face들을 vertex로 하는 그래프
\[
\Gamma_\square(\Sigma)
\]
를 다음과 같이 정의한다.

-   $\Gamma_\square(\Sigma)$의 vertices는 $\Sigma$의 사각형 faces들이다.
-   $\Sigma$의 한 vertex $p$에서 만나는 두 사각형 face $Q, Q'$에 대하여, $\Gamma_\square(\Sigma)$에서 $Q$와 $Q'$를 잇는 edge 하나를 넣는다.

보조정리 6.7
$\Sigma$를 alternating admissible spherical figure라 하자. 그러면
\[
\Gamma_\square(\Sigma)
\]
는 $6$개의 vertex를 갖는 단순 $4$-정규 그래프(simple $4$-regular graph)이다.

증명
admissibility에 의해 $\Sigma$의 사각형 face의 수는 $6$이므로, $\Gamma_\square(\Sigma)$는 $6$개의 vertex를 갖는다.

이제 $\Gamma_\square(\Sigma)$의 각 vertex의 차수를 계산하자. $\Sigma$의 한 사각형 face $Q$를 잡자. $Q$는 네 개의 vertex를 가진다. admissibility에 의해 $\Sigma$의 각 vertex에서는 정확히 두 개의 사각형이 만나므로, $Q$의 각 vertex $p$마다 $Q$ 이외에 정확히 하나의 다른 사각형 $Q_p$가 존재한다. 따라서 $Q$의 네 vertex는 $\Gamma_\square(\Sigma)$에서 $Q$에 incident한 네 개의 edge를 준다.

이 네 edge가 서로 모두 다름을 보이자. 만약 $Q$의 서로 다른 두 vertex $p \neq p'$에서 같은 사각형 $Q' \neq Q$가 만난다면, $Q \cap Q'$는 두 개의 서로 다른 vertex를 포함한다. 그런데 $\Sigma$는 face-to-face 2차원 셀 복합체이므로 두 $2$-faces의 교집합은 공집합이거나 공통 face이다. 한편 보조정리 6.5에 의해 두 사각형은 edge를 공유할 수 없으므로, $Q \cap Q'$는 많아야 하나의 vertex일 수 있다. 이는 모순이다. 따라서 $Q$의 네 vertex에서 얻어지는 네 사각형 $Q_p$는 서로 모두 다르고,
\[
\deg_{\Gamma_\square(\Sigma)}(Q)=4
\]
이다.

모든 사각형에 대해 같은 논리가 성립하므로 $\Gamma_\square(\Sigma)$는 $4$-regular이다.

마지막으로 $\Gamma_\square(\Sigma)$가 simple graph임을 보이자. loop가 생기려면 $\Sigma$의 한 vertex에서 같은 사각형이 두 번 나타나야 하는데, 각 vertex에서 만나는 두 사각형은 서로 다른 두 face이므로 불가능하다. 다중 edge가 생기려면 같은 두 사각형이 두 개의 서로 다른 vertex에서 만나야 하는데, 이는 바로 위에서 배제하였다. 따라서 $\Gamma_\square(\Sigma)$는 simple graph이다. $\square$

따름정리 6.8
\[
\Gamma_\square(\Sigma)
\]
는 octahedron의 $1$-skeleton과 동형이다.

증명
보조정리 6.7에 의해 $\Gamma_\square(\Sigma)$는 $6$개의 vertex를 갖는 simple $4$-regular graph이다. 따라서 그 여집합 그래프는 $6$개의 vertex를 갖는 simple $1$-regular graph, 즉 perfect matching이다. 그러므로 $\Gamma_\square(\Sigma)$는 완전 그래프 $K_6$에서 perfect matching 하나를 제거한 그래프와 동형이다. 이는 octahedron의 $1$-skeleton과 정확히 같다. $\square$

이제 삼각형 face를 살펴보자.

보조정리 6.9
$\Sigma$를 alternating admissible spherical figure라 하자. 그러면 $\Sigma$의 각 삼각형 face $T$는 $\Gamma_\square(\Sigma)$의 하나의 $3$-cycle을 유도한다.

증명
보조정리 6.5에 의해 $T$의 각 edge는 정확히 하나의 사각형과 접한다. 따라서 $T$의 세 edge에 접하는 사각형들을 $Q_1, Q_2, Q_3$라 하자.

먼저 $Q_1, Q_2, Q_3$가 서로 다름을 보이자. 만약 $Q_i = Q_j$가 어떤 $i \neq j$에 대해 성립하면, 그 사각형은 $T$의 서로 다른 두 edge와 교차하게 된다. 그러면 $T \cap Q_i$는 두 개의 서로 다른 edge를 포함하므로 $T$와 $Q_i$의 공통 face가 될 수 없다. 이는 face-to-face 조건에 모순이다. 따라서 $Q_1, Q_2, Q_3$는 서로 distinct하다.

이제 $T$의 세 vertex를 $p_{12}, p_{23}, p_{31}$이라 쓰자. 각 $p_{ij}$에서는 alternating 조건에 의해 $T$와 만나는 두 사각형이 정확히 $Q_i, Q_j$가 된다. 따라서 $\Gamma_\square(\Sigma)$에서 $Q_i$와 $Q_j$는 인접한다. 그러므로 $Q_1, Q_2, Q_3$는 pairwise adjacent이고, 따라서 $\Gamma_\square(\Sigma)$의 하나의 $3$-cycle을 이룬다. $\square$

정리 6.10
alternating admissible spherical figure는 조합적으로 유일하며 cuboctahedral spherical figure와 동형이다. 즉,
\[
\Sigma \text{가 admissible이고 alternating} \quad \Longrightarrow \quad \Sigma \cong \Sigma_{\mathrm{co}}.
\]

증명
\[
G := \Gamma_\square(\Sigma)
\]
라 두자. 따름정리 6.8에 의해 $G$는 octahedron의 $1$-skeleton과 동형이다. 이제 표준 octahedron $P$를 하나 고정하고, 그 $1$-skeleton을
\[
P^{(1)}
\]
로 쓰자. 그래프 동형
\[
\phi : G \longrightarrow P^{(1)}
\]
를 하나 고정한다.

또한 $\Sigma_{\mathrm{co}}$를 $P$의 rectification으로 얻어지는 cuboctahedron의 boundary cellulation이라 하자. 그러면 $\Sigma_{\mathrm{co}}$의 조합구조는 다음과 같이 기술된다.

-   $\Sigma_{\mathrm{co}}$의 vertices는 $P$의 edges와 일대일 대응한다.
-   $\Sigma_{\mathrm{co}}$의 square faces는 $P$의 vertices와 일대일 대응한다. $u \in V(P)$에 대응하는 square face를 $S_u$라 쓰자.
-   $\Sigma_{\mathrm{co}}$의 triangular faces는 $P$의 triangular faces와 일대일 대응한다. $F \subset P$가 triangular face이면, 대응하는 triangular face를 $T_F$라 쓰자.
-   $\Sigma_{\mathrm{co}}$의 각 edge는 유일한 쌍
    \[
    (u, F), \qquad u \in V(P), \quad u \subset F
    \]
    에 대응하며, 이는 square face $S_u$와 triangular face $T_F$의 교집합이다.

이제 $\Sigma$의 각 차원의 셀들을 $\Sigma_{\mathrm{co}}$의 셀들과 대응시키고, 이 대응이 incidence를 보존함을 보이겠다.

### 1단계: square faces의 대응

$\Sigma$의 square face $Q$에 대하여
\[
\Psi_2^\square(Q) := S_{\phi(Q)}
\]
로 둔다. 이는 $\Sigma$의 square faces와 $\Sigma_{\mathrm{co}}$의 square faces 사이의 bijection이다.

