Qaether 연구일지

[v2.5] 구조적 배치에 관한 수학적 증명

Qaether Theory — Tue, 13 Oct 2026 21:49:01 +0900

Mathematical Foundations of Structural Configuration and O-Motif Formation

Part I. 연구 목적과 논리적 지위

1.1 연구 목적

본 연구는 Qaether v2.5 Basic의 Vertex 연결 구조와 접촉·배제 조건으로부터 O-motif를 포함하는 3차원 구조적 배치가 어떤 수학적 조건 아래 형성될 수 있는지 규명한다.

핵심 연구 명제는 다음과 같다.

$$
\mathsf{SC}:
\quad
\text{Vertex connectivity}
\Longrightarrow
\text{3D structural configuration}.
$$

그러나 이 명제는 다음 네 가지 하위 명제로 분해하여 검증해야 한다.

$\mathsf P_1$: 3차원 O-motif 실현의 존재성,
$\mathsf P_2$: O-motif의 기하학적 강성,
$\mathsf P_3$: 국소 연결 전이를 통한 O-motif 생성,
$\mathsf P_4$: 일반 초기조건에서의 자연발생

본 문서에서 $\mathsf P_1,\mathsf P_2$는 기존 공리와 수학적 정의로부터 증명하고, $\mathsf P_3$는 추가 전이 규칙 아래에서 증명한다.

$\mathsf P_4$는 현재 공리계에서 일반적으로 도출되지 않음을 밝힌다.

1.2 형식적 구분

본 연구의 결과는 다음 두 층으로 분리한다.

Layer A — Static Structural Theorems

Qaether v2.5 Basic과 표준 그래프 이론, 유클리드 기하학, 강성 이론으로부터 유도되는 결과.

Layer B — Conditional Formation Theorems

기존 Basic에 국소 Edge 활성화와 확률적 전이 규칙을 별도로 추가했을 때 성립하는 결과.

Layer B에서 사용하는 전이 규칙은 기존 Qaether Basic의 공리나 정리로 간주하지 않는다.

Part II. Qaether v2.5의 기본 구조

2.1 Primitive Data

Qaether v2.5 Basic의 독립적인 구성 자료는 다음과 같다.

$$
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,\mathcal M_O
\right)
$$

각 기호의 의미는 다음과 같다.

$$
G_Q=(V,E)
$$

는 Qaether의 단순 무방향 그래프이고,

$$
\rho:V\to\mathbb R^3
$$

는 보조적인 유클리드 기하 실현이다.

$$
\ell_Q>0
$$

는 최소 접촉·배제 거리이고,

$$
q:V\to SU(2)
$$

는 각 Vertex에 부여된 단위 쿼터니안 상태이다.

$\mathcal C_\triangle$와 $\mathcal C_\square$는 선택된 primitive 경계 순환 집합이며, $\mathcal M_T$와 $\mathcal M_O$는 각각 T-motif와 O-motif의 집합이다.

2.2 접촉·배제 조건

서로 다른 두 Vertex는 다음 조건을 만족한다.

$$
\boxed{
v\neq w
\Longrightarrow
\lVert\rho(v)-\rho(w)\rVert\geq\ell_Q
}
$$

또한 primitive Edge는 접촉 거리에서만 존재할 수 있다.

$$
\boxed{
\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
\lVert\rho(v)-\rho(w)\rVert=\ell_Q
}
$$

하지만 역은 요구되지 않는다.

$$
\lVert\rho(v)-\rho(w)\rVert=\ell_Q
\not\Longrightarrow
\{v,w\}\in E
$$

따라서 기하학적 접촉과 primitive 연결은 서로 구분된다.

2.3 O-motif 정의

O-motif의 Vertex 집합을

$$
V_O=
\{v_1^+,v_1^-,v_2^+,v_2^-,v_3^+,v_3^-\}
$$

로 정의한다.

세 opposite pair는

$$
\mathcal P_O=
\left\{
\{v_1^+,v_1^-\},
\{v_2^+,v_2^-\},
\{v_3^+,v_3^-\}
\right\}
$$

이다.

Edge 연결 규칙은

$$
\boxed{
\{v_a^\sigma,v_b^\tau\}\in E(O)
\iff a\neq b
}
$$

이다.

따라서

$$
\boxed{
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
}
$$

이며,

$$
|V_O|=6,\qquad |E(O)|=12
$$

O-motif는 세 개의 distinguished square boundary cycle과 여덟 개의 distinguished triangular boundary cycle을 갖는다.

$$
\boxed{
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle
}
$$

이들은 채워진 면이 아닌 경계 구조이다.

Part III. O-motif의 존재성과 비필연성

정리 SC-01 — 일반 연결 규칙의 비필연성

**명제**

Qaether의 접촉·배제 조건과 단순 그래프 구조만으로는 O-motif의 존재가 보장되지 않는다.

$$
\boxed{
\text{Basic graph/contact conditions}
\not\Rightarrow
\mathcal M_O\neq\varnothing
}
$$

단, O-motif의 존재를 별도로 요구하지 않는 허용 구성을 대상으로 한다.

**증명**

다음 격자 그래프를 구성한다.

$$
V=\mathbb Z^3
$$

$$
\rho(i,j,k)=\ell_Q(i,j,k)
$$

서로 다른 두 Vertex $u,v$에 대하여

$$
\{u,v\}\in E
\iff
\lVert\rho(u)-\rho(v)\rVert=\ell_Q
$$

로 정의한다.

이 그래프는 3차원 단순 입방격자 그래프이다.

모든 Vertex의 차수는 6이며, 접촉·배제 조건과 국소 유한성을 만족한다.

또한 정수 좌표의 합의 짝홀성에 따라

$$
V=V_{\mathrm{even}}\sqcup V_{\mathrm{odd}}
$$

로 분할할 수 있다.

모든 Edge는 서로 다른 짝홀 집합의 Vertex를 연결하므로 이 그래프는 이분 그래프이다.

이분 그래프에는 홀수 길이의 순환이 존재하지 않는다. 특히 삼각형이 존재하지 않는다.

반면 $K_{2,2,2}$에는 여덟 개의 삼각형이 존재한다.

따라서 이 구성에는 $K_{2,2,2}$ 부분그래프가 없다.

선택된 motif 및 cycle 집합을 해당 구조와 정합되게 지정하면 O-motif가 없는 허용 구성을 얻는다.

따라서

$$
\boxed{
\mathcal M_O=\varnothing
}
$$

인 구성이 존재한다.

그러므로 일반 연결 조건만으로 O-motif의 존재가 강제되지 않는다.

$\blacksquare$

**결론**

O-motif의 존재는 모든 허용 Vertex 연결망에 대해 필연적인 성질이 아니다.

정리 SC-02 — 3차원 O-motif의 구성적 존재정리

**명제**

임의의 $\ell_Q>0$에 대하여 Qaether의 접촉·배제 조건을 만족하는 정팔면체 O-motif의 3차원 실현이 존재한다.

**증명**

$\mathbb R^3$의 표준 직교기저를

$$
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1)
$$

로 정의한다.

여섯 Vertex를 다음 위치에 배치한다.

$$
\rho(v_a^\sigma)=\sigma\frac{\ell_Q}{\sqrt2}e_a,
\qquad
a\in\{1,2,3\},\quad \sigma\in\{-1,+1\}
$$

서로 다른 두 축에 놓인 Vertex를 선택하면 $a\neq b$이고,

$$
\begin{aligned}
\lVert\rho(v_a^\sigma)-\rho(v_b^\tau)\rVert^2
&=\frac{\ell_Q^2}{2}\lVert\sigma e_a-\tau e_b\rVert^2\\
&=\frac{\ell_Q^2}{2}(1+1)\\
&=\ell_Q^2
\end{aligned}
$$

따라서 서로 다른 opposite pair에 속한 Vertex들은 정확히 거리 $\ell_Q$에서 접촉한다.

반면 동일한 opposite pair의 거리는

$$
\begin{aligned}
\lVert\rho(v_a^+)-\rho(v_a^-)\rVert
&=\left\lVert\frac{2\ell_Q}{\sqrt2}e_a\right\rVert\\
&=\sqrt2\,\ell_Q
\end{aligned}
$$

그러므로 모든 Vertex가 최소 배제 거리를 만족한다.

이제 Edge 집합을

$$
E_O=
\left\{
\{v_a^\sigma,v_b^\tau\}
\;\middle|\;
a\neq b,\ \sigma,\tau\in\{-1,+1\}
\right\}
$$

로 정의하면

$$
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
$$

세 opposite pair 중 두 pair를 선택하는 방법은

$$
\binom32=3
$$

가지이다.

각 선택은 하나의 chordless square boundary cycle을 결정하므로

$$
|\mathcal C_\square(O)|=3
$$

또한 세 opposite pair 각각에서 하나의 Vertex를 선택하면 삼각형 하나가 결정되므로

$$
|\mathcal C_\triangle(O)|=2^3=8
$$

각 square는 서로 직교하는 좌표평면에 실현된다.

따라서

$$
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle
$$

여섯 Vertex의 위치 차이 벡터들은 $(e_1,e_2,e_3)$ 방향을 모두 생성한다.

따라서

$$
\boxed{
\dim\operatorname{aff}\rho(V_O)=3
}
$$

이 구성은 유한하므로 국소 유한성과 차수 제한을 만족하고, 단독 motif로 취급하면 다른 motif와의 내부 침투도 발생하지 않는다.

또한 모든 Vertex에 임의의

$$
q_v\in SU(2)
$$

를 부여할 수 있다.

따라서 정합적인 3차원 O-motif 실현이 존재한다.

$\blacksquare$

따름정리 SC-02.1 — O-motif의 경계 순환 구성

위 실현에서

$$
V=6,\qquad E=12,\qquad F_\triangle=8
$$

이다.

삼각형 경계들을 보조적으로 면으로 간주하여 계산하면

$$
V-E+F_\triangle=6-12+8=2
$$

이는 정팔면체 경계의 오일러 지표와 일치한다.

다만 $F_\triangle$는 Qaether의 primitive filled face를 뜻하지 않는다.

정리의 범위

본 정리는 이미 Basic에 포함된

$$
\rho:V\to\mathbb R^3
$$

를 사용한다.

따라서 3차원 기하학적 실현의 존재를 증명하지만, 그래프만으로 3차원 공간이 출현한다는 명제를 증명하지는 않는다.

Part IV. O-motif의 기하학적 강성

정리 SC-03 — 정팔면체 O-motif의 무한소 강성

**명제**

정리 SC-02의 정팔면체 실현에서 모든 Edge 길이를 고정하면 비자명한 무한소 내부 변형이 존재하지 않는다.

즉, 허용된 무한소 변형은 병진과 회전뿐이다.

$$
\boxed{
\operatorname{rank}R_O=12
}
$$

**증명**

편의상

$$
a=\frac{\ell_Q}{\sqrt2}
$$

로 정의한다.

Vertex의 위치는

$$
p_i^\pm=\pm ae_i
$$

이다.

각 Vertex에 무한소 변위 속도 $u_i^\pm$를 부여한다.

모든 Edge 길이를 일차적으로 보존하려면

$$
\boxed{
(p_i^\sigma-p_j^\tau)\cdot(u_i^\sigma-u_j^\tau)=0
}
$$

이어야 한다.

이 조건은 모든 $i\neq j$와 $\sigma,\tau\in\{+1,-1\}$에 대해 성립한다.

이제

$$
u_i^\pm=c_i\pm d_i
$$

로 분해한다. 그러면

$$
c_i=\frac{u_i^++u_i^-}{2},
\qquad
d_i=\frac{u_i^+-u_i^-}{2}
$$

이다.

거리 보존 조건에 대입하고 공통 양의 인자 $a$를 제거하면

$$
(\sigma e_i-\tau e_j)\cdot
(c_i-c_j+\sigma d_i-\tau d_j)=0
$$

전개하면

$$
\begin{aligned}
0={}&
\sigma e_i\cdot(c_i-c_j)
-\tau e_j\cdot(c_i-c_j)\\
&+e_i\cdot d_i+e_j\cdot d_j\\
&-\sigma\tau(e_i\cdot d_j+e_j\cdot d_i)
\end{aligned}
$$

이 식이 네 가지 $(\sigma,\tau)$ 조합에 대해 모두 성립하므로, 각 부호 성분의 계수는 0이다.

따라서

$$
e_i\cdot(c_i-c_j)=0,
$$

$$
e_j\cdot(c_i-c_j)=0,
$$

$$
e_i\cdot d_i+e_j\cdot d_j=0,
$$

$$
e_i\cdot d_j+e_j\cdot d_i=0
$$

를 얻는다.

첫 두 식을 모든 서로 다른 $(i,j)$에 적용하면

$$
c_1=c_2=c_3
$$

가 된다.

즉 세 opposite pair의 중심은 동일한 병진 속도 $t$를 갖는다.

이제

$$
s_i=e_i\cdot d_i
$$

로 정의한다.

세 번째 조건으로부터

$$
s_1+s_2=0,\qquad
s_1+s_3=0,\qquad
s_2+s_3=0
$$

이다.

따라서

$$
s_1=s_2=s_3=0
$$

또한 네 번째 조건은

$$
e_i\cdot d_j=-e_j\cdot d_i
$$

이다.

열벡터가 $(d_1,d_2,d_3)$인 행렬 $D$를 정의하면

$$
\boxed{
D^\mathsf T=-D
}
$$

이다.

따라서 어떤 $\omega\in\mathbb R^3$가 존재하여

$$
Dx=\omega\times x
$$

로 표현할 수 있다.