### 2단계: vertices의 대응

$\Sigma$의 한 vertex $p$를 잡자. admissibility에 의해 $p$에서는 정확히 두 개의 square faces가 만난다. 이를 $Q, Q'$라 하자. 정의 6.6에 의해 $Q$와 $Q'$는 그래프 $G$에서 인접하므로, $\phi(Q)$와 $\phi(Q')$는 $P$의 한 edge를 이룬다. 따라서
\[
\Psi_0(p) := \phi(Q)\phi(Q') \in E(P) = V(\Sigma_{\mathrm{co}})
\]
로 정의할 수 있다.

이 사상
\[
\Psi_0 : V(\Sigma) \to V(\Sigma_{\mathrm{co}})
\]
가 bijection임을 보이자.

먼저 injective성을 보이자. $\Psi_0(p) = \Psi_0(p')$라 하자. 그러면 $p, p'$에서 만나는 square faces의 unordered pair가 같다. 즉 어떤 서로 다른 두 square faces $Q, Q'$가 $p, p'$ 모두에서 만난다. 그러면 $Q \cap Q'$는 서로 다른 두 vertex를 포함한다. 그런데 $\Sigma$는 face-to-face 2차원 셀 복합체이므로 $Q \cap Q'$는 공집합이거나 공통 face이다. 한편 보조정리 6.5에 의해 두 square faces는 edge를 공유할 수 없다. 따라서 $Q \cap Q'$는 많아야 하나의 vertex일 수 있다. 모순이다. 그러므로 $\Psi_0$는 injective이다.

다음으로 surjective성을 보이자. $\Sigma_{\mathrm{co}}$의 한 vertex는 $P$의 한 edge $uu'$에 대응한다. 그러면 $\phi^{-1}(u)$와 $\phi^{-1}(u')$는 $G$의 인접한 두 vertex이므로, 정의 6.6에 의해 $\Sigma$의 어떤 vertex $p$에서 만나는 두 square faces이다. 따라서
\[
\Psi_0(p) = uu'
\]
이다. 그러므로 $\Psi_0$는 surjective이다.

따라서 $\Psi_0$는 bijection이다.

### 3단계: triangular faces의 대응

$\Sigma$의 triangular face $T$를 잡자. 보조정리 6.5에 의해 $T$의 각 edge는 정확히 하나의 square face와 접하므로, $T$의 세 edge에 접하는 square faces를 $Q_1, Q_2, Q_3$라 쓸 수 있다. 보조정리 6.9에 의해 $Q_1, Q_2, Q_3$는 $G$의 하나의 $3$-cycle을 이룬다. 따라서 $\phi(Q_1), \phi(Q_2), \phi(Q_3)$는 $P$의 한 triangular face의 세 vertex이다. 그 face를 $F_T$라 두고
\[
\Psi_2^\triangle(T) := T_{F_T}
\]
로 둔다.

이 사상
\[
\Psi_2^\triangle : \text{$\Sigma$의 triangular faces} \to \text{$\Sigma_{\mathrm{co}}$의 triangular faces}
\]
가 bijection임을 보이자.

먼저 injective성을 보이자. $\Psi_2^\triangle(T) = \Psi_2^\triangle(T')$라면 $T, T'$는 같은 triangular face $F \subset P$에 대응한다. 그러면 $T, T'$가 유도하는 square face들의 집합은 동일하다. 즉 어떤 서로 다른 세 square faces $Q_1, Q_2, Q_3$가 $T, T'$에 공통으로 대응한다.

이제 $Q_1 \cap Q_2$, $Q_2 \cap Q_3$, $Q_3 \cap Q_1$를 생각하자. 2단계의 injective성 논의에서 본 것처럼, 각 쌍은 정확히 하나의 vertex에서 만난다. 따라서 $T$와 $T'$의 세 꼭짓점은 모두 동일하다. 또한 $T \cap Q_1$과 $T' \cap Q_1$은 모두 $Q_1$ 위에서 같은 두 끝점을 갖는 boundary edge이다. 사각형의 boundary에서 같은 두 끝점을 갖는 edge는 유일하므로
\[
T \cap Q_1 = T' \cap Q_1.
\]
즉 $T$와 $T'$는 한 edge를 공유한다. 그런데 보조정리 6.5에 의해 각 edge는 정확히 하나의 triangle에만 속한다. 따라서 $T = T'$이다. 그러므로 $\Psi_2^\triangle$는 injective이다.

이제 admissibility에 의해 $\Sigma$의 triangular faces의 수는 $8$이고, octahedron $P$의 triangular faces의 수도 $8$이다. 따라서 $\Psi_2^\triangle$는 bijection이다.

### 4단계: vertex--face incidence의 일치

먼저 vertex--square incidence를 보자. $p \in V(\Sigma)$, $Q$를 $\Sigma$의 square face라 하자. 그러면
\[
p \in Q
\]
일 필요충분조건은, $p$에서 만나는 두 square faces 가운데 하나가 $Q$라는 것이다. 그런데 $\Psi_0(p)$는 그 두 square faces에 대응하는 $P$의 두 vertex를 잇는 edge이므로,
\[
p \in Q \quad \Longleftrightarrow \quad \Psi_0(p)\text{는 } P\text{의 vertex } \phi(Q)\text{에 incident한 edge이다}.
\]
이는 정확히
\[
\Psi_0(p) \in S_{\phi(Q)} = \Psi_2^\square(Q)
\]
와 동치이다. 따라서 vertex--square incidence는 보존된다.

다음으로 vertex--triangle incidence를 보자. $p \in V(\Sigma)$, $T$를 $\Sigma$의 triangular face라 하자. $p \in T$이면 $p$에서 만나는 두 square faces는 $T$의 두 변에 접하는 두 square faces이다. 따라서 이 둘은 $T$가 유도하는 $3$-cycle의 한 edge를 이룬다. 즉
\[
p \in T \quad \Longleftrightarrow \quad \Psi_0(p)\text{는 } F_T\text{의 한 edge이다}.
\]
이는 정확히
\[
\Psi_0(p) \in T_{F_T} = \Psi_2^\triangle(T)
\]
와 동치이다. 따라서 vertex--triangle incidence도 보존된다.

### 5단계: edge의 대응과 incidence의 일치

$\Sigma$의 임의의 edge $e$를 잡자. 보조정리 6.5에 의해 $e$는 정확히 하나의 square face와 정확히 하나의 triangular face에 속한다. 이를 각각
\[
Q(e), \qquad T(e)
\]
로 쓰자. 4단계에서 본 바에 따라 $\Psi_2^\square(Q(e))$와 $\Psi_2^\triangle(T(e))$는 $\Sigma_{\mathrm{co}}$에서 incident한 두 $2$-faces이다. 따라서 그 교집합은 정확히 하나의 edge이며, 이를
\[
\Psi_1(e) := \Psi_2^\square(Q(e)) \cap \Psi_2^\triangle(T(e))
\]
로 둔다.

이로써
\[
\Psi_0 : V(\Sigma) \to V(\Sigma_{\mathrm{co}}), \qquad \Psi_1 : E(\Sigma) \to E(\Sigma_{\mathrm{co}})
\]
및
\[
\Psi_2^\square, \qquad \Psi_2^\triangle
\]
가 정의되었다.

이 대응들은 이미 보인 바와 같이 vertex--face incidence를 보존한다. 또한 $\Sigma$와 $\Sigma_{\mathrm{co}}$에서 모든 edge는 유일한 square face와 유일한 triangular face의 교집합으로 주어지므로, edge--face incidence와 vertex--edge incidence도 자동으로 보존된다. 따라서 위 대응은 모든 차원의 셀들과 그 incidence relations를 보존하는 조합적 동형(combinatorial isomorphism)을 준다.

결론적으로
\[
\Sigma \cong \Sigma_{\mathrm{co}}
\]
이다. $\square$

정리 6.11
임의의
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a)
\]
와 임의의
\[
v \in V(\mathcal{K})
\]
에 대하여
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}}
\]
가 성립한다.

증명
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a), \qquad v \in V(\mathcal{K})
\]
를 잡자. 명제 4.2에 의해 $\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)$의 underlying space는 $S^2$와 위상동형이고, 4.3절의 관찰에 의해 이는 triangle--square spherical figure이다. 또한 따름정리 4.7, 정리 4.8, 따름정리 4.9에 의해
\[
t=8, \qquad o=6,
\]
각 vertex의 차수는 $4$이고, 각 vertex에는 정확히 두 개의 triangular faces와 두 개의 square faces가 만난다. 따라서 $\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)$는 admissible이다.

한편 명제 6.3과 정의 6.2에 의해, $\mathcal{K}$가 edge-alternating이므로 $\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)$의 각 vertex에서는 incident $2$-faces의 cyclic order가
\[
\triangle-\square-\triangle-\square
\]
가 된다. 즉 $\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)$는 alternating이다.

그러므로 정리 6.10을
\[
\Sigma = \operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v)
\]
에 적용하면
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}}
\]
를 얻는다. $\square$

따름정리 6.12
모든 $a>0$에 대하여
\[
\mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a) \subset \mathfrak{C}_3(a; \Sigma_{\mathrm{co}})
\]
가 성립한다.

증명
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a)
\]
라 하자. 정리 6.11에 의해 모든 vertex
\[
v \in V(\mathcal{K})
\]
에 대하여
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}}
\]
가 성립한다. 따라서 $\mathcal{K}$는 vertex-uniform이고, 정의에 의해
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_3(a; \Sigma_{\mathrm{co}})
\]
이다. $\square$

정리 6.13
모든 $a>0$에 대하여
\[
\mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a) = \mathfrak{C}_3(a; \Sigma_{\mathrm{co}})
\]
가 성립한다.

증명
따름정리 6.12에 의해
\[
\mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a) \subset \mathfrak{C}_3(a; \Sigma_{\mathrm{co}})
\]
이다.

반대로
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_3(a; \Sigma_{\mathrm{co}})
\]
라 하자. 그러면 모든 vertex
\[
v \in V(\mathcal{K})
\]
에 대하여
\[
\operatorname{Lk}_{\mathcal{K}}(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}}
\]
이다. cuboctahedron의 boundary cellulation에서는 각 vertex에서 triangular face와 square face가 cyclic order
\[
\triangle-\square-\triangle-\square
\]
로 만난다. 따라서 명제 6.3에 의해 $\mathcal{K}$의 모든 edge $e$는 cyclic type
\[
T-O-T-O
\]
를 갖는다. 즉
\[
\mathcal{K} \in \mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a).
\]

따라서
\[
\mathfrak{C}_3(a; \Sigma_{\mathrm{co}}) \subset \mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a)
\]
이고, 양쪽 포함을 합치면
\[
\mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a) = \mathfrak{C}_3(a; \Sigma_{\mathrm{co}})
\]
를 얻는다. $\square$

6.5 6장의 결론

alternating edge 조건은 defect-free tet--oct complex의 국소 자유도를 완전히 붕괴시킨다. 정확히 말하면,

1.  edge-alternating 조건은 vertex link의 각 vertex에서
    \[
    \triangle-\square-\triangle-\square
    \]
    의 cyclic order를 강제한다.
2.  admissibility 조건과 alternating 조건을 동시에 만족하는 triangle--square spherical figure는 조합적으로 유일하며, 육팔면체 구면 도형(cuboctahedral spherical figure) $\Sigma_{\mathrm{co}}$와 동형이다.
3.  따라서 모든 edge-alternating defect-free tet--oct complex는 자동으로 vertex-uniform이고, 그 공통 vertex figure는 cuboctahedral type이다.

즉 모든 $a>0$에 대하여
\[
\mathfrak{C}_2^{\mathrm{alt}}(a) = \mathfrak{C}_3(a; \Sigma_{\mathrm{co}})
\]
가 성립한다.

Tetrahedral__Octahedral_Complexes_with_Cuboctahedral_Vertex_Figures.pdf

0.33MB

인과적 동적 삼각형 분할(Causal Dynamical Triangulations)

Qaether Theory — Sun, 5 Apr 2026 12:17:55 +0900

Reconstructing the Universe.pdf

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The_Universe_from_Scratch.pdf

0.33MB

이론의 쉬운 소개: 우주는 아주 작은 피라미드 모양의 블록들로 조립되어 있으며, 이 블록들이 시간의 순서를 지키며 쌓일 때 비로소 우리가 아는 4차원 세상이 만들어진다

## 1. CDT(인과적 동적 삼각형 분할)란 무엇인가?

양자 중력의 목표는 아인슈타인의 일반 상대성 이론(거시 세계)과 양자 역학(미시 세계)을 통합하는 것입니다. CDT는 이 문제를 해결하기 위해 다음과 같은 독특한 접근 방식을 취합니다.

시공간의 원자: 시공간을 매끄러운 연속체가 아니라, 아주 작은 '4차원 삼각형(심플렉스)' 블록들을 조립해 만든 구조물로 가정합니다.
경로 적분(Path Integral): 양자 역학의 거장 파인만의 아이디어를 빌려, 우주가 가질 수 있는 **모든 가능한 기하학적 형태를 중첩(Superposition)**하여 하나의 양자 우주를 도출합니다.
인과율(Causality)의 도입: 이전의 실패했던 모델(Euclidean DT)과 가장 큰 차이점입니다. CDT는 각 조립 블록에 '시간의 방향'을 부여하고, 인과 관계가 깨지는 시공간(웜홀이나 시간 여행 등)은 계산에서 제외합니다.

2. 주요 연구 성과: "우주는 어떻게 생겨났는가?"

이 논문들은 CDT를 통해 컴퓨터 시뮬레이션(몬테카를로 방법)을 수행한 결과, 다음과 같은 놀라운 사실들을 발견했다고 보고합니다.

4차원 시공간의 자발적 출현: 아무런 배경 지식 없이 작은 블록들을 인과율에 맞춰 무작위로 섞었을 뿐인데, 거시적인 관점에서 우리가 사는 세상과 같은 4차원 우주가 자연스럽게 형성되었습니다.
미니 슈퍼스페이스 모델과의 일치: CDT로 유도된 우주의 부모양(전체적인 볼륨의 변화)이 기존 현대 우주론에서 사용하던 표준적인 모델과 수학적으로 정확히 일치함을 확인했습니다.
양자 우주의 파동 함수: 이론적으로만 존재하던 '우주의 파동 함수'를 근본 원리로부터 직접 계산해내는 데 성공했습니다.

3. 시공간의 기묘한 미시 구조

하지만 아주 가까이서(플랑크 스케일) 본 우주는 우리가 아는 모습과 전혀 달랐습니다.

차원의 축소 (4차원에서 2차원으로): 거시적으로는 4차원이지만, 아주 짧은 거리에서 시공간을 측정하면 2차원으로 줄어드는 현상이 발견되었습니다. 이는 양자 중력에서 나타나는 고유한 현상으로 보입니다.
프랙탈 구조: 시공간의 단면을 분석한 결과, 자기 유사성을 가진 프랙탈(Fractal) 형태의 미세 구조가 나타났습니다.
가지 달린 폴리머(Branched Polymers): 시공간의 얇은 단면들은 수학적으로 '가지 달린 폴리머'와 유사한 특성을 보이며, 이는 매우 비고전적이고 복잡한 미시 구조를 가졌음을 의미합니다.