즉

$$
d_i=\omega\times e_i
$$

그러므로

$$
\begin{aligned}
u_i^\pm
&=t\pm d_i\\
&=t\pm\omega\times e_i\\
&=t+\frac1a\,\omega\times p_i^\pm
\end{aligned}
$$

따라서 모든 허용 무한소 변형은 공통 병진과 공통 회전으로 표현된다.

이는 비자명한 내부 무한소 변형이 존재하지 않음을 뜻한다.

정팔면체는 여섯 Vertex를 가지므로 총 좌표 자유도는 $3|V_O|=18$ 이다.

병진과 회전의 자유도는 각각 3개이므로

$$
\dim\ker R_O=6
$$

계수-영공간 정리에 따라

$$
\boxed{
\operatorname{rank}R_O=18-6=12
}
$$

따라서 정팔면체 O-motif는 무한소 강체이다.

$\blacksquare$

따름정리 SC-03.1 — 국소 강성

정팔면체 O-motif는 충분히 작은 범위에서 모든 Edge 길이를 정확하게 보존하는 연속적 비강체 변형을 허용하지 않는다.

이는 정칙 거리 제약 아래에서 무한소 강성이 국소 강성을 함의하는 표준 강성 이론의 결과이다.

따름정리 SC-03.2 — 제약의 독립성

정팔면체 O-motif의 Edge는 12개이고 $\operatorname{rank}R_O=12$이므로 모든 Edge 길이 제약은 일차적으로 독립이다.

주의

여기서 입증된 안정성은 기하학적 강성이다.

물리적 복원력, 에너지 최소성, 동역학적 안정성은 아직 증명되지 않았다.

Part V. 국소 기하 구조의 생성

보조정리 SC-04 — 정사각형의 양극 접촉 위치

**명제**

변의 길이가 $\ell_Q$인 정사각형의 네 Vertex 모두와 거리 $\ell_Q$를 갖는 점은 $\mathbb R^3$에서 정확히 두 개 존재한다.

**증명**

정사각형의 네 Vertex를

$$
p_1=(a,0,0),\quad p_2=(0,a,0),
$$

$$
p_3=(-a,0,0),\quad p_4=(0,-a,0)
$$

로 정의한다. 여기서

$$
a=\frac{\ell_Q}{\sqrt2}
$$

임의의 점 $x=(x_1,x_2,x_3)$가 네 Vertex 모두와 거리 $\ell_Q$에 있다고 하자.

그러면

$$
\lVert x-p_i\rVert^2=\ell_Q^2
$$

가 모든 $i\in\{1,2,3,4\}$에 대해 성립해야 한다.

첫 번째와 세 번째 방정식을 빼면 $-4ax_1=0$

따라서 $x_1=0$

두 번째와 네 번째 방정식으로부터 $x_2=0$을 얻는다.

나머지 거리 조건을 적용하면

$$
a^2+x_3^2=\ell_Q^2.
$$

따라서

$$
x_3^2=\frac{\ell_Q^2}{2}
$$

이고,

$$
x_3=\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}.
$$

결국 가능한 위치는 정확히

$$
\boxed{
p_\pm=
\left(0,0,\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}\right)
}
$$

이다.

이들 사이의 거리는

$$
\boxed{
\lVert p_+-p_-\rVert=\sqrt2\,\ell_Q
}
$$

따라서 두 점은 서로의 최소 배제 거리도 위반하지 않는다.

$\blacksquare$

해석

정사각형이라는 국소 기하 구조가 주어지면, 그 네 Vertex 모두에 접촉하는 추가 Vertex의 위치는 두 대칭 위치로 제한된다.

그러나 이 정리는 해당 위치에 실제 Vertex가 반드시 존재한다는 사실을 의미하지 않는다.

Part VI. 조건부 O-motif 생성 정리

본 Part는 기존 Basic에서 자동으로 도출되는 결과가 아니라 별도의 Edge 활성화 규칙을 가정한 확장이다.

6.1 국소 초기 구성

다음 여섯 Vertex로 구성된 유한 집합을 고려한다.

$$
W=\{v_1,v_2,v_3,v_4,u_+,u_-\}
$$

네 Vertex $v_1,v_2,v_3,v_4$는 정사각형을 형성한다.

$u_+,u_-$는 보조정리 SC-04의 양극 접촉 위치에 있다.

초기 Edge 집합은

$$
\begin{aligned}
E_0={}&
\bigl\{
\{v_1,v_2\},
\{v_2,v_3\},
\{v_3,v_4\},
\{v_4,v_1\}
\bigr\}\\
&\cup
\bigl\{
\{u_+,v_i\}\mid i\in\{1,2,3,4\}
\bigr\}
\end{aligned}
$$

따라서

$$
|E_0|=8
$$

여기서 중요한 것은 $u_-$가 이미 네 Vertex 모두와 거리 $\ell_Q$에 놓여 있으나 연결되지는 않았다는 사실이다.

이는 접촉과 primitive Edge를 구분하는 기존 Basic의 공리와 양립한다.

6.2 추가 규칙 SC-R1 — 국소 접촉 Edge 활성화

연결되지 않은 두 Vertex가 거리 $\ell_Q$에서 접촉하고, Edge 추가가 모든 기존 허용 조건과 양립한다면 해당 Edge의 활성화를 허용한다.

$$
\boxed{
E_{t+1}=E_t\cup\{\{v,w\}\}
}
$$

이 전이는 허용 가능성만을 정의한다.

Edge 활성화의 필연성이나 발생 확률은 이 규칙만으로 정해지지 않는다.

정리 SC-05 — O-motif 경계 그래프 생성

**명제**

위 초기 구성에서 $u_-$와 네 정사각형 Vertex 사이의 Edge를 모두 활성화하면, 새 유도 부분그래프는 $K_{2,2,2}$와 동형이다.

**증명**

새로 활성화되는 Edge 집합을

$$
\Delta E=
\bigl\{
\{u_-,v_i\}\mid i\in\{1,2,3,4\}
\bigr\}
$$

로 정의한다.

그러면

$$
E_1=E_0\cup\Delta E
$$

이고

$$
|E_1|=12.
$$

이제 여섯 Vertex를 다음 세 쌍으로 분할한다.

$$
\mathcal P=
\left\{
\{v_1,v_3\},
\{v_2,v_4\},
\{u_+,u_-\}
\right\}
$$

각 pair의 내부에는 Edge가 없다.

반면 서로 다른 pair에 속한 Vertex들은 모두 연결되어 있다.

따라서

$$
\boxed{
G_1[W]\cong K_{2,2,2}
}
$$

기하학적 실현 역시 Part III의 정팔면체 실현과 합동이다.

따라서 이 구성에는 세 개의 정사각형 경계와 여덟 개의 삼각형 경계를 지정할 수 있다.

$\blacksquare$

중요: Primitive O-motif와의 구분

이 정리에서 직접적으로 생성된 것은

$$
K_{2,2,2}
$$

경계 그래프이다.

Qaether v2.5 Basic의 primitive O-motif 객체는 경계 그래프 외에 distinguished cycle incidence와 motif 집합의 구성원이라는 지위를 포함한다.

따라서

$$
G_1[W]\cong K_{2,2,2}
$$

만으로

$$
O\in\mathcal M_O
$$

를 자동 결론으로 내릴 수 없다.

Primitive O-motif의 실제 등록을 원한다면 다음 전이 규칙을 별도로 도입해야 한다.

6.3 추가 규칙 SC-R2 — Motif 등록

어떤 Vertex 부분집합 $W$가 다음 조건을 모두 만족한다고 가정한다.

$$
G_Q[W]\cong K_{2,2,2},
$$

$$
|\mathcal C_\square(W)|=3,
$$

$$
|\mathcal C_\triangle(W)|=8,
$$

그리고 세 square의 기하학적 직교 조건, distinguished cycle의 incidence 조건, 전체 접촉·배제 조건 및 motif 비침투 조건이 모두 충족된다.

이때 해당 후보를 primitive O-motif 집합에 등록하는 전이를 허용한다.

$$
\mathcal M_O(t+1)=\mathcal M_O(t)\cup\{O_W\}
$$

이때 필요한 primitive cycle들도 일관되게 지정·갱신되어야 한다.

이 규칙 아래에서는 SC-05의 생성 결과를 실제 O-motif의 생성이라고 표현할 수 있다.

다만 SC-R2 역시 기존 Basic의 정적 공리가 아니라 조건부 동역학 확장이다.

Part VII. O-motif 생성 확률

7.1 추가 확률 가정 SC-R3

다음 조건을 가정한다.

- 여섯 Vertex의 기하학적 배치는 시간에 따라 변하지 않는다.
- 네 개의 미연결 접촉 Edge는 각각 독립적인 활성화 과정을 갖는다.
- 각 Edge는 매 시간 단계 활성화 확률 $p$를 갖는다.
- $0<p\leq1$이다.
- 활성화된 Edge는 제거되지 않는다.
- 모든 중간 상태는 Qaether의 허용 조건을 만족한다.
- SC-R2에 따른 motif 등록이 완성 시점에 수행된다.

정리 SC-06 — 조건부 O-motif 생성 확률

**명제**

위 가정 아래 $n$단계 이내에 O-motif가 완성될 확률은

$$
\boxed{
P_O(n)=\left[1-(1-p)^n\right]^4
}
$$

이다.

또한

$$
\boxed{
\lim_{n\to\infty}P_O(n)=1
}
$$

**증명**

미연결 접촉 Edge 하나가 특정 시간 단계에서 활성화되지 않을 확률은 $1-p$이다.

해당 Edge가 $n$단계 동안 한 번도 활성화되지 않을 확률은 $(1-p)^n$

따라서 $n$단계 이내에 적어도 한 번 활성화될 확률은 $1-(1-p)^n$

네 Edge의 활성화 과정이 독립이므로, 네 Edge가 모두 활성화될 확률은

$$
P_O(n)=\prod_{i=1}^{4}\left[1-(1-p)^n\right]
$$

따라서

$$
\boxed{
P_O(n)=\left[1-(1-p)^n\right]^4
}
$$

그리고

$$
0<p\leq1
$$

이므로

$$
\lim_{n\to\infty}(1-p)^n=0
$$

따라서

$$
\boxed{
\lim_{n\to\infty}P_O(n)=1
}
$$

$\blacksquare$

따름정리 SC-06.1 — 유한 시간 내 거의 확실한 생성

$\tau_O$를 O-motif가 완성되는 최초의 시간 단계로 정의한다.

그러면

$$
P(\tau_O\leq n)=\left[1-(1-p)^n\right]^4
$$

따라서

$$
\lim_{n\to\infty}
\left[1-P(\tau_O\leq n)\right]=0
$$

즉,

$$
\boxed{
P(\tau_O<\infty)=1
}
$$

따라서 주어진 확률 전이 모형에서는 O-motif가 거의 확실하게 유한한 시간 안에 생성된다.

이 결과는 임의의 초기 Vertex 배치에서 O-motif가 생성된다는 뜻이 아니다. 정사각형과 양극 접촉 씨앗이 주어진 제한된 구성에서 성립한다.

Part VIII. 구조적 안정성과 자연발생의 구분

8.1 기하학적 안정성

SC-03에 의해 정팔면체 O-motif는 무한소 강체이다.

$$
\operatorname{rank}R_O=12
$$

이 결론은 모든 Edge 길이가 유지되는 조건 아래의 기하학적 안정성을 뜻한다.

8.2 연결의 보존

SC-R3에서 활성화된 Edge를 제거하지 않는다고 가정하면 O-motif 완성 이후 그 경계 그래프의 Edge는 유지된다.

따라서 해당 전이 모형에서 조합적 연결 구조는 보존된다.

그러나 이것은 Edge 제거를 금지한 가정의 결과다.

8.3 동역학적 안정성의 미증명

현재까지 다음은 증명되지 않았다.

$$
\text{외부 교란}
\Longrightarrow
\text{원래 O-motif 상태로 복귀}
$$

이를 증명하려면 교란의 허용 범위와 복원 동역학을 정의해야 한다.

8.4 전체 3차원 구조의 출현

SC-02는 하나의 O-motif가 3차원 실현을 가질 수 있음을 증명한다.

하지만

$$
\exists O\text{ with 3D realization}
$$

로부터

$$
\text{macroscopic emergent 3D space}
$$

가 도출되지는 않는다.

전체 연결망의 내재적 차원, 대규모 구조의 성장 및 연속체 극한은 별도의 연구가 필요하다.

Part IX. 통합 구조 정리

정리 SC-Main — Qaether O-motif의 존재·강성·조건부 생성

Qaether v2.5 Basic의 primitive 구조와 접촉·배제 조건을 가정한다.

그러면 다음 명제들이 성립한다.

**(A) 존재성**

임의의 $\ell_Q>0$에 대하여 정합적인 3차원 정팔면체 O-motif 실현이 존재한다.

$$
\boxed{
\exists\rho_O:
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
}
$$

**(B) 기하학적 강성**

위 정팔면체 실현은 무한소 강체이다.

$$
\boxed{
\operatorname{rank}R_O=12
}
$$

**(C) 비필연성**

일반적인 Vertex 연결·접촉 조건은 O-motif의 존재를 강제하지 않는다.

$$
\boxed{
\text{Basic graph/contact conditions}
\not\Rightarrow
\mathcal M_O\neq\varnothing.
}
$$

**(D) 조건부 생성**

허용된 정사각형 및 양극 접촉 씨앗에서 네 Edge를 활성화하면

$$
\boxed{
G_1[W]\cong K_{2,2,2}
}
$$

가 성립한다.