4. 결론 및 향후 전망

CDT 연구는 시공간의 기하학적 구조가 단순히 배경이 아니라, 양자 역학적 요동에 의해 동적으로 결정되는 실체임을 보여줍니다.

이 모델은 수치적 시뮬레이션을 통해 **배경 독립적(Background-independent)**으로 고전적 우주를 재구성할 수 있음을 증명한 첫 번째 사례입니다.
연구자들은 앞으로 이 시공간 위에 물질을 추가하고, 중력파의 근원인 '그라비톤(중력자)'의 효과를 측정하는 연구를 계속할 예정입니다.

==> 이 이론을 보게 된 이유는 Qaether이론의 최소단위 플라켓들이 각기 다른 방향의 위상 회전을 가지고 있는데 이것을 하나의 시간 방향으로 보고 쌓아 올린다면 어떻게 될까에 대한 고민이 있었는데 이 논문을 찾게 되어 도움을 받고 있다.

괘종 시계와 같은 시간

Qaether Theory — Sun, 5 Apr 2026 11:36:44 +0900

오래전 우리 집 거실 한구석에는 재깍거리는 소리가 유난히 큰 괘종시계가 있었다. 언젠지 기억나지 않는 어느 오후였다. 역시 이유는 기억이 나지 않지만 나는 낡은 괘종시계의 유리문을 열고 그 안을 조심스럽게 살폈다. 시계의 심장부에서는 규칙적인 소음이 들렸고 나는 그 소음에도 아랑곳하지 않고 천천히 하나씩 살펴봤다. 손톱만 한 기어부터 숟가락만큼 커다란 기어까지, 수십 개의 톱니바퀴가 빽빽하게 맞물려 있었다. 지금 기억해보면 참 묘한 광경이었다. 세상 급하다는 듯 시계 방향으로 거세게 돌고 있는 작은 기어도 있고, 바로 그 옆에 맞물린 커다란 녀석은 마치 그에 저항이라도 하듯 반대 방향으로 묵묵히 그리고 아주 천천히 회전하고 있었다. 서로 다른 방향으로 계속해서 움직이고 있는데도 이상하게 막히거나 멈춤없이 계속해서 돌고 있었다. 막히기는 커녕 오히려 그 상반된 움직임들이 서로를 밀어주고 당겨주며 동력을 전달하고 있었지. 그때 나는 그 기어들의 행진을 보며 생각했었다.

"저 녀석들이 저렇게 각각 일을 해서 결국엔 전면의 패널로 모든 움직임을 보내는거구나. 방향은 제각각이어도, 가리키는 건 단 하나의 시간이네."라고.

요즘 내가 Qaether 이론을 만들면서 기하학만으로 공간도, 시간도 모두 정의하고자 하는 순수한 열정에 불타고 있다. 간단하지만 복잡한 세상을 만들 수 있다고 내가 믿고 있는 Qaether 이론. 나의 아이디어대로라면 우주는 최소단위의 작은 Qaether들이 서로 연결된 거대한 격자망이고, 그 매듭마다 사각결합(Square Bonds)이라는 보이지 않는 기어들이 박혀 있는 셈이다. 시계 속 기어들처럼 우주의 근간을 이루는 그 결합들도 저마다의 회전 방향을 가지고 요동치고 있는 것이라고 보는거다. 왼쪽으로 도는 놈, 오른쪽으로 도는 놈. 미시적인 관점에서 보면 그건 그저 파편화된 움직임일 뿐이지만, 그 무수한 회전들이 서로를 간섭하고 정렬하며 만들어내는 거대한 질서가 우주이며 시간이라고 생각하는 거다.

아직은 풀어내야 할 숙제가 많다. 많은 아이디어들이 넘쳐나기는 하지만 아직은 좀 더 확신할 수 있는 각종 공리와 정의를 만들어야 할 시기라고 생각한다. 하지만 나는 취미생활로 이런 이론을 만들며 내 평생 느껴보지 못한 내 삶의 가치에 놀라곤 한다. 아니 감사하다고 해야할지도 모르겠다.

어린 시절 괘종시계의 유리문을 열고 그 속을 들여다보던 그 호기심 어린 소년이, 이제는 우주라는 거대한 시계의 뒷면을 열어보고자 하는 아마츄어 탐험가가 된 기분이다. 플라켓들이 서로 다른 방향으로 회전하며 만들어내는 그 미묘한 박동을 수식으로 정리하다 보면, 어느샌가 내 주위조차 거대한 격자망의 일부가 된 듯한 착각에 빠지기도 한다.

물론 그 과정이 늘 매끄럽기만 한 것은 아니다. 때로는 기어들이 서로 어긋나 삐걱거리는 것처럼 이론들이 논리적 공백에 부딪히기도 하고, 때로는 마모된 톱니처럼 생각이 헛돌며 나를 좌절시키기도 한다. 하지만 그 삐걱거림조차 결국은 더 정교한 시계를 완성하기 위한 필수적인 조정 과정임을 안다.

제각기 다른 방향으로 도는 무수한 기어들이 결국 단 하나의 시간을 가리키듯, 나의 이 파편화된 고민과 가설들도 언젠가는 하나의 정합적인 체계로 정렬될 것이다. 그날이 오면, 어린시절 내가 괘종시계의 문을 닫으며 느꼈었을지도 모르는 지적 호기심에 대한 그 개운한 만족감을 우주의 비밀 앞에서 다시 한번 느낄 수 있지 않을까.

비록 지금은 정교한 설계도를 그려 나가는 지루한 여정 속에 있지만, 이 보이지 않는 Qaether의 기어들의 거대한 움직임 소리가 나에게는는 속삭이듯 들려온다. 내가 진실에 한걸음 더 다가가고 있다고. 언젠간 내가 그 진실을 마주하고 감동하게 될 것이라고. 나는 오늘도 기분 좋은 설렘과 함께, 아직 이름 붙이지 못한 미지의 기어 하나를 조심스럽게 격자 위에 그려 놓으려고 한다.

[v2.1] 3개의 계층공간

Qaether Theory — Sun, 29 Mar 2026 11:39:40 +0900

세 모델은 같은 Qaether 공간 $K$ 위에 세워져 있지만,
핵심 차이는 자유도를 어디에 두느냐와 closure/flatness를 얼마나 강하게 요구하느냐입니다.
아주 짧게 말하면:

Edge 모델: 가장 일반적입니다. edge에 위상을 직접 놓고, bonded face에서만 closure를 강제할 수도 있습니다.
Vertex(U(1)) 모델: vertex에 위상을 놓고 edge phase는 차이 $d\theta$로 유도됩니다. 그래서 모든 face와 모든 loop에서 자동으로 flat합니다.
Vertex-Quaternion 모델: 구조는 vertex 모델과 비슷하지만 값을 $Sp(1)\cong SU(2)$에 두는 비가환 버전입니다. edge transport가 $u(s)^{-1}u(t)$로 유도되어 역시 모든 face와 loop에서 holonomy가 자명합니다.

공통점

세 모델 모두 기본 배경은 같습니다.
즉, 1-skeleton이 FCC 최근접 이웃 그래프에 놓이고, triangular 2-cell과 square 2-cell이 붙은 2-차원 cellular complex $K$를 쓰며, tetrahedral/octahedral bonding을 해석하는 geometric data를 둡니다.

또 셋 다 “face를 따라 위상을 합하거나 곱했을 때 자명해지는가”를 중요하게 봅니다.
다만 Edge 모델은 이를 제약조건으로 둔 반면, 두 Vertex 계열 모델은 정의상 자동으로 만족합니다.