SC-R2 등록 규칙까지 적용하면 primitive O-motif가 생성된다.

**(E) 확률적 생성**

SC-R3의 독립적인 비소멸 Edge 활성화 규칙 아래에서

$$
\boxed{
P_O(n)=\left[1-(1-p)^n\right]^4
}
$$

이며,

$$
\boxed{
P(\tau_O<\infty)=1
}
$$

따라서 O-motif의 존재성과 기하학적 강성은 정적 기하 이론 내에서 확립되며, 그 조건부 생성은 명시적으로 정의된 국소 전이 모형에서 확립된다.

$\blacksquare$

Part X. 최종 결론과 증명의 경계

10.1 확립된 결과

본 연구를 통해 다음 사실이 확립되었다.

- Qaether v2.5의 접촉·배제 규칙과 정합적인 3차원 O-motif 실현이 존재한다.
- 정팔면체 O-motif의 경계 그래프는 $K_{2,2,2}$이다.
- 정팔면체 O-motif는 12개의 독립적인 Edge 길이 제약을 가지며 무한소 강체이다.
- 일반적인 Vertex 연결 규칙만으로 O-motif의 존재가 필연적으로 보장되지는 않는다.
- 허용된 정사각형 경계에 접촉하는 양극 위치는 정확히 두 개이다.
- 주어진 국소 씨앗에서 네 Edge를 활성화하면 O-motif의 경계 그래프가 완성된다.
- 별도로 정의된 확률적 활성화 및 등록 규칙 아래에서 O-motif는 거의 확실하게 유한한 시간 안에 생성된다.

10.2 증명되지 않은 명제

본 연구는 다음을 주장하지 않는다.

- 임의의 Vertex 초기 상태에서 O-motif가 필연적으로 발생한다.
- Vertex 연결 규칙만으로 3차원 공간 자체가 도출된다.
- O-motif의 강성이 곧 물리적 입자의 안정성을 의미한다.
- O-motif의 생성 과정에서 실제 양자 스핀이나 물리적 질량이 출현한다.
- Qaether의 정적 구조만으로 확률적 전이 법칙이 결정된다.

10.3 최종 수학적 결론

$$
\boxed{
\begin{gathered}
\text{Admissible Local Contact Configuration}\\
\Downarrow\\
\text{Conditional Edge Activation}\\
\Downarrow\\
K_{2,2,2}\\
\Downarrow\\
\text{Registered O-Motif}\\
\Downarrow\\
\text{Infinitesimally Rigid 3D Realization}
\end{gathered}
}
$$

여기서 첫 번째 화살표는 별도의 전이 가정에 의존하고, O-motif 등록도 추가 규칙에 의존한다. 나머지 구조적·기하학적 결론은 해당 조건이 충족되면 수학적으로 도출된다.

따라서 본 연구에서 가장 강하게 확립된 결과는 다음과 같다.

Qaether v2.5 Basic은 기하학적으로 강체인 O-motif의 3차원 실현을 허용하며, 명시적인 국소 접촉 활성화 및 motif 등록 규칙을 추가하면 O-motif가 없는 초기 국소 구성으로부터 O-motif가 생성되는 충분조건과 그 생성 확률을 엄밀하게 도출할 수 있다.

이것은 Qaether의 3차원 구조적 배치에 관한 부분적인 수학적 정당화를 제공하지만, 일반적 자연발생 또는 공간 차원의 근본적 출현에 대한 완전한 증명은 아니다.

Pore Configuration Landscape of Granular Crystallization

Qaether Theory — Tue, 13 Oct 2026 06:56:33 +0900

ncomms15082.pdf

1.70MB

한국어 제목: 입상 물질의 결정화 과정에서 나타나는 공동 구조의 구성 양상

저자: M. Saadatfar, H. Takeuchi, V. Robins, N. Francois, Y. Hiraoka (2017)

초록

소산적(dissipative)이며 비열적(athermal)인 입자들의 집합에서 무질서–질서 전이를 지배하는 입자 규모의 메커니즘을 밝히는 것은 기술적으로도 중요한 기초적인 연구 과제이다.

지금까지 입상 물질의 결정화 연구는 주로 결정 패턴의 대칭성에 초점을 맞춰 왔으며, 불규칙한 입자 클러스터로부터 이러한 결정 패턴이 어떻게 출현하고 성장하는지는 아직 충분히 규명되지 않았다.

본 연구에서는 X선 단층촬영(X-ray tomography)과 지속 호몰로지(persistent homology)를 이용하여, 마찰이 있는 구체들의 3차원 충진 구조에서 발생하는 결정화를 개별 입자 수준에서 조사한다.

지속 호몰로지는 정적인 부분 결정화 충진 구조 내부에서 입자들의 위상적 구성(topological configurations)을 나타내는 지도를 제공한다.

수치 시뮬레이션을 통해, 완전한 결정 구조가 용융되는 과정에서도 이와 유사한 지도들이 동적으로 관측됨을 보인다.

이 지도는 완전한 결정 구조의 기본 구성 요소인 사면체형 및 정팔면체형 공동(tetrahedral and octahedral pores)의 형성 과정에 관한 새로운 정보를 담고 있다.

이러한 공동이 형성되는 네 가지 핵심 메커니즘은 결정화 과정에서 지도에 나타나는 주요 변화를 재현하며, 결정화 동역학을 대표하는 연속적인 변형 경로를 제공한다.

Qaether와 관련한 논문 해석

Saadatfar et al. (2017)은 동일 크기에 가까운 구체들의 3차원 충진 구조에서 결정화가 진행됨에 따라 사면체형(Tetrahedral) 및 정팔면체형(Octahedral) 공동의 발생 양상이 변화한다는 사실을 실험적으로 확인하였다.

특히 충진율 약 0.64 부근을 결정화의 시작에 대응하는 구조적 전이(structural transition) 영역으로 해석하였다.

논문의 Figure 5(b)와 Figure 5(c)는 다음 결과를 보여준다.

Tetrahedral cavity (T형): 연구된 충진·결정화 경로에서 충진율이 증가할수록 준정규 사면체형 공동의 발생 비율이 증가하며, 약 0.64 이후 증가 기울기가 약 두 배로 커진다.
Octahedral cavity (O형): 약 0.64 이하에서는 준정규 정팔면체형 공동이 거의 관측되지 않지만, 이 충진율을 넘어 결정화가 진행되면서 발생 비율이 급격히 증가한다.
T/O 구성비: 충진율 약 0.72 이상에서는 준정규 T/O형 공동의 개수비가 완전한 결정질 구조에서 예상되는 약 2:1에 접근한다.

여기서 Figure 5(b)의 발생 비율은 전체 검출 공동 수로 정규화한 값이며, Figure 5(c)의 구성비는 준정규 T/O 공동만을 대상으로 계산한 값이다.

따라서 이 연구는 구체 충진의 결정화 과정에서 충진율 증가와 T/O형 국소 구조의 발생 증가가 밀접하게 연관되어 있음을 보여준다.

다만 논문에서 분석한 T/O형 공동은 지속 호몰로지(Persistent Homology)를 통해 검출한 기하학적 공동이며, Qaether v2.5 Basic의 엄격한 접촉 및 연결 조건을 만족하는 T/O-motif와 완전히 동일한 개념은 아니다.

따라서 이 결과를 Qaether의 T/O-motif 발생에 대한 직접적인 증명으로 해석할 수는 없지만, 동일 크기 및 비중첩 조건을 갖는 Qaether vertex의 충진 실험에서 검증할 수 있는 강력한 선행 연구 근거로 사용할 수 있다.

■ T형 공동 비율

■ O형 공동 비율

결론

Qaether v2.5 Basic은 모든 vertex가 동일한 배제 거리 척도를 가지며, 서로 중첩될 수 없다는 조건을 포함한다. 각 vertex를 동일 크기 hard-sphere의 중심에 대응시키면 Qaether의 위치·배제 조건은 동일 구체 충진의 기하학적 조건과 일치한다.

기존 hard-sphere 연구에서는 특정 무질서 압축 프로토콜에 따라 충진율 약 0.64–0.65 부근에서 jamming이나 장시간의 압축 정체가 나타날 수 있음이 알려져 있다.

Saadatfar et al. (2017)은 이와 가까운 충진율인 약 0.64 부근에서 결정화가 시작되는 구조적 전이를 관측하였으며, 결정화가 진행됨에 따라 준정규 정팔면체형 공동의 발생률이 급격히 증가함을 보고하였다.

이러한 결과를 종합하면, Qaether의 무질서 충진 시뮬레이션에서 관측되는 0.64–0.65 부근의 locking 현상과 T/O-motif의 구조적 재편이 관련되어 있을 가능성을 제기할 수 있다.

특히 무질서 충진 상태의 T형 국소 구조가 높은 밀도에서 재배열 제약이나 기하학적 좌절과 연관되고, 이후 O형 구조 및 결정질 질서가 증가하는 경로가 존재하는지 검증할 필요가 있다.

따라서 Qaether 시뮬레이션의 주요 연구 가설은 다음과 같이 설정할 수 있다.

연구 가설: 동일 크기 및 공간 비중첩 조건을 갖는 Qaether vertex들의 무질서 충진 과정에서 충진율 약 0.64–0.65는 기계적 정체 및 구조 재편이 나타날 수 있는 중요한 구간이며, 이 구간을 넘어 결정화가 진행될 경우 O-motif 발생률과 공간 질서가 급격히 증가할 가능성이 있다.

이 가설을 검증하려면 충진율에 따른 엄격한 T/O-motif 발생률, 준정규 T/O 공동 발생률, 접촉망의 기계적 안정성 및 결정질 질서의 변화를 함께 측정해야 한다.

이러한 구조적 변화가 반복적으로 확인된다면 해당 밀도 영역을 Qaether의 후보 구조 전이 구간으로 해석할 수 있다. 다만 이를 보편적인 임계밀도 또는 엄밀한 물리적 상전이로 확립하려면 압축 프로토콜 의존성, 유한 크기 효과 및 구조 질서변수에 대한 추가 검증이 필요하다.

[v2.5] Spin(수정중): R1-Relational Spin Angular Momentum and Contact-Casimir Dynamics

Qaether Theory — Wed, 16 Sep 2026 09:07:45 +0900

R1-Relational Spin Angular Momentum and Contact-Casimir Dynamics

Status: 조건부 운동학 및 동역학 후보 모형 (formal candidate)
Foundation: Qaether v2.5 Basic
Scope: 고정된 유한 연결 graph, 특히 O-motif $K_{2,2,2}$

원칙: Basic의 원시 공간구조 변경 없음. Qaether는 입자가 아니라 공간의 기본 단위이며, 아래 스핀은 관계적 양자상태의 표현 속성이다.

0. 핵심 주장과 지위

운동학적 정리: Basic의 R1 관계구성에 Haar $L^2$ 양자화를 추가하면 vertex별 오른쪽 SU(2) 작용의 생성자가 각운동량 교환대수를 만족한다.
표현론적 정리: R1 조건에서 전체 연결 성분의 총스핀은 정수이지만, 진부분계에는 반정수 스핀 표현이 나타날 수 있다.
조건부 동역학: O-motif에 접촉쌍 집단변환 Casimir 에너지 P-D1을 추가하면, 세 selected square의 Casimir가 보존되고 첫 비자명 에너지 부문은 12개 접촉 pair singlet으로 구성된다.
미도출: P-D1의 Basic으로부터의 필연성, 생성자의 실제 물리적 각운동량으로서의 식별, 관측 장치와 Born 측정, 질량·전하·페르미온 통계·입자 수명.

위의 '정리'는 각각에 명시한 양자화 및 동역학 가정 아래에서만 성립한다.

1. Basic의 R1 관계구조

연결 성분 $S$의 각 vertex는 $q_v\in SU(2)$를 갖는다. R1 동치는

\[(q_v)_{v\in S}\sim(aq_v)_{v\in S},\quad a\in SU(2)\]

관계적 구성공간 및 상대 quaternion은

\[\mathcal Q_S=SU(2)^{|S|}/SU(2)_{\mathrm{left,diag}},\qquad h_{vw}=q_v^{-1}q_w\]

닫힌 사각 사이클 $C=(v_0,v_1,v_2,v_3)$은

$$\prod_{k=0}^3h_{v_kv_{k+1}}=1 (v_4=v_0)$$

을 만족한다. 이는 자동적인 관계 닫힘이지, 독립적인 스핀 양자수나 비자명한 holonomy가 아니다.

2. 추가 원리 Q1: 관계구성의 양자화

\[\mathcal H_S=L^2(\mathcal Q_S,d\mu)\]

$d\mu$는 정규화 Haar 측도로부터 유도된 quotient 측도다. 오른쪽 SU(2) 작용은 왼쪽 R1과 교환하므로

\[(U_v(u)\Psi)([q])=\Psi([\ldots,q_vu,\ldots])\]

로 정의되는 강연속 유니터리 표현을 준다. 구성변환 $q_v\mapsto q_vu^{-1}$의 inverse pullback convention이다. Q1은 Basic에 없는 양자화 공리다.

허수 quaternion 기저 $e_i\in\{i,j,k\}$에 대해

\[K_v^i\Psi=i\left.\frac{d}{d\theta}\Psi([\ldots,q_ve^{\theta e_i/2},\ldots])\right|_{\theta=0},\qquad S_v^i=\hbar K_v^i\]

공통 조밀 smooth core에서 $[e_i,e_j]=2\epsilon_{ijk}e_k$로부터

\[[K_v^i,K_w^j]=i\delta_{vw}\epsilon_{ijk}K_v^k,\]

\[[S_v^i,S_w^j]=i\hbar\delta_{vw}\epsilon_{ijk}S_v^k\]

가 성립한다. 자기수반 실현은 해당 one-parameter unitary group의 Stone 생성자를 사용한다. 이때 $S_v$는 관계 Hilbert 공간 위의 계산상 국소 생성자이며, 고립된 Qaether에 독립적 입자 스핀을 부여하는 주장이 아니다.

3. 부분계 스핀과 표현

부분집합 $A\subseteq S$에 대해

\[\mathbf S_A=\sum_{v\in A}\mathbf S_v,\qquad \mathbf S_A^2=\sum_i(S_A^i)^2\]

$j_A$ 기약표현 부문에서는

\[\mathbf S_A^2\Psi=\hbar^2 j_A(j_A+1)\Psi\]

전역적으로 이 고유값이 고정된다는 의미가 아니다. $\mathcal U_S(-1)=I$는 공통 왼쪽 R1과 같으므로 전체 성분의 $j_S$는 정수다. 반면 진부분계의 $\mathcal U_A(-1)$는 일반적으로 비자명하므로 반정수 $j_A$가 허용된다.

두 endpoint $r\ne w$의 관계행렬원소 $D^{1/2}(q_r^{-1}q_w)_{ab}$는 R1 불변의 최소 비자명 관계 표현을 제공한다. $A$가 두 endpoint 중 정확히 하나를 포함할 때 이 pair-mode에서 $j_A=\tfrac12$이다. 다만 '최소 표현'과 '최소 에너지 상태'는 Hamiltonian 없이 동일시하지 않는다.

물리적 스핀 식별은 별도의 원리 Q2: 위 오른쪽 SU(2) 생성자를 측정 가능한 내재적 각운동량으로 해석한다는 조건이 필요하다. 이 식별은 아직 Basic으로부터 도출되지 않았다.

4. O-motif 및 selected square

\[V_O=\{x^+,x^-,y^+,y^-,z^+,z^-\},\qquad G_O\simeq K_{2,2,2}\]

대향쌍 $P_a=\{a^+,a^-\}$, 선택된 square $C_a=V_O\setminus P_a$를 둔다. 각 vertex는 두 square에 속하고 모든 접촉 edge는 서로 다른 대향쌍 사이에 있다. 각 square에는 4개 내부 접촉 edge와 8개 경계 교차 접촉 edge가 있다.

\[\mathbf T_a=\sum_{v\in P_a}\mathbf K_v,\qquad \mathbf K_O=\mathbf T_x+\mathbf T_y+\mathbf T_z,\qquad \mathbf S_{C_a}=\hbar(\mathbf K_O-\mathbf T_a)\]

중심 parity $Z_{C_a}=U_{C_a}(-1)$는 서로 교환하고

\[Z_{C_x}Z_{C_y}Z_{C_z}=I\]

따라서 세 square가 동시에 모두 반정수 parity를 갖는 확정 상태는 없다. 그러나 서로 다른 square Casimir들은 일반적으로 상호 비가환한다.

5. 비교 대상 동역학과 미결정성

기본 조건 R1 불변, 전체 오른쪽 SU(2) 대칭, 접촉 국소성만으로 동역학은 유일하게 결정되지 않는다. 예를 들어 다음 모두 허용 가능한 후보들이다.

\[H_{\mathrm{scalar}}=\kappa\sum_v\mathbf K_v^2-\lambda\sum_{\{v,w\}\in E_O}2\operatorname{Re}(q_v^{-1}q_w),\]

\[H_{\mathrm{ex}}=\kappa\sum_v\mathbf K_v^2+g\sum_{\{v,w\}\in E_O}\mathbf K_v\cdot\mathbf K_w\]

첫 모형은 일반적으로 $[H_{\mathrm{scalar}},\mathbf S_{C_a}^2]\ne0$이고 둘째의 균일 결합 모형은 모든 $a$에 대해 0이다. 생성자 결합이 Basic의 필연적 결과라고 주장하지 않는다.

6. 후보 동역학 원리 P-D1: 접촉 집단변환 Casimir

P-D1 (추가 물리 공리, 아직 미도출). 직접 접촉한 두 Qaether의 결합 에너지는 두 vertex에 공통으로 작용하는 오른쪽 SU(2) 생성자의 총 Casimir에 양의 계수로 비례한다.

\[H_{\mathrm{contact}}=\beta\sum_{\{v,w\}\in E_O}(\mathbf K_v+\mathbf K_w)^2,\qquad \beta>0\]

$G_O$의 각 vertex는 차수 4이므로

\[H_{\mathrm{contact}}=4\beta\sum_v\mathbf K_v^2+2\beta\sum_{\{v,w\}\in E_O}\mathbf K_v\cdot\mathbf K_w\]

따라서 $H_{\mathrm{ex}}$의 계수와 비교하면 $\kappa=4\beta,\ g=2\beta$이다. $g/\kappa=\tfrac12$는 P-D1 및 추가적인 독립 항이 없다는 조건 아래에서만 결정된다.

접촉 edge 합을 대향쌍 변수로 묶으면

\[H_{\mathrm{contact}}=4\beta\sum_v\mathbf K_v^2+\beta\left(\mathbf K_O^2-\mathbf T_x^2-\mathbf T_y^2-\mathbf T_z^2\right)\]

이는 양의 이차형식이며 유한 연결 graph의 매끄러운 콤팩트 관계구성공간에서 자연스러운 자기수반 실현을 갖는다. $\Psi_0=1$이 유일한 에너지 0 바닥상태다.

7. 정확한 보존법칙

각 vertex별 $\mathbf K_v^2$, 대향쌍의 $\mathbf T_a^2$, 전체 $\mathbf K_O^2$가 위 Hamiltonian과 교환한다. 또한 $\mathbf K_{C_a}=\mathbf K_O-\mathbf T_a$이므로

\[[H_{\mathrm{contact}},\mathbf S_{C_a}^2]=0\quad(a=x,y,z)\]

이는 모든 세 square의 Casimir spectral 부문이 각각 보존된다는 뜻이다. 단, 세 Casimir가 상호 가환한다는 의미는 아니다. 전역적 SU(2) 총스핀 $\mathbf J_O=\hbar\mathbf K_O$ 역시 보존된다.

8. 정확한 에너지와 첫 들뜸

각 vertex의 SU(2) 표현 라벨 $j_v$, 대향쌍 결합 양자수 $t_a$, 전체 spin $J$에 대해, 실제 R1-invariant intertwiner가 존재하는 부문에서

\[E=4\beta\sum_vj_v(j_v+1)+\beta\left[J(J+1)-\sum_at_a(t_a+1)\right]\]

두 endpoint만 $j=\tfrac12$인 첫 관계모드 60차원의 정확한 분리는 다음과 같다.

관계 pair	전체 $J$	에너지	차원
접촉 pair singlet	0	$\tfrac92\beta$	12
비접촉 대향 pair singlet 및 triplet	0, 1	$6\beta$	12
접촉 pair triplet	1	$\tfrac{13}{2}\beta$	36

첫 관계모드 이외의 비진공 R1-invariant 표현부문은 $\sum_vj_v(j_v+1)\ge3$을 만족한다. $K_{2,2,2}$의 인접행렬 최소 고유값이 $-2$이므로 $H_{\mathrm{contact}}\ge2\beta\sum_v\mathbf K_v^2$이며, 이들 부문의 에너지는 $6\beta$ 이상이다. 따라서

\[\Delta=\tfrac92\beta,\qquad \dim\mathcal H_{\Delta}=12\]

가 전체 스펙트럼의 정확한 gap 및 첫 들뜸 차원이다.

9. 접촉 singlet의 부분계 스핀

접촉 pair $\{x^+,y^+\}$의 normalized character $\chi_{x^+y^+}=2\operatorname{Re}(q_{x^+}^{-1}q_{y^+})$를 예로 들면

\[J_O=0,\qquad(j_{C_x},j_{C_y},j_{C_z})=\left(\tfrac12,\tfrac12,0\right)\]

12개 첫 들뜸은 각각 다음 세 패턴 중 하나를 갖는다.

접촉 pair 구분	$(j_{C_x},j_{C_y},j_{C_z})$	독립 상태 수
$P_x-P_y$	$(\tfrac12,\tfrac12,0)$	4
$P_y-P_z$	$(0,\tfrac12,\tfrac12)$	4
$P_z-P_x$	$(\tfrac12,0,\tfrac12)$	4

따라서 접촉 singlet 관계 들뜸은 전체 spin 0과 두 square의 spin-$\tfrac12$을 동시에 실현한다. 이들은 $H_{\mathrm{contact}}$의 정확한 고유상태이며 해당 Hamiltonian 아래에서 부분계 Casimir가 보존된다. 이것이 안정적인 독립 입자의 수명 또는 모든 상호작용 아래의 스핀 보존을 뜻하지는 않는다.

10. 교란과 보존법칙의 적용 범위

보다 일반적인 접촉 상호작용, 예를 들어

\[H'=H_{\mathrm{contact}}-\lambda\sum_{\{v,w\}\in E_O}\chi_{vw},\qquad\lambda\ne0,\]

에서는 일반적으로 $[H',\mathbf S_{C_a}^2]\ne0$이고 $[H',Z_{C_a}]\ne0$이다. 따라서 위의 보존은 P-D1 Hamiltonian 계열에 의존하는 보존이지 Basic의 보편적 법칙이 아니다.

접촉 생성자 이차형 모형 $H_G=\kappa\sum_v\mathbf K_v^2+\sum_{\{v,w\}\in E_O}g_{vw}\mathbf K_v\cdot\mathbf K_w$로 한정하면, 특정 $C_x$의 Casimir가 보존되기 위해 각 외부 vertex $x^+$, $x^-$가 $C_x$의 네 vertex에 각각 균일하게 결합하는 것이 필요충분하다. 세 square의 Casimir 모두 보존하려면 모든 접촉 계수 $g_{vw}$가 동일해야 한다. 이 분류는 상수 계수를 갖는 등방적 이차 생성자 결합 계열에만 적용된다.

이 계열에서 각 $j_v$가 보존되므로 고정된 두-endpoint 최소 관계모드의 spin pattern은 edge별 계수가 불균일해져도 보존될 수 있다. 그러나 이것을 임의의 scalar potential이나 일반 상호작용에 확대할 수 없다.

11. 반대 부호 모형과 공리의 독립성

\[H_{\mathrm{diff}}=\beta\sum_{\{v,w\}\in E_O}(\mathbf K_v-\mathbf K_w)^2\]

역시 양의, R1 불변, 전체 SU(2) 대칭, 접촉 국소적인 후보로서 접촉 singlet 대신 triplet을 에너지적으로 선호한다. 그러므로 Basic의 접촉 및 대칭성만으로 P-D1의 부호·에너지 선호를 고를 수 없다. 집단적 변환에 에너지를 부여해야 하는 물리적 이유는 별도 연구가 필요하다.

12. 엄밀한 성과와 미해결 과제

확보된 성과

Q1 하에서 R1 불변 SU(2) 각운동량 생성자와 비가환 대수 구성.
전체 연결 성분의 정수 spin 제약과 진부분계 반정수 spin의 허용.
P-D1 하에서 정확한 self-adjoint 비음수 접촉 Hamiltonian 구성.
O-motif의 세 square Casimir의 개별 보존.
정확한 spectral gap $\tfrac92\beta$, 첫 들뜸 12개 접촉 singlet.
각 접촉 singlet의 두 square spin-$\tfrac12$ 및 나머지 한 square spin-0의 동시 고유값 구조.

독립적으로 남는 과제

P-D1 도출: Basic의 접촉관계만으로 왜 공통 SU(2) 변환의 양의 Casimir를 에너지 비용으로 삼아야 하는가?
Q2 검증: 내부 SU(2) 생성자가 실험 가능한 물리적 스핀 각운동량과 어떤 방식으로 대응하는가?
일반 상호작용: 허용 가능한 scalar potential 및 외부 공간 결합에서도 보존이 근사적 또는 구조적으로 유지되는가?
상태 선택·관측: 실제 공간상태에서 특정 pair/부분계 표현이 준비·측정되는 메커니즘과 Born 통계의 해석은 무엇인가?
입자성: 안정적인 입자, 질량, 통계 및 외부 검출까지 도출할 수 있는가?

13. 최종 판정

\[\boxed{\text{Basic}+\mathrm{Q1}+\mathrm{P\!\!\! -\! D1}\Longrightarrow \text{O-motif의 보존되는 반정수 부분계 스핀과 정확한 저에너지 스펙트럼}}\]

이는 조건부 수학적 정리다. 실제 물리적 spin으로 해석하려면 Q2 및 관측 연결이 필요하며 P-D1은 Basic의 필연적 결과가 아니다. 기본 Qaether 공간의 정의는 변경하지 않는다.

[v2.5] Curvature Part: Boundary-Motif Reference-Residual Curvature and Hybrid Relaxation Layer

Qaether Theory — Mon, 31 Aug 2026 22:01:34 +0900

Boundary-Motif Reference-Residual Curvature and Hybrid Relaxation Layer

0. 지위

Qaether v2.5-curvature은 공식 Qaether v2.5 static boundary-graph foundation 위에 추가되는 boundary-motif reference-residual action and hybrid relaxation layer 이다.

v2.5-curvature은 v2.5의 primitive ontology를 변경하지 않는다.