가장 큰 차이 1: 자유도의 위치

1) Edge에 위상을 배치한 모델

기본 변수는 edge 자체의 phase $\phi$입니다.
즉 edge phase configuration space 전체 $\mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)$를 먼저 잡고, 그 위에서 curvature $d\phi$와 closure 조건을 논합니다. 그래서 edge 값이 독립 자유도입니다.

2) Vertex에 위상을 배치한 모델

기본 변수는 vertex phase $\theta:K_0\to G$이고, edge phase는
$$
\phi_\theta(\vec e)=\theta(t(\vec e))-\theta(s(\vec e))=d\theta
$$
로 유도된 값입니다. 즉 edge는 독립 자유도가 아닙니다.

3) Vertex-Quaternion 모델

기본 변수는 vertex의 unit quaternion $u:K_0\to Sp(1)$이고, edge transport는
$$
g_u(\vec e)=u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
로 유도됩니다. 구조는 Vertex 모델과 비슷하지만, 값이 $G=\mathbb R/2\pi\mathbb Z$가 아니라 비가환군 (Sp(1)) 에 있다는 점이 다릅니다.

가장 큰 차이 2: flatness의 강도

Edge 모델

bonded face들에 대해서만 $(d\phi)(f)=0$을 요구하는 admissible space
$$
\mathcal A_{\mathrm{adm}}(K,\mathcal G)
$$
를 정의합니다. 즉 bonded face가 아닌 곳에는 curvature가 남아도 허용됩니다. 그래서 국소 결함, face flux 같은 것을 담을 여지가 큽니다. 전역 flat한 공간 $\mathcal A_0(K)$은 그 안의 더 작은 부분입니다.

Vertex(U(1)) 모델

$\phi_\theta=d\theta$이므로 자동으로 $d\phi_\theta=d^2\theta=0$입니다.
따라서 triangular face, square face는 물론이고, 모든 닫힌 loop에서 총 위상차가 0입니다. 즉 단순히 face-flat이 아니라 exact flat sector를 기술합니다.

Vertex-Quaternion 모델

여기도 유도식 때문에 face holonomy가 자동으로 1이 되고, 더 나아가 모든 closed loop holonomy가 1입니다. 다만 비가환이라 “합”이 아니라 “ordered product”와 holonomy로 써야 합니다. 그래서 이 모델은 pure-gauge flat sector를 기술합니다.

가장 큰 차이 3: 수학적 성격

Vertex(U(1)) 모델은 아벨 cochain 이론

값이 $G=\mathbb R/2\pi\mathbb Z$인 아벨군이라서
$$
C^0 \xrightarrow{d} C^1 \xrightarrow{d} C^2
$$
형태의 선형 cochain complex를 그대로 씁니다. 그리고 induced sector와 전체 flat sector의 차이는
$$
H^1(K;G)
$$
가 측정합니다. 즉 “flat인데 exact는 아닌 상태”가 있을 수 있습니다.

Vertex-Quaternion 모델은 비가환 gauge 이론

$Sp(1)$은 비가환이므로 선형 coboundary $d:C^0\to C^1$를 그대로 쓰지 않고, edge transport와 face holonomy, gauge action으로 기술합니다. flat sector 전체는 단순히 “exact cochain”이 아니라, 본질적으로
$$
\operatorname{Hom}(\pi_1(K),Sp(1))/Sp(1)
$$
같은 representation/gauge moduli로 나타납니다.

즉,

Vertex(U(1)) 모델의 차이는 코호몰로지 $H^1$ 로 보이고,
Vertex-Quaternion 모델의 차이는 비가환 holonomy 표현으로 보입니다.

가장 큰 차이 4: 중복 대칭과 물리적 상태공간

Vertex(U(1)) 모델에서는 전역 상수 위상 이동
$$
\theta(v)\mapsto \theta(v)+c
$$
이 edge phase를 바꾸지 않으므로, 물리적 상태공간은 $\Theta(K)/\Delta G$입니다. 즉 절대 위상이 아니라 상대 위상차가 물리량입니다.

Vertex-Quaternion 모델에서도 전역 왼쪽곱
$$
u(v)\mapsto a u(v)
$$
이 induced edge transport를 바꾸지 않아 $\mathcal U(K)/Sp(1)$를 reduced space로 봅니다. 여기에 더해, 이 모델은 local gauge transformation까지 명시적으로 도입합니다. 이 점이 U(1) vertex 모델보다 훨씬 게이지 이론적입니다.

Edge 모델은 애초에 edge 변수를 직접 기본 변수로 놓으므로, 위 두 모델처럼 “vertex 변수의 전역 중복을 quotient”하는 구조가 중심이 아닙니다. 대신 어떤 face에 closure를 걸 것인지가 핵심입니다.

관계를 한 줄로 정리하면

같은 값을 쓰는 두 모델 사이에서는 다음처럼 볼 수 있습니다.

Edge 모델 = 가장 큰 운동학적 공간
전역 flat sector = 그 안에서 모든 face closure를 만족하는 부분
Vertex(U(1)) 모델 = 그 전역 flat sector 안의 exact flat sector

Quaternion 쪽도 비슷한 그림이지만, 선형 cochain 대신 비가환 gauge/holonomy 언어로 바뀝니다.

일반 (Sp(1)) edge transport
flat sector
Vertex-Quaternion induced sector = 그 안의 pure-gauge, trivial-holonomy sector

연구적으로 보면 셋의 역할 분담은 이렇습니다

Edge 모델은 가장 물리적입니다. 결함, face flux, 부분적 closure 위반을 직접 담기 좋습니다.
Vertex(U(1)) 모델은 가장 단순하고 깨끗합니다. exact flat한 기준 진공/배경 모델로 좋습니다.
Vertex-Quaternion 모델은 비가환 일반화입니다. 내부 자유도를 더 풍부하게 주면서도, induced sector에서는 여전히 pure gauge라는 점이 분명합니다.

이 세 모델은 경쟁 모델이라기보다 계층 구조에 가깝습니다.

Edge 모델이 가장 넓은 우주를 줍니다.
Vertex(U(1)) 모델은 그 안의 아벨 exact-flat 부분입니다.
Vertex-Quaternion 모델은 이를 비가환적으로 올린 pure-gauge 버전입니다.

항목	Edge에 위상 배치 모델	Vertex에 위상 배치 모델	Vertex-Quaternion 위상 배치 모델
기본 배경 공간	FCC 최근접 이웃 그래프의 $1$-skeleton 위에 triangular/square $2$-cell이 붙은 $2$-complex $K$를 사용	같은 $K$ 사용	같은 $K$ 사용
기본 자유도 위치	edge에 직접 위상 $\phi$를 둠. edge 변수가 독립 자유도임	vertex에 위상 $\theta$를 두고, edge phase는 $\phi_\theta=d\theta$로 유도됨	vertex에 quaternion $u\in Sp(1)$를 두고, edge transport는 $g_u(\vec e)=u(s)^{-1}u(t)$로 유도됨
값이 사는 공간 / 구조군	$G=\mathbb R/2\pi\mathbb Z$인 아벨 위상값	$G=\mathbb R/2\pi\mathbb Z$인 아벨 위상값	$Sp(1)\cong SU(2)$인 비가환 단위 quaternion 값
edge의 방향 반전 규칙	$\phi(\bar e)=-\phi(\vec e)$	유도된 edge phase도 자동으로 $\phi_\theta(\bar e)=-\phi_\theta(\vec e)$ 만족	$g(\bar e)=g(\vec e)^{-1}$
face 위의 closure / curvature 표현	$(d\phi)(f)=\sum \phi(\vec e_j)$, 또는 $U(1)$-holonomy로 표현	$d\phi_\theta=d^2\theta=0$ 이므로 모든 face에서 closure 자동 성립	face holonomy $F_g(f)=g(\vec e_1)\cdots g(\vec e_m)$, 유도형이면 항상 $F_{g_u}(f)=1$
closure를 어디까지 강제하는가	bonded face에서만 closure를 강제한 admissible space를 정의 가능. non-bonded face에는 제약 없음	bonded face 포함 모든 $2$-cell에서 자동 closure	bonded face 포함 모든 $2$-cell에서 자동 trivial holonomy
허용 공간의 크기	$\mathcal A_{\mathrm{raw}}(K)$가 가장 큼, 그 안에 $\mathcal A_{\mathrm{adm}}(K,\mathcal G)$, 그 안에 전역 flat sector $\mathcal A_0(K)$	전체 flat sector가 아니라 그중 exact flat sector $\operatorname{Im}(d:C^0\to C^1)$만 다룸	전체 flat sector가 아니라 그중 pure-gauge / trivial holonomy sector만 다룸
닫힌 loop에서의 holonomy	일반적으로 비자명할 수 있음. bonded face만 닫혀도 전체 loop holonomy는 남을 수 있음	모든 닫힌 loop에서 총 위상차가 0, 즉 비자명 holonomy 없음	모든 닫힌 loop에서 holonomy가 $1$, 즉 비자명 holonomy 없음
결함/face flux 허용성	허용 가능. bonded되지 않은 face에는 curvature가 남을 수 있어 local defect를 담기 좋음	허용하지 않음. induced sector는 언제나 exact flat	허용하지 않음. induced sector는 언제나 pure gauge/trivial holonomy
수학적 언어	cellular cochain $C^1(K;G)$, curvature $d\phi$	아벨 cochain complex, exactness, $H^1(K;G)$로 flat와 exact의 차이를 측정	비가환 gauge theory, holonomy, gauge action, $\operatorname{Hom}(\pi_1(K),Sp(1))/Sp(1)$ 같은 moduli로 flat sector를 이해
중복 대칭 / 물리 상태공간	edge를 직접 기본 변수로 두므로 vertex형 전역 중복 제거가 중심은 아님	전역 상수 위상 이동 $\theta\mapsto \theta+c$은 같은 상태. $\Theta(K)/\Delta G$가 물리 공간	전역 왼쪽곱 $u\mapsto au$는 같은 induced transport. $\mathcal U(K)/Sp(1)$가 reduced space
연결된 경우의 대응	특별한 vertex quotient 대응을 전면에 두지 않음	연결되면 $\Theta(K)/\Delta G \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$	연결되면 $\mathcal U(K)/Sp(1) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$
철학적 성격	가장 일반적이고 물리적인 모델. 부분적 closure, 결함, flux를 담기 좋음	가장 단순한 아벨 exact-flat 모델	Vertex 모델의 비가환 확장판으로, 구조는 비슷하지만 gauge/holonomy가 더 풍부함

[v2.1.2] Qaether의 공간정의 (쿼터니안 Vertex에 phase 배정)

Qaether Theory — Sat, 28 Mar 2026 21:56:42 +0900

Vertex quaternion과 induced edge transport로 정의되는 pure-gauge flat sector

본 연구의 기본 대상은, $1$-skeleton이 FCC 최근접 이웃 그래프에 실현되고, 그 elementary cycle들을 경계로 하는 triangular $2$-cell 및 square $2$-cell이 부착된 $2$-dimensional cellular complex $K$이다. 또한 $K$에는 geometric realization과 국소 bonding 정보를 기록하는 geometric data $\mathcal D$가 주어져 있다고 가정한다. 다만, 본 절에서 사용하는 quaternionic 구조와 flatness의 개념은 본질적으로 $K$의 cellular structure에 의해 결정되며, $\mathcal D$는 어떤 face들이 물리적으로 선택된 bonded face들인지를 해석하는 데 사용된다.

$K$의 $2$-cell들의 집합은
$$
K_2 = T \sqcup Q
$$
로 분해되며, 여기서 $T$는 triangular $2$-cell들의 집합이고, $Q$는 square $2$-cell들의 집합이다.

이제 vertex 변수는 가법적 위상값이 아니라 단위 쿼터니언
$$
Sp(1) := \{q \in \mathbb H \mid |q|=1\} \cong SU(2)
$$
값을 갖는다고 가정한다. $Sp(1)$은 곱셈에 대해 비가환군이므로, 아벨군값 cochain에서의 선형 coboundary $d:C^0\to C^1$를 그대로 사용할 수는 없다. 대신 본 절에서는 vertex quaternion으로부터 유도되는 상대 quaternion transport와 그 holonomy를 사용하여 flat sector를 기술한다.

각 unoriented $1$-cell에 대해 reference orientation을 하나씩 고정하고, oriented edge $\vec e$의 시작점과 끝점을 각각 $s(\vec e)$, $t(\vec e)$로 쓴다. 또한 각 $2$-cell에는 orientation을 하나씩 고정하고, 그 orientation에 의해 유도되는 boundary cycle을 사용한다.

1. Vertex quaternion configuration과 induced edge transport

vertex quaternion configuration space를
$$
\mathcal U(K) := \{u : K_0 \to Sp(1)\}
$$
로 정의한다. 즉, 각 vertex $v \in K_0$에 단위 쿼터니언
$$
u(v) \in Sp(1)
$$
를 배정한다.

이제 각 $u \in \mathcal U(K)$에 대하여, oriented edge $\vec e$를 따라 유도되는 edge transport를
$$
g_u(\vec e) := u\bigl(s(\vec e)\bigr)^{-1} u\bigl(t(\vec e)\bigr) \in Sp(1)
$$
로 정의한다.

그러면 임의의 oriented edge $\vec e$에 대하여
$$
\begin{aligned} g_u(\bar e) &= u\bigl(s(\bar e)\bigr)^{-1}u\bigl(t(\bar e)\bigr) = u\bigl(t(\vec e)\bigr)^{-1}u\bigl(s(\vec e)\bigr) = g_u(\vec e)^{-1}
\end{aligned}
$$
가 성립한다. 따라서 edge variable은 방향을 뒤집으면 역원으로 바뀌는 $Sp(1)$-값 transport로 볼 수 있다.

이에 따라 일반적인 edge configuration space를
$$
\mathcal A(K) :=
\{
g:E^{\mathrm{or}}(K)\to Sp(1)
\bigm|
g(\bar e)=g(\vec e)^{-1} \text{ for all oriented edges } \vec e
\}
$$
로 둔다. 여기서 $E^{\mathrm{or}}(K)$는 $K$의 oriented edge들의 집합이다.

이 모델의 induced sector에서는 edge variable이 독립 자유도가 아니라 vertex quaternion들의 상대값으로부터 유도되는 양이다.

2. Face holonomy와 induced sector의 자동 flatness

이제 oriented $2$-cell $f \in K_2$의 boundary orientation을 따라 순서대로 나열된 oriented edge들을
$$
\partial f = (\vec e_1, \dots, \vec e_m)
$$
라 쓰자. 여기서 $f \in T$이면 $m=3$, $f \in Q$이면 $m=4$이다.

임의의 $g \in \mathcal A(K)$에 대하여, $f$ 위의 face holonomy를
$$
F_g(f) := g(\vec e_1)g(\vec e_2)\cdots g(\vec e_m) \in Sp(1)
$$
로 정의한다.

$Sp(1)$은 비가환군이므로, 이 곱에서 edge들의 순서는 본질적이다. 또한 boundary cycle의 시작점을 바꾸면 위 곱은 일반적으로 켤레변환된다. 따라서 엄밀히 말하면 $F_g(f)$ 자체는 시작점 선택에 의존하지만, 조건
$$
F_g(f) = 1
$$
은 켤레불변이므로 잘 정의된다. 즉, face holonomy가 자명하다는 성질은 boundary cycle의 시작점 선택과 무관하다.