공식 core의 independent primitive mathematical data는 그대로

$$
\mathcal D_{\mathrm{prim}}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
$$

이다.

full displayed core configuration은

$$
\mathcal Q_{2.5}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
$$

이며 $ \operatorname{Or}(\mathcal C_\square), \pi_\square$는 여전히 $\mathcal C_\square$에 의해 canonical하게 결정되는 derived components이다.

v2.5-curvature은 이를 independent degrees of freedom로 승격시키지 않는다.

존재론 역시 그대로이다.

$$
\text{Qaether}=\text{vertex}
$$

$$
\text{primitive bond}=\text{edge}
$$

$$
C_\triangle,C_\square\neq\text{filled faces}
$$

$$
T,O\neq\text{filled 3-cells}
$$

따라서 v2.5-curvature에서 'curvature'라는 용어는 continuum GR curvature, Regge deficit curvature, 또는 independent $SU(2)$ connection curvature를 뜻하지 않는다.

정확한 의미는

$$
\text{Euclidean }T/O\text{ reference-incidence residual}
$$

이다.

1. Logical firewall

v2.5-curvature에서는 다음 네 층을 엄격하게 구분한다.

$$
\text{v2.5 primitive core data}
$$

$$
\text{v2.5 core-derived propositions}
$$

$$
\text{v2.5-curvature selected action/dynamical data}
$$

$$
\text{v2.5-curvature derived observables and evolution rules}
$$

특히 $\mathcal M_T,\mathcal M_O$는 여전히 v2.5 primitive selected motif families이다.

이들은 단순히 $(V,E,\rho)$에서 자동 검출되는 모든 regular $T/O$ pattern의 집합과 동일하다고 가정하지 않는다.

따라서

$$
\text{primitive motif}
\neq
\text{arbitrary detected geometric motif pattern}
$$

이 구분은 v2.5-curvature 전체에서 유지된다.

2. Admissible Qaether state space

v2.5의 모든 core axiom과 definition을 만족하는 configuration들의 집합을

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

이라 한다.

즉

$$
\mathcal Q\in\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

이라는 것은 적어도 다음을 모두 만족한다는 뜻이다.

simple graph condition,
injective auxiliary realization,
contact/exclusion condition,
primitive triangular-cycle conditions,
primitive square-cycle conditions,
$T/O$ primitive motif definitions,
square $O$-sector condition,
bond-support conditions,
free-standing triangle permission,
motif overlap/non-interpenetration condition,
canonical construction of $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$ and $\pi_\square$,
vertex-induced flat $SU(2)$ relative-phase structure

v2.5-curvature의 physical hard states는 항상

$$
\mathcal Q\in\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

에 속한다.

3. Primitive motif incidence counts

v2.5 core에서 각 primitive edge

$$
e\in E
$$

에 대하여 이미 정의된 motif-incidence multiplicities를 그대로 사용한다.

$$
N_T(e)
=
\#\{T\in\mathcal M_T:e\in E(T)\}
$$

$$
N_O(e)
=
\#\{O\in\mathcal M_O:e\in E(O)\}
$$

이들은 nonnegative integer이다.

$$
N_T(e),N_O(e)\in\mathbb Z_{\ge0}
$$

v2.5의 local finiteness와 finite graph degree에 의해 각 edge 주위의 가능한 primitive motif incidence는 유한하므로

$$
N_T(e)<\infty,
\qquad
N_O(e)<\infty
$$

v2.5-curvature의 기본 hard curvature residual은 이 core-defined counts 위에 정의된다.

4. Evaluation support

v2.5-curvature은 모든 possible vertex pair에 curvature residual을 자동으로 부여하지 않는다.

c-layer의 selected evaluation support를

$$
\Lambda_2^c\subseteq\binom V2
$$

로 둔다.

이는 c-layer의 selected indexing data이다.

$$
\Lambda_2^c
\text{ is not a primitive bond family}
$$

현재 configuration $\mathcal Q$에서 실제 curvature evaluation을 받는 realized edge support는

$$
\Lambda_E^c(\mathcal Q)
=
\Lambda_2^c\cap E
$$

따라서

$$
e\in\Lambda_E^c
\Longrightarrow
e\in E
$$

이고, reference dihedral residual은 오직 실제 primitive edge 위에 정의된다.

이것은 $2T+2O$ reference theorem 자체가 edge-around-incidence theorem이라는 사실을 보존한다.

5. Potential pair-slot의 지위

$$
p\in\Lambda_2^c\setminus E
$$

인 경우 $p$는 선택된 evaluation/potential slot일 수 있지만 primitive bond가 아니다.

따라서 non-edge pair에

$$
2\pi
$$

를 직접 ``curvature residual''이라고 부르지 않는다.

대신 필요한 경우 별도의 vacancy observable을 둔다.

$$
\chi_E(p)
=
\begin{cases}
1,&p\in E,\\
0,&p\notin E
\end{cases}
$$

potential-slot penalty는

$$
S_{\mathrm{slot}}
=
\lambda_{\mathrm{slot}}
\sum_{p\in\Lambda_2^c}
(1-\chi_E(p))
$$

로 정의한다.

여기서

$$
\lambda_{\mathrm{slot}}\ge0
$$

이 항은 선택적이다.

$$
\lambda_{\mathrm{slot}}=0
$$

이면 non-edge pair-slot은 action에 아무 contribution도 하지 않는다.

기존의 ``non-edge slot $=2\pi$-defect'' convention을 수치적으로 재현하고 싶다면

$$
\lambda_{\mathrm{slot}}
=
\lambda_{TO}(2\pi)^2
$$

를 선택할 수 있다.

그러나 그 경우에도 의미론적으로는

$$
\text{vacant selected-slot penalty}
$$

이지 Euclidean edge-dihedral curvature가 아니다.

6. Euclidean T/O reference angles

v2.5 Part III의 external Euclidean reference complex에서 regular tetrahedron과 regular octahedron의 relevant dihedral angles를

$$
\alpha_T
=
\arccos\left(\frac13\right)
$$

$$
\alpha_O
=
\arccos\left(-\frac13\right)
$$

로 둔다.

따라서

$$
\alpha_O=\pi-\alpha_T
$$

이는 Qaether ontology에 filled tetrahedron이나 filled octahedron을 도입하는 것이 아니다.

$$
\alpha_T,\alpha_O
=
\text{external Euclidean reference data}
$$

7. Irrationality lemma

$$
\frac{\alpha_T}{\pi}\notin\mathbb Q
$$

Proof

반대로

$$
\frac{\alpha_T}{\pi}\in\mathbb Q
$$

라고 하자.

그러면

$$
e^{i\alpha_T}
$$

는 root of unity이고 따라서

$$
2\cos\alpha_T
=
e^{i\alpha_T}+e^{-i\alpha_T}
$$

는 algebraic integer이다.

하지만

$$
\cos\alpha_T=\frac13
$$

이므로

$$
2\cos\alpha_T=\frac23
$$

유리수 algebraic integer는 정수여야 하나

$$
\frac23\notin\mathbb Z
$$

모순이다.

따라서

$$
\alpha_T/\pi\notin\mathbb Q
$$

8. T-only closure obstruction

임의의

$$
m\in\mathbb Z_{\ge1}
$$

에 대해

$$
m\alpha_T\neq2\pi
$$

실제로

$$
m\alpha_T=2\pi
$$

라면

$$
\frac{\alpha_T}{\pi}
=
\frac2m
\in\mathbb Q
$$

가 되어 irrationality lemma와 모순된다.

따라서 finite integer $T$-incidence만으로 exact Euclidean $2\pi$ closure를 만들 수 없다.

9. Mixed T/O reference closure

$$
\alpha_O=\pi-\alpha_T
$$

이므로

$$
2\alpha_T+2\alpha_O
=
2\pi
$$

따라서 external Euclidean reference model에서 ideal mixed edge incidence는

$$
2T+2O.
$$

이것은 Qaether primitive ontology의 전역 공리가 아니다.

정확한 지위는

$$
\text{selected Euclidean edge-reference criterion}
$$

10. Hard signed residual

각 evaluated primitive edge

$$
e\in\Lambda_E^c(\mathcal Q)
$$

에 대해 signed $T/O$ reference residual을

$$
\Omega_e^{TO}
=
2\pi-
\left(
N_T(e)\alpha_T+
N_O(e)\alpha_O
\right)
$$

로 정의한다.

그 magnitude는

$$
D_e^{TO}=|\Omega_e^{TO}|
$$

T-only baseline residual은

$$
\Omega_e^T
=
2\pi-N_T(e)\alpha_T
$$

이고

$$
D_e^T=|\Omega_e^T|
$$

11. Hard zero-residual theorem

모든

$$
e\in E
$$

에 대해

$$
\Omega_e^{TO}=0
\iff
\left(
N_T(e),N_O(e)
\right)
=
(2,2)
$$

Proof

$$
\Omega_e^{TO}=0
$$

이면

$$
N_T(e)\alpha_T + N_O(e)\alpha_O = 2\pi
$$

$$
\alpha_O=\pi-\alpha_T
$$

를 사용하면

$$
\left(N_T(e)-N_O(e)\right)\alpha_T=
\left(2-N_O(e)\right)\pi
$$

따라서

$$
\left(
N_T(e)-N_O(e)
\right)
\frac{\alpha_T}{\pi}
=
2-N_O(e)
$$

양변의 integer coefficients와

$$
\alpha_T/\pi\notin\mathbb Q
$$

를 고려하면 가능한 경우는

$$
N_T(e)-N_O(e)=0
$$

및

$$
2-N_O(e)=0
$$

뿐이다.

따라서

$$
N_T(e)=N_O(e)=2.
$$

역방향은

$$
2\alpha_T+2\alpha_O=2\pi
$$

에서 즉시 성립한다.

그러므로

$$
\Omega_e^{TO}=0
\iff
(N_T(e),N_O(e))=(2,2)
$$

12. O-sector baseline relief observable

$O$-sector incidence가 T-only reference residual과 비교하여 residual magnitude를 얼마나 변화시키는지를

$$
B_e^O
=
D_e^T-D_e^{TO}
$$

로 정의한다.

$$
B_e^O>0
$$

이면 mixed $T/O$ residual이 T-only residual보다 작다.

$$
B_e^O<0
$$

이면 mixed residual이 더 크다.

그러나

$$
B_e^O
\text{ is not a force and not an attraction law.}
$$

이는 reference-residual relief observable일 뿐이다.

13. Coverage observable

evaluated primitive edge에 대해

$$
\chi_{TO}(e)
=
\begin{cases}
1,
&
N_T(e)+N_O(e)>0,
\\
0,
&
N_T(e)+N_O(e)=0
\end{cases}
$$

로 둔다.

선택적인 coverage penalty는

$$
S_{\mathrm{cov}}
=
\lambda_{\mathrm{cov}}
\sum_{e\in\Lambda_E^c}
\left(
1-\chi_{TO}(e)
\right)
$$

이다.

$$
\lambda_{\mathrm{cov}}\ge0
$$

이는 zero-incidence edge에 대한 추가 penalty이지 $2T+2O$ theorem의 일부가 아니다.

14. Global hard reference action

합이 유한하거나 수렴하는 경우

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q]
=
\lambda_{TO}
\sum_{e\in\Lambda_E^c(\mathcal Q)}
\left(
\Omega_e^{TO}
\right)^2
$$

로 정의한다.

여기서

$$
\lambda_{TO}>0
$$

기본 hard c-action은

$$
S_c^{\mathrm{hard}}
=
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}} + S_{\mathrm{slot}} + S_{\mathrm{ord}}
$$

형태를 가진다.

$S_{\mathrm{ord}}$는 선택적 ordering sector이며 뒤에서 정의한다.

각 선택적 항을 사용하지 않으면 해당 coupling을 $0$으로 둔다.

15. Hard zero-action condition

ordering과 slot penalty를 제외한

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}}
$$

에 대해

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}} =0
$$

이면 모든 evaluated edge에 대해

$$
N_T(e)=N_O(e)=2
$$

반대로 모든 evaluated edge가 $2T+2O$이면 두 항은 모두 $0$이다.

따라서

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}}
=0
\iff
\forall e\in\Lambda_E^c,
\quad
(N_T(e),N_O(e))=(2,2)
$$

단, evaluation edge set이 empty이면 이 명제는 vacuous하다.

16. Optional cyclic-order sector

angle residual은 $TOTO$와 $TTOO$를 구별하지 않는다.

두 경우 모두

$$
N_T(e)=N_O(e)=2
$$

이면

$$
\Omega_e^{TO}=0
$$

따라서 ordering cost는 Euclidean closure residual과 독립된 선택적 sector로 둔다.

cyclic order가 정의되어 있는 edge들의 subset을

$$
E_{\mathrm{ord}}\subseteq E
$$

라 하고

$$
\operatorname{cyc}_e
$$

를 그 edge 주변의 primitive $T/O$-motif cyclic word라 하자.

cyclic order는 auxiliary geometric arrangement에서 유일하게 결정될 수 있거나, 별도의 c-layer structural input으로 지정될 수 있다.

이는 edge에 path degree of freedom를 부여하는 것이 아니다.

$2T+2O$ edge에 대해

$$
D_e^{\mathrm{ord}}
=
\begin{cases}
0,
&
\operatorname{cyc}_e=\mathrm{TOTO},
\\[4pt]
\mu_{\mathrm{TTOO}},
&
\operatorname{cyc}_e=\mathrm{TTOO},
\\[4pt]
\mu_{\mathrm{bad}},
&
\text{otherwise}
\end{cases}
$$

로 둘 수 있다.