이제 $g=g_u$가 어떤 vertex quaternion $u$로부터 유도되었다고 하자. $f$의 boundary가
$$
v_0 \to v_1 \to \cdots \to v_m = v_0
$$
를 따라 돈다면,
$$
g_u(\vec e_j) = u(v_{j-1})^{-1}u(v_j) \qquad (j=1,\dots,m)
$$
이므로
$$
\begin{aligned}
F_{g_u}(f) = g_u(\vec e_1)\cdots g_u(\vec e_m) = u(v_0)^{-1}u(v_1) u(v_1)^{-1}u(v_2) \cdots u(v_{m-1})^{-1}u(v_0) = 1
\end{aligned}
$$
이 성립한다. 따라서 모든 triangular face와 square face에 대하여
$$
F_{g_u}(f) = 1
$$
가 성립한다. 즉, vertex quaternion으로부터 유도된 모든 edge transport는 모든 $2$-cell 위에서 flat하다.

특히 geometric data $\mathcal D$에 의해 선택된 tetrahedral 또는 octahedral bonded face들도 $K_2$의 부분집합으로 해석되는 한, 위 결과는 그 face들에도 그대로 적용된다.

여기서 중요한 점은, 이 closure가 triangular face이기 때문 또는 square face이기 때문이 아니라, edge transport가
$$
g_u(\vec e) = u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
의 형태로 유도되었기 때문에 자동으로 성립한다는 것이다.

3. closed edge loop에 대한 holonomy와 pure-gauge 성질

이제 based closed edge loop
$$
C = (\vec e_1, \dots, \vec e_n)
$$
를 생각하자. 이는
$$
t(\vec e_j)=s(\vec e_{j+1}) \quad (1\le j<n), \qquad t(\vec e_n)=s(\vec e_1)
$$
를 만족하는 oriented edge들의 유한열이다.

임의의 $g \in \mathcal A(K)$에 대하여, $C$를 따른 holonomy를
$$
\operatorname{Hol}_C(g) := g(\vec e_1)g(\vec e_2)\cdots g(\vec e_n) \in Sp(1)
$$
로 정의한다.

비가환군의 경우, 같은 기하학적 closed edge loop를 다른 시작점에서 읽으면 holonomy 값은 일반적으로 켤레변환된다. 따라서 자연스러운 gauge-invariant 정보는 holonomy의 켤레류이다. 그러나 조건
$$
\operatorname{Hol}_C(g) = 1
$$
은 켤레불변이므로, closed edge loop의 holonomy가 자명하다는 성질 자체는 시작점 선택과 무관하게 잘 정의된다.

만약 $g=g_u$가 vertex quaternion $u$로부터 유도되었다면, $C$가
$$
v_0 \to v_1 \to \cdots \to v_n = v_0
$$
를 따라 도는 닫힌 경로이므로
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Hol}_C(g_u) &= u(v_0)^{-1}u(v_1) u(v_1)^{-1}u(v_2) \cdots u(v_{n-1})^{-1}u(v_0) \
&= 1
\end{aligned}
$$
이 된다.

즉, vertex quaternion으로부터 유도된 edge transport는 임의의 closed edge loop에 대해서도 holonomy가 항상 $1 \in Sp(1)$이다. 따라서 induced sector에 속하는 configuration들은 모두 pure gauge이며, 비자명한 loop holonomy를 갖지 않는다.

반대로, $1$-skeleton이 연결되어 있을 때 임의의 $g \in \mathcal A(K)$가 모든 closed edge loop $C$에 대해
$$
\operatorname{Hol}_C(g) = 1
$$
를 만족하면, $g$는 어떤 $u : K_0 \to Sp(1)$에 대하여
$$
g(\vec e) = u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
의 꼴로 표현된다. 실제로 기준점 $v_0 \in K_0$를 잡고 $u(v_0)=1$로 둔 뒤, 임의의 vertex $v$에 대해 $v_0$에서 $v$까지 가는 path를 따른 ordered product로 $u(v)$를 정의하면, 모든 closed edge loop holonomy가 자명하므로 이 정의는 path-independent가 된다.

따라서 연결된 $1$-skeleton에서는
$$
\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) = \{ g \in \mathcal A(K) \mid \operatorname{Hol}_C(g)=1 \ \text{for all closed edge loops } C \}
$$
가 성립한다.

즉, induced sector는 정확히 trivial loop holonomy를 갖는 pure-gauge sector이다.

4. 전역 왼쪽곱 중복과 reduced vertex configuration space

$Sp(1)$은 $\mathcal U(K)$ 위에 전역 왼쪽곱으로 작용한다:
$$
Sp(1) \curvearrowright \mathcal U(K), \qquad (a \cdot u)(v) := a u(v) \qquad (a \in Sp(1), \ v \in K_0).
$$

이 작용은 induced edge transport를 바꾸지 않는다. 실제로
$$ \begin{aligned} g_{a \cdot u}(\vec e) &= \bigl((a \cdot u)(s(\vec e))\bigr)^{-1} (a \cdot u)(t(\vec e)) \\ &= \bigl(a u(s(\vec e))\bigr)^{-1} \bigl(a u(t(\vec e))\bigr) \\ &= u(s(\vec e))^{-1} a^{-1} a u(t(\vec e)) \\ &= u(s(\vec e))^{-1} u(t(\vec e)) \\ &= g_u(\vec e) \end{aligned} $$
가 된다.

따라서 전역 왼쪽곱은 induced edge transport를 바꾸지 않는 parametrization redundancy이다. 이에 따라
$$
\mathcal U_{\mathrm{red}}(K) := \mathcal U(K) / Sp(1)
$$
를 reduced vertex configuration space로 둘 수 있다.

즉, 이 모델에서 vertex 변수의 절대 quaternion 값 자체는 중복이며, edge transport가 반영하는 것은 vertex들 사이의 상대 quaternion 관계이다.

다만 주의할 점은, $\mathcal U_{\mathrm{red}}(K)$는 어디까지나 vertex quaternion 기술에서 전역 중복만을 제거한 공간이며, 아래에서 도입할 일반적인 gauge-theoretic moduli space와는 개념적으로 구별되는 대상이라는 점이다.

5. Local gauge transformation과 일반 flat sector

이제 induced sector를 일반적인 $Sp(1)$-값 edge transport와 비교하기 위해, vertex gauge group을
$$
\mathrm{Gau}(K) := \{h : K_0 \to Sp(1)\}
$$
으로 둔다.

본 절에서는 $\mathcal U(K)$ 위에 오른쪽 작용
$$
(u \cdot h)(v) := u(v)h(v)
$$
을 취한다. 이에 대응하여 $\mathcal A(K)$ 위에는
$$
(h \cdot g)(\vec e) := h\bigl(s(\vec e)\bigr)^{-1} g(\vec e) h\bigl(t(\vec e)\bigr)
$$
로 gauge action이 유도된다. 이 convention 아래에서 induced edge transport는 정확히
$$
g_{u \cdot h} = h \cdot g_u
$$
를 만족한다. 실제로
$$ \begin{aligned} g_{u \cdot h}(\vec e) &= \bigl(u(s(\vec e))h(s(\vec e))\bigr)^{-1} \bigl(u(t(\vec e))h(t(\vec e))\bigr) \\ &= h(s(\vec e))^{-1} u(s(\vec e))^{-1} u(t(\vec e)) h(t(\vec e)) \\ &= h(s(\vec e))^{-1} g_u(\vec e) h(t(\vec e)) \end{aligned} $$
이다.

따라서 전역 왼쪽곱은 $u$의 parametrization redundancy이고, 오른쪽의 local multiplication은 edge transport에 비자명하게 작용하는 gauge symmetry이다.

이제 모든 $2$-cell에서 flat한 edge configuration들의 집합을
$$
\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K) := \{ g \in \mathcal A(K) \mid F_g(f)=1 \ \text{for all } f \in K_2 \}
$$
로 정의한다.

한편, vertex quaternion으로부터 유도되는 edge configuration들의 집합을
$$
\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) := \{ g_u \mid u \in \mathcal U(K) \} \subset \mathcal A(K)
$$
로 정의하면, 앞 절의 논의에 의해
$$
\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) \subset \mathcal A_{\mathrm{flat}}(K)
$$
가 성립한다.

그러나 일반적으로 이 포함은 equality가 아니다. 즉, 모든 flat $Sp(1)$-valued edge configuration이 vertex quaternion으로부터 유도되는 것은 아니다. connected complex $K$와 기준점 $v_0 \in K_0$를 택하면, 기준점에서 항등인 gauge transformation들의 부분군
$$
\mathrm{Gau}_0(K) := \{ h \in \mathrm{Gau}(K) \mid h(v_0)=1 \}
$$
에 대하여 표준적으로
$$
\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K) / \mathrm{Gau}_0(K) \cong \operatorname{Hom}\bigl(\pi_1(K,v_0), Sp(1)\bigr)
$$
를 얻는다. 다시 전체 gauge group $\mathrm{Gau}(K)$으로 나누면 전역 켤레작용까지 식별되어
$$
\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K) / \mathrm{Gau}(K) \cong \operatorname{Hom}\bigl(\pi_1(K,v_0), Sp(1)\bigr) \big/ Sp(1)
$$
로 이해된다. 여기서 우변의 $Sp(1)$ 작용은 representation에 대한 전역 켤레작용이다.

반면 induced sector $\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$는 flat sector 전체가 아니라, 그중에서도 모든 closed edge loop holonomy가 자명한
$$
\operatorname{Hol}_C(g) = 1 \qquad \text{for all based closed edge loops } C
$$
를 만족하는 pure-gauge flat sector이다.

또한 induced sector의 원소들은 gauge-theoretic 관점에서는 모두 자명한 connection과 동치이다. 실제로 $g=g_u$에 대하여 $h=u^{-1}$를 택하면
$$
h \cdot g_u = 1
$$
이 된다. 이때 $1(\vec e) \equiv 1 \in Sp(1)$이다. 따라서 $\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$는 풍부한 vertex parametrization을 갖지만, edge connection의 gauge moduli 관점에서는 자명 holonomy sector에 해당한다.

6. Simply connected인 경우: $\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K)=\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$

특히 $K$가 connected이고 simply connected이면
$$
\pi_1(K,v_0) = 0
$$
이므로 모든 flat connection은 자명한 holonomy만을 가진다. 이 경우 사실
$$
\mathcal A_{\mathrm{flat}}(K) = \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
가 성립한다.

그 이유는 다음과 같다. 임의의 $g \in \mathcal A_{\mathrm{flat}}(K)$를 잡고 기준점 $v_0 \in K_0$ 및 $u(v_0)=1$을 정한다. 임의의 vertex $v \in K_0$에 대하여, $v_0$에서 $v$까지의 oriented edge path를 하나 택하고 그 path를 따른 ordered product로 $u(v)$를 정의한다. 각 $2$-cell 경계에서의 holonomy가 자명이므로, $2$-cell boundary를 삽입하거나 제거하여 path를 바꾸어도 이 값은 변하지 않는다. 또한 $K$가 simply connected이므로 임의의 두 path의 차이는 attaching $2$-cell boundary들의 곱으로 소거되며, 따라서 $u(v)$의 정의는 path-independent가 된다. 이때 구성된 $u$는
$$
g(\vec e) = u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
를 만족하므로 $g=g_u$이다. 따라서 모든 flat configuration이 induced form으로 표현된다.

즉, connected simply connected $2$-complex에서는 flat sector 전체와 induced sector가 일치한다.

7. Connected complex에서 $\mathcal U_{\mathrm{red}}(K)\cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)$

이제 $K$의 $1$-skeleton이 연결되어 있다고 하자. 그러면
$$
\mathcal U_{\mathrm{red}}(K) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
가 성립한다.

이를 보이기 위해 사상
$$
\Phi : \mathcal U(K) \to \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K), \qquad \Phi(u) = g_u
$$
를 생각하자. $\Phi$는 정의상 전사이다.

이제 $\Phi(u) = \Phi(u')$라고 하자. 그러면 모든 oriented edge $\vec e$에 대하여
$$
u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e)) = u'(s(\vec e))^{-1}u'(t(\vec e))
$$
이므로
$$
u'(t(\vec e))u(t(\vec e))^{-1} = u'(s(\vec e))u(s(\vec e))^{-1}
$$
가 된다.

따라서
$$
a(v) := u'(v)u(v)^{-1}
$$
는 인접한 vertex들마다 같은 값을 가진다. $1$-skeleton의 연결성에 의해 $a(v)$는 전체 $K_0$ 위에서 하나의 상수 $a \in Sp(1)$와 같아진다. 즉,
$$
u'(v) = a u(v) \qquad (v \in K_0)
$$
가 된다.

반대로 임의의 상수 $a \in Sp(1)$에 대하여
$$
g_{a \cdot u} = g_u
$$
이므로, $\Phi$의 fiber는 정확히 전역 왼쪽곱 궤도와 일치한다. 따라서 $\Phi$는 quotient를 거쳐 잘 정의된 전단사
$$
\bar\Phi : \mathcal U(K)/Sp(1) \to \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
를 유도한다. 즉,
$$
\mathcal U(K)/Sp(1) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
이므로
$$
\mathcal U_{\mathrm{red}}(K) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
이다.

이는 연결된 복합체에서는 서로 다른 reduced vertex quaternion 상태들이 정확히 induced edge transport configuration들과 일대일 대응함을 의미한다.

참고로, $1$-skeleton이 연결되지 않은 경우에는 각 연결성분마다 독립적인 전역 왼쪽곱이 존재하므로, 위 결과는 일반적으로
$$
\mathcal U(K)/Sp(1)^{\pi_0(K)} \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
의 형태로 바뀐다.

8. 요약

이 모델에서 기본 자유도는 vertex quaternion
$$
u \in \mathcal U(K) = \{u : K_0 \to Sp(1)\}
$$
에 있고, edge transport는 항상 그 상대값
$$
g_u(\vec e) = u(s(\vec e))^{-1}u(t(\vec e))
$$
으로 유도된다.

따라서 모든 triangular face와 square face에 대해
$$
F_{g_u}(f) = 1
$$
가 자동으로 성립하여 face-level flatness가 만족된다. 그러나 사실 이 성질은 삼각결합과 사각결합에만 국한되지 않으며, induced 구조 때문에 임의의 closed edge loop $C$에 대해서도
$$
\operatorname{Hol}_C(g_u) = 1
$$
가 성립한다. 즉, induced sector에서는 비자명한 loop holonomy가 존재하지 않는다.

결국 이 모델이 직접 기술하는 것은 $\mathcal A(K)$ 전체도 아니고, 모든 flat edge configuration 전체도 아니라,
$$
\mathcal A_{\mathrm{ind}}(K) = \{ g_u \mid u \in \mathcal U(K) \}
$$
로 주어지는 pure-gauge flat sector, 즉 vertex quaternion으로부터 유도되는 자명 holonomy sector이다.

또한 $1$-skeleton이 연결되어 있으면
$$
\mathcal U_{\mathrm{red}}(K) = \mathcal U(K)/Sp(1) \cong \mathcal A_{\mathrm{ind}}(K)
$$
가 성립하므로, reduced vertex quaternion 상태와 induced edge transport 상태는 서로 동등하게 기술된다.