여기서

$$
0<
\mu_{\mathrm{TTOO}}
<
\mu_{\mathrm{bad}}
$$

ordering action은

$$
S_{\mathrm{ord}}
=
\lambda_{\mathrm{ord}}
\sum_{e\in
E_{\mathrm{ord}}\cap\Lambda_E^c}
D_e^{\mathrm{ord}}
$$

이다.

$$
\lambda_{\mathrm{ord}}\ge0
$$

중요하게도

$$
TTOO
\text{ is not a Euclidean closure defect.}
$$

따라서

$$
\mu_{\mathrm{TTOO}}>0
$$

는 오직

$$
\text{model-selected preference for alternating TOTO order}
$$

를 의미한다.

17. Exact detected diagnostic motifs

primitive motif와 별도로 exact geometric pattern detector를 정의할 수 있다.

이는 **diagnostic derived family**이며 primitive ontology가 아니다.

17.1 Detected T-pattern

$$
A\subset V,
\qquad |A|=4
$$

가 다음을 만족하면 exact detected T-pattern이라 한다.

$$
G_Q[A]\cong K_4
$$

및

$$
\dim\operatorname{aff}\rho(A)=3
$$

core contact axiom 때문에 모든 six pair distance는 자동으로

$$
\ell_Q
$$

이다.

따라서 $A$는 regular tetrahedral boundary pattern을 이룬다.

이들의 family를

$$
\widehat{\mathcal M}_T
$$

라 한다.

17.2 Detected O-pattern

$$
B\subset V,
\qquad |B|=6
$$

에 대해

$$
G_Q[B]\cong K_{2,2,2}
$$

이고 complement graph가 주는 unique perfect matching

$$
P_B
$$

에 대해 labeling

$$
P_B
=
\{
\{x_1^+,x_1^-\},
\{x_2^+,x_2^-\},
\{x_3^+,x_3^-\}
\}
$$

을 잡을 수 있으며,

어떤

$$
c\in\mathbb R^3
$$

와 orthonormal frame

$$
(u_1,u_2,u_3)
$$

가 존재하여

$$
\rho(x_i^\pm)
=
c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}u_i
$$

이면 exact detected O-pattern이라 한다.

그 family를

$$
\widehat{\mathcal M}_O
$$

라 한다.

18. Primitive-versus-detected theorem

모든 primitive $T/O$ motif는 해당 exact pattern detector의 조건을 만족한다.

따라서

$$
\mathcal M_T
\subseteq
\widehat{\mathcal M}_T
$$

$$
\mathcal M_O
\subseteq
\widehat{\mathcal M}_O
$$

그러나 역은 일반적으로 자동으로 성립하지 않는다.

$$
\widehat{\mathcal M}_T
\not\subseteq
\mathcal M_T
$$

또는

$$
\widehat{\mathcal M}_O
\not\subseteq
\mathcal M_O
$$

일 수 있다.

그 이유는 v2.5에서 primitive motif family 자체가 selected primitive data이기 때문이다.

따라서

$$
\mathcal M_T=\widehat{\mathcal M}_T,
\qquad
\mathcal M_O=\widehat{\mathcal M}_O
$$

를 요구하는 것은

$$
\text{motif-selection completeness model choice}
$$

이지 v2.5에서 자동 유도되는 theorem이 아니다.

v2.5-curvature의 기본 hard action은

$$
\mathcal M_T,\mathcal M_O
$$

의 primitive incidence를 사용한다.

$\widehat{\mathcal M}_{T/O}$는 diagnostic 또는 proposal-generation 용도로만 사용한다.

19. Detected boundary supports의 지위

detected $T/O$ pattern에서 regular tetrahedral 또는 octahedral combinatorics에 따라 triangular/square cycle supports를 derived하게 작성할 수 있다.

그러나 $\widehat C_\triangle$가 존재한다고 해서 자동으로

$$
\widehat C_\triangle\in\mathcal C_\triangle
$$

인 것은 아니다.

마찬가지로 $\widehat C_\square$가 regular square support라고 해서 자동으로

$$
\widehat C_\square\in\mathcal C_\square
$$

인 것은 아니다.

따라서

$$
\text{derived cycle support}
\neq
\text{selected primitive boundary cycle}
$$

이 구분은 primitive/detected motif 구분과 동일한 firewall을 따른다.

20. Local hard action

compact region

$$
\Lambda\Subset\mathbb R^3
$$

를 잡는다.

buffer radius $r_{\mathrm{buf}}$에 대해

$$
\Lambda^+
=
\{
x\in\mathbb R^3:
\operatorname{dist}(x,\Lambda)
\le r_{\mathrm{buf}}
\}
$$

로 둔다.

v2.5의 geometric local finiteness에 의해

$$
V^\Lambda
=
\{v\in V:\rho(v)\in\Lambda^+\}
$$

는 finite이다.

$$
|V^\Lambda|<\infty
$$

21. Exact T/O buffer bound

primitive $T$-motif에서 모든 motif vertex 사이의 거리는 $\ell_Q$이다.

primitive $O$-motif에서 가능한 최대 vertex distance는 opposite-pair distance $\sqrt2\,\ell_Q$이다.

따라서 evaluated edge

$$
e=\{v,w\}
$$

의 한 endpoint가 $\Lambda$에 있고 $e$를 포함하는 primitive $T/O$ motif가 존재하면, 그 motif의 모든 vertex는 그 endpoint로부터 거리 $\le\sqrt2\,\ell_Q$에 있다.

그러므로 exact hard local counting을 위해 충분한 기본 buffer 조건은

$$
r_{\mathrm{buf}}
\ge
\sqrt2\,\ell_Q
$$

이다.

이 조건 아래에서는 $\Lambda$에 endpoint를 가지는 edge 주변의 모든 incident primitive $T/O$ motif를 $\Lambda^+$ 안에서 완전히 회수할 수 있다.

22. Local evaluation domains

local selected pair support를

$$
\Lambda_{2,+}^c(\Lambda)
=
\left\{
\{v,w\}\in\Lambda_2^c:
v,w\in V^\Lambda,
\;
\rho(v)\in\Lambda
\text{ or }
\rho(w)\in\Lambda
\right\}
$$

로 둔다.

realized local evaluation edges는

$$
\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)
=
\Lambda_{2,+}^c(\Lambda)\cap E
$$

$V^\Lambda$가 finite이므로

$$
|\Lambda_{2,+}^c(\Lambda)|<\infty
\qquad \text{및} \qquad
|\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)|<\infty
$$

23. Local hard c-action

local reference action은

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\Lambda,\mathrm{hard}}
=
\lambda_{TO}
\sum_{e\in\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)}
(\Omega_e^{TO})^2
$$

local coverage penalty는

$$
S_{\mathrm{cov}}^\Lambda
=
\lambda_{\mathrm{cov}}
\sum_{e\in\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)}
(1-\chi_{TO}(e))
$$

local slot penalty는

$$
S_{\mathrm{slot}}^\Lambda
=
\lambda_{\mathrm{slot}}
\sum_{p\in\Lambda_{2,+}^c(\Lambda)}
(1-\chi_E(p))
$$

ordering sector를 사용하는 경우

$$
S_{\mathrm{ord}}^\Lambda
=
\lambda_{\mathrm{ord}}
\sum_{
e\in
E_{\mathrm{ord}}
\cap
\Lambda_{E,+}^c(\Lambda)
}
D_e^{\mathrm{ord}}
$$

따라서

$$
S_c^{\Lambda,\mathrm{hard}}
=
S_{\mathrm{ref}}^{\Lambda,\mathrm{hard}} + S_{\mathrm{cov}}^\Lambda + S_{\mathrm{slot}}^\Lambda + S_{\mathrm{ord}}^\Lambda
$$

이는 항상 finite이다.

24. Infinite bulk and action density

무한 configuration에서 global sum이 발산할 수 있으므로 total action을 자동으로 가정하지 않는다.

compact exhaustion

$$
\Lambda_R\nearrow\mathbb R^3
$$

를 택한다.

경계 효과를 억제하기 위해 van Hove type condition

$$
\frac{
|\partial_{r_{\mathrm{buf}}}\Lambda_R|
}{
|\Lambda_R|
}
\to0
$$

을 요구할 수 있다.

selected local pair count가 eventually nonzero이고 limit가 존재할 때

$$
s_c
=
\lim_{R\to\infty}
\frac{
S_c^{\Lambda_R,\mathrm{hard}}
}{
|\Lambda_{2,+}^c(\Lambda_R)|
}
$$

를 per-selected-slot action density라 한다.

이는 total action이 아니다.

$$
s_c
=
\text{action-density observable}.
$$

limit의 존재는 별도의 theorem 또는 model condition이며 자동으로 가정하지 않는다.

25. Hard admissible dynamics

hard physical dynamics는 오직

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

안에서 움직인다.

따라서 hard proposal은

$$
m^{\mathrm{prop}}:
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
\longrightarrow
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

이어야 한다.

보다 일반적으로 proposal kernel은

$$
q_{\mathrm{prop}}
(
\mathcal Q,d\mathcal Q'
)
$$

이며 support가

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

안에 있어야 한다.

invalid v2.5 core configuration은 physical hard proposal로 인정하지 않는다.

26. Core-preserving and core-reselection proposals

hard proposals는 두 종류로 구현할 수 있다.

26.1 Core-preserving constrained proposal

$$
E,\mathcal C_\triangle,\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,\mathcal M_O
$$

등의 primitive incidence를 고정한 채 $\rho$ 또는 $q$를 변경할 수 있다.

단 결과는 반드시 모든 exact v2.5 axioms를 다시 만족해야 한다.

특히

$$
e=\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
|\rho'(v)-\rho'(w)|=\ell_Q
$$

$$
v\neq w
\Longrightarrow
|\rho'(v)-\rho'(w)|\ge\ell_Q
$$

뿐 아니라 primitive cycle geometry, primitive motif geometry, square $O$-sector, bond support, motif non-interpenetration도 모두 유지되어야 한다.

26.2 Core-reselection proposal

다음 primitive data를 함께 변경할 수 있다.

$$
(E,\rho,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O).
$$

그러나 update 후에는 결과 전체가 다시

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

에 속해야 한다.

그리고 새로운

$$
\mathcal C_\square'
$$

가 선택되면

$$
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square')
$$

와

$$
\pi_\square'
$$

는 독립적으로 선택하지 않고 반드시 canonical rule에 따라 다시 계산한다.

즉

$$
\operatorname{Or},\pi_\square
\text{ are recomputed, not dynamically free.}
$$

27. Deterministic hard relaxation

hard c-action difference를

$$
\Delta S_c
=
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q']
-
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q]
$$

로 둔다.

strict deterministic relaxation은

$$
\Delta S_c<0
\Longrightarrow
\text{accept}
$$

$$
\Delta S_c\ge0
\Longrightarrow
\text{reject}
$$

로 정의한다.

따라서 accepted physical hard transition마다

$$
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q_{n+1}]
<
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q_n].
$$

28. Stochastic hard relaxation

proposal kernel

$$
q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q,d\mathcal Q')
$$

에 대해 target weight를 형식적으로

$$
\exp[-\beta S_c^{\mathrm{hard}}(\mathcal Q)]
$$

로 둔다.

공통 reference measure에 대한 proposal density

$$
q(\mathcal Q'|\mathcal Q)
$$

가 존재하고 forward/backward density가 양수인 경우 Metropolis-Hastings acceptance는

$$
A(\mathcal Q,\mathcal Q')
= \min \left\{ 1, e^{-\beta [ S_c(\mathcal Q')-S_c(\mathcal Q) ]} \frac{ q(\mathcal Q|\mathcal Q') }{ q(\mathcal Q'|\mathcal Q)} \right\}
$$

여기서

$$
\beta>0
$$

symmetric proposal이면

$$
q(\mathcal Q|\mathcal Q') = q(\mathcal Q'|\mathcal Q)
$$

이므로

$$
A = \min \{ 1,e^{-\beta\Delta S_c} \}
$$

일반 transition kernel은

$$
P(\mathcal Q,dY) = A(\mathcal Q,Y) q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q,dY) + \delta_\mathcal Q(dY)
\left[ 1-\int A(\mathcal Q,Z) q_{\mathrm{prop}}(\mathcal Q,dZ) \right]
$$

finite-temperature stochastic evolution은 strict monotone이 아니다.

$$
\beta\to\infty
$$

극한에서도 standard Metropolis rule은

$$
\Delta S_c=0
$$

transition을 허용할 수 있다.

strict lowering이 필요하면 §27의 deterministic rule을 사용한다.

29. Soft sector의 논리적 지위

soft relaxation trajectory는 일반적으로 exact contact/exclusion 및 motif geometry를 순간적으로 위반할 수 있다.

따라서 soft trajectory를

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

안의 physical Qaether trajectory라고 부르지 않는다.

별도의 auxiliary off-shell configuration space를

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

로 둔다.

그 관계는

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
\hookrightarrow
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

즉 exact admissible Qaether state는 soft ambient space에 embed될 수 있지만

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
\not\subseteq
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

soft epoch 중의 off-shell point는 Qaether physical state가 아니라 auxiliary relaxation state이다.

30. Frozen primitive labels in a soft epoch

soft epoch는 하나의 admissible hard state

$$
\mathcal Q_n^+\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

에서 시작한다.

epoch 시작 시 다음 combinatorial data를 freeze한다.

$$
\mathcal I_n
=
(
V_n,
E_n,
\mathcal M_{T,n},
\mathcal M_{O,n},
\Lambda_{E,n}^c
).
$$

여기서 모든 항은 $\mathcal Q_n^+$에서 읽어 온 primitive/frozen index data이다.

soft epoch 동안

$$
E_n,
\mathcal M_{T,n},
\mathcal M_{O,n}
$$

의 combinatorial labels는 변하지 않는다.

연속적으로 움직이는 것은 auxiliary position variables이다.

이를 core의 $\rho$와 구분하기 위해

$$
r:V_n\to\mathbb R^3
$$

라고 쓴다.

epoch 시작에서

$$
r(0)=\rho_n
$$

31. Soft T geometry defect

frozen primitive motif

$$
T\in\mathcal M_{T,n}
$$

의 vertex set을 $V_T$라 한다.

dimensionless soft geometry defect를

$$
d_T(T;r)
=
\sum_{\{v,w\}\in\binom{V_T}{2}}
\left(
\frac{
|r(v)-r(w)|^2
}{
\ell_Q^2
}
-1
\right)^2
$$

로 정의한다.

명백히

$$
d_T(T;r)\ge0
$$

또한

$$
d_T(T;r)=0
$$

이면 $V_T$의 모든 six pair distance가 $\ell_Q$이다.

따라서 4개의 distinct points는 regular tetrahedral configuration을 이룬다.

admissible epoch 시작점에서는

$$
d_T(T;\rho_n)=0
$$

32. Soft O geometry defect

primitive

$$
O\in\mathcal M_{O,n}
$$

의 opposite matching을

$$
\mathcal P_O
$$

라 한다.

dimensionless defect를

$$
\begin{aligned}
d_O(O;r)
=&
\sum_{
\{v,w\}\subset V_O,\;
\{v,w\}\notin\mathcal P_O
}
\left(
\frac{|r(v)-r(w)|^2}{\ell_Q^2}
-1
\right)^2
\\
&+
\sum_{
\{v,w\}\in\mathcal P_O
}
\left(
\frac{|r(v)-r(w)|^2}{\ell_Q^2}
-2
\right)^2.
\end{aligned}
$$

그러면

$$
d_O(O;r)\ge0.
$$

또한

$$
d_O(O;r)=0
$$

이면 non-opposite pair distance는 모두

$$
\ell_Q
$$

이고 opposite pair distance는 모두

$$
\sqrt2\,\ell_Q
$$

이다.

이 distance data는 세 opposite half-axis가 공통 midpoint를 가지며 pairwise orthogonal하도록 강제하므로 어떤 center $c$와 orthonormal frame $(u_1,u_2,u_3)$가 존재하여

$$
r(x_i^\pm)
=
c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}u_i
$$

따라서 zero defect는 exact regular octahedral realization에 해당한다.

admissible epoch 시작에서는

$$
d_O(O;\rho_n)=0
$$

33. Soft motif weights

$$
\kappa_T>0,
\qquad
\kappa_O>0
$$

를 선택하고

$$
w_T(T;r)
=
e^{-\kappa_T d_T(T;r)}
$$

$$
w_O(O;r)
=
e^{-\kappa_O d_O(O;r)}
$$

로 둔다.

따라서

$$
0<w_T\le1,
\qquad
0<w_O\le1.
$$

admissible epoch boundary에서는 모든 frozen primitive motif가 exact하므로

$$
w_T(T;\rho_n)=1
$$

$$
w_O(O;\rho_n)=1
$$

34. Frozen-edge soft motif counts

각 frozen evaluated primitive edge

$$
e\in\Lambda_{E,n}^c
$$

에 대해

$$
t_{e,n}^{\mathrm{soft}}(r)
=
\sum_{
T\in\mathcal M_{T,n}:
e\in E(T)
}
w_T(T;r)
$$

$$
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}(r)
=
\sum_{
O\in\mathcal M_{O,n}:
e\in E(O)
}
w_O(O;r)
$$

로 정의한다.

soft counts는 일반적으로 real-valued이다.

$$
t_{e,n}^{\mathrm{soft}},
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}
\in\mathbb R_{\ge0}
$$

따라서 hard integer zero-residual theorem을 soft counts에 적용하지 않는다.

35. Exact hard-soft boundary compatibility

epoch 시작에서는

$$
w_T=w_O=1
$$

이므로

$$
t_{e,n}^{\mathrm{soft}}(\rho_n)
=
N_T(e)
$$

및

$$
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}(\rho_n)
=
N_O(e).
$$

따라서 soft residual은 admissible epoch boundary에서 hard residual과 정확히 일치한다.

$$
\Omega_{e,n}^{TO,\mathrm{soft}}(\rho_n)
=
\Omega_e^{TO}.
$$

이 compatibility는

$$
\kappa\to\infty
$$

극한을 필요로 하지 않는다.

이는 soft sector가 arbitrary detected candidate family가 아니라 **현재 primitive motif labels를 frozen continuation**하기 때문에 성립한다.

36. Soft residual and geometric action

$$
\Omega_{e,n}^{TO,\mathrm{soft}}(r)
=
2\pi-
\left(
t_{e,n}^{\mathrm{soft}}(r)\alpha_T+
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}(r)\alpha_O
\right).
$$

soft reference action은

$$
S_{\mathrm{ref},n}^{\mathrm{soft}}(r)
=
\lambda_{TO}
\sum_{e\in\Lambda_{E,n}^c}
\left(
\Omega_{e,n}^{TO,\mathrm{soft}}(r)
\right)^2.
$$

soft zero residual은 real-valued equation일 뿐

$$
(t,o)=(2,2)
$$

를 함의하지 않는다.

37. Soft contact penalty

frozen primitive edge set $E_n$에 대해

$$
S_{\mathrm{contact},n}(r)
=
\lambda_{\mathrm{contact}}
\sum_{\{v,w\}\in E_n}
\left(
\frac{|r(v)-r(w)|^2}{\ell_Q^2}
-1
\right)^2.
$$

여기서

$$
\lambda_{\mathrm{contact}}\ge0.
$$

admissible hard state에서는

$$
S_{\mathrm{contact},n}(\rho_n)=0
$$

38. Soft exclusion penalty

$$
S_{\mathrm{excl},n}(r)
=
\lambda_{\mathrm{excl}}
\sum_{\{v,w\}\in\binom{V_n}{2}}
\left[
\max
\left(
0,
1-
\frac{|r(v)-r(w)|^2}{\ell_Q^2}
\right)
\right]^2
$$

여기서

$$
\lambda_{\mathrm{excl}}\ge0
$$

exact admissible state에서는

$$
S_{\mathrm{excl},n}(\rho_n)=0
$$

이 penalty는 off-shell trajectory가 exclusion region을 탐색하는 것을 가능하게 하지만 그러한 intermediate point를 physical Qaether configuration으로 승격시키지는 않는다.

39. Optional shape regularization

필요한 경우 differentiable nonnegative functional

$$
S_{\mathrm{shape},n}(r)\ge0
$$

를 추가할 수 있다.

사용하지 않으면

$$
S_{\mathrm{shape},n}=0
$$

shape regularization의 구체적 형태는 c-layer의 additional model choice이다.

40. Total soft objective

$$
S_{\mathrm{soft},n}
=
S_{\mathrm{ref},n}^{\mathrm{soft}} + S_{\mathrm{contact},n} + S_{\mathrm{excl},n} + S_{\mathrm{shape},n}.
$$

$S_{\mathrm{slot}}$은 frozen $E_n$에서 상수이므로 soft position gradient에 직접 영향을 주지 않는다.

ordering cost 역시 frozen combinatorial order만을 사용할 경우 soft position objective에서 생략할 수 있다.

41. Local finite soft epoch

무한 Qaether configuration에서는 soft gradient flow를 global infinite-dimensional system으로 자동 정의하지 않는다.

대신 compact active region

$$
\Lambda
$$

와 buffer

$$
\Lambda^+
$$

를 사용한다.

epoch 시작점의 realization $\rho_n$에 대해

$$
V_{n,\mathrm{act}}^\Lambda
=
\{
v:\rho_n(v)\in\Lambda
\}
$$

$$
V_n^{\Lambda,+}
=
\{
v:\rho_n(v)\in\Lambda^+
\}
$$

로 둔다.

buffer vertices

$$
V_n^{\Lambda,+}
\setminus
V_{n,\mathrm{act}}^\Lambda
$$

는 local epoch 동안 fixed boundary data로 둘 수 있다.

42. Soft trust radius

soft active vertices의 최대 허용 displacement를

$$
\delta_n>0
$$

로 선택한다.

local epoch에서는

$$
|r(v,\tau)-\rho_n(v)|
\le\delta_n
\qquad
\forall v\in V_{n,\mathrm{act}}^\Lambda
$$

가 유지되는 동안만 frozen local description을 사용한다.

buffer는 최소한

$$
r_{\mathrm{buf}}
\ge
\sqrt2\,\ell_Q+\delta_n
$$

로 둔다.

이는 active vertex가 $\delta_n$만큼 이동하더라도 exact $T/O$-scale neighborhood를 시작 buffer 안에서 추적할 수 있게 하는 충분조건이다.

trust bound에 도달하면 epoch를 종료하고 re-admissibilization/reindexing을 수행한다.

43. Mobility-form soft relaxation

active continuous coordinate vector를

$$
\Xi_n
=
(r(v))_{v\in V_{n,\mathrm{act}}^\Lambda}
$$

라 한다.

selected inner product에 대해 symmetric positive semidefinite mobility operator를

$$
M_n(\Xi_n)\succeq0
$$

로 둔다.

soft Onsager-type relaxation은

$$
\dot\Xi_n
=
-M_n(\Xi_n)
\nabla_{\Xi_n}
S_{\mathrm{soft},n}
$$

여기서 minus sign은 필수이다.

44. Soft monotonicity theorem

frozen-index epoch 동안 $S_{\mathrm{soft},n}$이 differentiable하고

$$
M_n\succeq0
$$

이면

$$
\frac{d}{d\tau}
S_{\mathrm{soft},n}
=
\left\langle
\nabla S_{\mathrm{soft},n},
\dot\Xi_n
\right\rangle.
$$

flow equation을 대입하면

$$
\frac{d}{d\tau}
S_{\mathrm{soft},n}
=
-
\left\langle
\nabla S_{\mathrm{soft},n},
M_n
\nabla S_{\mathrm{soft},n}
\right\rangle
\le0
$$

따라서

$$
\text{soft objective is monotone non-increasing inside one frozen epoch}.
$$

이 theorem은 index freezing이 유지되는 구간에만 적용된다.

45. Soft trajectory는 physical time trajectory가 아니다

soft path

$$
r_n(\tau)
$$

는 일반적으로

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

안의 off-shell relaxation trajectory이다.

따라서 v2.5-curvature에서 기본적으로 physical Qaether history라고 부르는 것은

$$
\mathcal Q_0,
\mathcal Q_1,
\mathcal Q_2,\ldots
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

인 admissible state sequence이다.

soft continuous parameter

$$
\tau
$$

를 실제 fundamental physical time과 동일시하지 않는다.

그러한 interpretation은 future dynamical layer가 별도로 정해야 한다.

46. Admissibilization map

soft endpoint를 다시 exact v2.5 state로 변환하기 위해 model-selected admissibilization procedure를 둔다.

$$
\mathsf{Adm}:
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
\times
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
\longrightarrow
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

두 번째 argument는 epoch 시작 또는 fallback hard state이다.

$$
\mathcal Q^{\mathrm{prop,soft}}
=
\mathsf{Adm}
(
r_n^\star,
\mathcal Q_n^+
).
$$

admissibilization은 필요하면

$$
E,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
$$

를 함께 reselection할 수 있다.

그러나 결과는 반드시 exact core axioms 전체를 만족해야 한다.

특히

* contact/exclusion,
* primitive cycle geometry,
* primitive motif geometry,
* $O$-square sector,
* bond support,
* motif non-interpenetration

을 모두 다시 검사한다.

새로운

$$
\mathcal C_\square
$$

가 선택되면

$$
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
$$

와

$$
\pi_\square
$$

는 canonical하게 재구성한다.

47. Admissibilization existence convention

어떤 soft endpoint에 대해 개선된 admissible reconstruction을 찾지 못할 수도 있다.

이를 formal obstruction으로 만들지 않기 위해

$$
\mathsf{Adm}
(
r_n^\star,\mathcal Q_n^+
)
=
\mathcal Q_n^+
$$

를 허용한다.

즉 fallback identity reconstruction을 항상 허용한다.

따라서 $\mathsf{Adm}$은 적어도 하나의 admissible output을 항상 가질 수 있다.

48. Post-soft physical acceptance

soft objective가 감소했다고 해서 admissibilization 후 hard action도 반드시 감소하는 것은 아니다.

따라서

$$
\Delta S_c^{\mathrm{soft-prop}}
=
S_c^{\mathrm{hard}}
[
\mathcal Q^{\mathrm{prop,soft}}
]
-
S_c^{\mathrm{hard}}
[
\mathcal Q_n^+
]
$$

를 별도로 계산한다.

deterministic physical relaxation을 원하면

$$
\Delta S_c^{\mathrm{soft-prop}}<0
$$

일 때만 admissibilized soft proposal을 채택한다.

그 외에는

$$
\mathcal Q_n^+
$$

를 유지한다.

따라서 soft monotonicity와 physical hard monotonicity를 혼동하지 않는다.

49. Type-consistent hybrid scheduler

step $n$의 admissible state를

$$
\mathcal Q_n
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

라 하자.

49.1 Hard proposal

$$
\widetilde{\mathcal Q}_n
\sim
q_{\mathrm{prop}}
(
\mathcal Q_n,\cdot
)
$$

를 생성한다.

49.2 Hard acceptance

hard rule에 따라

$$
\mathcal Q_n^+
=
\begin{cases}
\widetilde{\mathcal Q}_n,
&
A_n^{\mathrm{hard}}=1,
\\
\mathcal Q_n,
&
A_n^{\mathrm{hard}}=0.
\end{cases}
$$

여기서 항상

$$
\mathcal Q_n^+
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}.
$$

49.3 Freeze

$$
\mathcal I_n
=
\mathsf{Freeze}
(
\mathcal Q_n^+
).
$$

$\mathsf{Freeze}$의 output은 index bundle이지 새로운 Qaether configuration이 아니다.

49.4 Off-shell embedding

$$
r_n(0)
=
\mathsf{Embed}
(
\mathcal Q_n^+;
\mathcal I_n
).
$$

49.5 Soft relaxation

$$
r_n^\star
=
\Phi_{\Delta\tau}^{\mathrm{soft}}
(
r_n(0);
\mathcal I_n
).
$$

49.6 Admissibilization

$$
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}}
=
\mathsf{Adm}
(
r_n^\star,
\mathcal Q_n^+
).
$$

그러면

$$
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}}
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}.
$$

49.7 Post-soft acceptance

$$
\mathcal Q_{n+1}
=
\begin{cases}
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}},
&
A_n^{\mathrm{soft}}=1,
\\
\mathcal Q_n^+,
&
A_n^{\mathrm{soft}}=0.
\end{cases}
$$

따라서 최종 scheduler는

$$
\begin{aligned}
\mathcal Q_n
&\rightarrow
\text{admissible hard proposal}
\\
&\rightarrow
\text{hard accept/reject}
\\
&\rightarrow
\text{freeze}
\\
&\rightarrow
\text{off-shell soft relaxation}
\\
&\rightarrow
\text{admissibilization}
\\
&\rightarrow
\text{hard accept/reject}
\\
&\rightarrow
\mathcal Q_{n+1}.
\end{aligned}
$$

이 scheduler에는

$$
\mathsf{Reindex}:\mathcal Q\to\mathcal I
$$

를 configuration-returning map처럼 사용하는 type mismatch가 없다.

50. Deterministic hybrid monotonicity

첫 번째 hard proposal과 post-soft admissible proposal 모두

$$
\Delta S_c<0
$$

일 때만 수용한다고 하자.

그러면 실제 physical state sequence에 대해

$$
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q_{n+1}]
\le
S_c^{\mathrm{hard}}[\mathcal Q_n]
$$

적어도 하나의 nontrivial transition이 accepted된 step에서는 strict inequality가 성립한다.

soft off-shell objective의 monotonicity만으로 이 conclusion이 나오는 것이 아니라, 두 admissible transition에 hard acceptance를 다시 적용했기 때문에 성립한다.

51. Flat SU(2) holonomy와의 관계

v2.5에서

$$
q_v\in SU(2)
$$

이고

$$
h_{vw}=q_v^{-1}q_w.
$$

closed graph loop

$$
C=(v_0,v_1,\ldots,v_n=v_0)
$$

에 대해

$$
h_C
=
h_{v_0v_1}
h_{v_1v_2}
\cdots
h_{v_{n-1}v_0}.
$$

따라서

$$
\begin{aligned}
h_C
&=
q_{v_0}^{-1}q_{v_1}
q_{v_1}^{-1}q_{v_2}
\cdots
q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0}
\\
&=
1_{SU(2)}.
\end{aligned}
$$

즉

$$
h_C=1_{SU(2)}
$$

이다.

v2.5-curvature은 independent $SU(2)$ edge connection을 도입하지 않는다.

따라서

$$
S_c
\neq
\sum_C
\operatorname{tr}(1-h_C)
$$

이며

$$
\text{reference-residual curvature}
\neq
SU(2)\text{ holonomy curvature}
$$

모든 admissible hard state에서 induced $SU(2)$ connection은 계속 flat하다.

52. Square-oriented sector와의 관계

v2.5-curvature의 기본 curvature residual은 unoriented primitive edge motif incidence만을 사용한다.

따라서

$$
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
$$

의 두 oriented lifts나 reversal involution을 curvature residual 정의에 자동으로 사용하지 않는다.

즉

$$
\Omega_e^{TO}
\text{ is orientation-blind.}
$$

future square polarity, chirality 또는 charge-like observable과 curvature action을 coupling하려면 별도의 later definition이 필요하다.

53. Gravity-like interpretation

v2.5-curvature이 허용하는 가장 강한 현재 해석은 다음이다.

$$
\text{Qaether configurations may be dynamically biased toward lower }
T/O
\text{ reference residual.}
$$

이는

$$
\text{Einstein curvature}
$$

도 아니고

$$
\text{Newtonian force law}
$$

도 아니며

$$
\text{Regge deficit angle dynamics}
$$

도 아니다.

'gravity-like'이라는 용어를 사용한다면 정확한 의미는

$$
\text{structural relaxation toward lower boundary-motif reference action}.
$$

이다.

$B_e^O>0$ 역시 physical attraction을 직접 의미하지 않는다.

54. Parameter bundle

v2.5-curvature의 parameter bundle을

$$
\Theta_c
$$

라 쓰고 기본적으로

$$
\begin{aligned}
\Theta_c=
(
&\lambda_{TO},
\lambda_{\mathrm{cov}},
\lambda_{\mathrm{slot}},
\lambda_{\mathrm{ord}},
\\
&\mu_{\mathrm{TTOO}},
\mu_{\mathrm{bad}},
\\
&\kappa_T,
\kappa_O,
\\
&\lambda_{\mathrm{contact}},
\lambda_{\mathrm{excl}},
\lambda_{\mathrm{shape}},
\\
&\beta,
\Delta\tau,
r_{\mathrm{buf}},
\delta
).
\end{aligned}
$$

로 둔다.

기본 constraints는

$$
\lambda_{TO}>0
$$

$$
\lambda_{\mathrm{cov}},
\lambda_{\mathrm{slot}},
\lambda_{\mathrm{ord}},
\lambda_{\mathrm{contact}},
\lambda_{\mathrm{excl}},
\lambda_{\mathrm{shape}}
\ge0
$$

$$
0<
\mu_{\mathrm{TTOO}}
<
\mu_{\mathrm{bad}}
$$

$$
\kappa_T,\kappa_O>0
$$

$$
\beta>0
$$

$$
\Delta\tau>0
$$

이다.

exact hard local evaluation에는

$$
r_{\mathrm{buf}}
\ge
\sqrt2\,\ell_Q
$$

가 충분하다.

local soft trust-radius epoch에서는

$$
r_{\mathrm{buf}}
\ge
\sqrt2\,\ell_Q+\delta
$$

선택적 term을 사용하지 않으면 해당 parameter는 inactive이다.

55. Formal data of Qaether v2.5-curvature

v2.5-curvature의 formal extension data를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$
\begin{aligned}
\mathfrak C_{2.5-c-1}
=
(
&
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}},
\Theta_c,
\Lambda_2^c,
\Lambda_E^c,
\\
&
N_T,N_O,
\alpha_T,\alpha_O,
\Omega^T,\Omega^{TO},
D^T,D^{TO},B^O,
\\
&
\chi_E,\chi_{TO},
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}},
S_{\mathrm{cov}},
S_{\mathrm{slot}},
S_{\mathrm{ord}},
S_c^{\mathrm{hard}},
\\
&
\widehat{\mathcal M}_T,
\widehat{\mathcal M}_O,
\\
&
\Lambda,
\Lambda^+,
V^\Lambda,
\Lambda_{2,+}^c,
\Lambda_{E,+}^c,
S_c^{\Lambda,\mathrm{hard}},
s_c,
\\
&
q_{\mathrm{prop}},
A,
P,
m^{\mathrm{prop}},
\\
&
\mathscr X_{\mathrm{soft}},
\mathcal I_n,
r,
d_T,d_O,
w_T,w_O,
\\
&
t_n^{\mathrm{soft}},
o_n^{\mathrm{soft}},
\Omega_n^{TO,\mathrm{soft}},
\\
&
S_{\mathrm{ref},n}^{\mathrm{soft}},
S_{\mathrm{contact},n},
S_{\mathrm{excl},n},
S_{\mathrm{shape},n},
S_{\mathrm{soft},n},
\\
&
M_n,
\Phi_{\Delta\tau}^{\mathrm{soft}},
\mathsf{Freeze},
\mathsf{Embed},
\mathsf{Adm}
).
\end{aligned}
$$

이 tuple은 v2.5 primitive data를 대체하지 않는다.

정확한 관계는

$$
\mathcal Q_{2.5-2}
\quad
\longmapsto
\quad
\text{c-layer observables and dynamics}
$$

56. Core formulas

Hard primitive incidence

$$
N_T(e)
=
\#\{T\in\mathcal M_T:e\in E(T)\}
$$

$$
N_O(e)
=
\#\{O\in\mathcal M_O:e\in E(O)\}
$$

Reference residual

$$
\Omega_e^{TO}
=
2\pi-
[
N_T(e)\alpha_T+
N_O(e)\alpha_O
]
$$

Zero residual

$$
\Omega_e^{TO}=0
\iff
(N_T(e),N_O(e))=(2,2)
$$

Hard action

$$
S_{\mathrm{ref}}^{\mathrm{hard}}
=
\lambda_{TO}
\sum_{e\in\Lambda_E^c}
(\Omega_e^{TO})^2
$$

Optional vacancy penalty

$$
S_{\mathrm{slot}}
=
\lambda_{\mathrm{slot}}
\sum_{p\in\Lambda_2^c}
(1-\chi_E(p))
$$

Soft weights

$$
w_T=e^{-\kappa_Td_T},
\qquad
w_O=e^{-\kappa_Od_O}
$$

Soft counts

$$
t_{e,n}^{\mathrm{soft}}
=
\sum_{T:e\in E(T)}w_T(T)
$$

$$
o_{e,n}^{\mathrm{soft}}
=
\sum_{O:e\in E(O)}w_O(O).
$$

Soft flow

$$
\dot\Xi_n
=
-
M_n\nabla_{\Xi_n}S_{\mathrm{soft},n},
\qquad
M_n\succeq0.
$$

Soft monotonicity

$$
\frac{dS_{\mathrm{soft},n}}{d\tau}
=
-
\langle
\nabla S_{\mathrm{soft},n},
M_n\nabla S_{\mathrm{soft},n}
\rangle
\le0.
$$

Hybrid physical update

$$
\mathcal Q_n
\rightarrow
\mathcal Q_n^+
\rightarrow
r_n^\star
\rightarrow
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}}
\rightarrow
\mathcal Q_{n+1}
$$

with

$$
\mathcal Q_n,
\mathcal Q_n^+,
\widetilde{\mathcal Q}_n^{\mathrm{soft}},
\mathcal Q_{n+1}
\in
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

57. Conservative-extension consistency theorem

Qaether v2.5-curvature은 v2.5의 conservative later-layer extension으로 해석할 수 있다.

그 이유는 다음과 같다.

첫째, 새로운 curvature action은 기존 primitive objects를 재정의하지 않는다.

$$
V,E,\mathcal C_\triangle,\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,\mathcal M_O
$$

의 의미는 변하지 않는다.

둘째,

$$
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square
$$

는 계속 canonical-derived data이며 dynamical independent variable이 아니다.

셋째, hard reference residual은 v2.5가 이미 정의한

$$
N_T(e),N_O(e)
$$

에 외부 Euclidean reference angles를 적용한 derived observable이다.

넷째, hard physical dynamics는 정의상

$$
\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

안에서만 이동한다.

다섯째, soft exact-constraint violation은 별도의

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

에서만 일어나므로 v2.5 state-space axiom과 모순되지 않는다.

여섯째, soft endpoint는 physical state로 사용되기 전에

$$
\mathsf{Adm}
$$

을 통해 exact admissible configuration으로 되돌아온다.

일곱째, induced $SU(2)$ relative phase

$$
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
$$

를 수정하지 않으므로

$$
h_C=1_{SU(2)}
$$

가 계속 성립한다.

따라서

$$
\text{v2.5-curvature does not alter the formal ontology of v2.5.}
$$

58. 최종 해석

Qaether v2.5-curvature의 curvature-like quantity는 primitive edge 주변의 selected $T/O$ motif incidence가 external Euclidean reference closure

$$
2T+2O
$$

와 얼마나 다른지를 측정한다.

$$
(N_T(e),N_O(e))
\mapsto
\Omega_e^{TO}.
$$

primitive motif는 여전히 v2.5의 selected primitive boundary motif이다.

$$
\mathcal M_T,\mathcal M_O
=
\text{primitive selected motif families}.
$$

별도로 검출되는 exact geometric pattern은

$$
\widehat{\mathcal M}_T,
\widehat{\mathcal M}_O
=
\text{derived diagnostic families}
$$

이며 자동으로 primitive family와 동일시하지 않는다.

curvature residual은 primitive edge에만 Euclidean edge-reference quantity로 정의된다.

$$
e\in E.
$$

non-edge selected pair는 필요하면 별도의 vacancy penalty를 받을 수 있으나 이를 $2\pi$ dihedral curvature라고 해석하지 않는다.

hard integer residual은 정확히

$$
2T+2O
$$

에서만 zero이다.

$TOTO$와 $TTOO$는 모두 $2T+2O$ closure를 만족하며

$$
TTOO\neq\text{automatic Euclidean defect}
$$

TOTO preference는 별도의 optional ordering action이다.

soft relaxation은 physical Qaether state space 내부의 exact continuous motion이 아니라

$$
\mathscr X_{\mathrm{soft}}
$$

에서 진행되는 auxiliary off-shell relaxation이다.

그 flow는

$$
\dot\Xi=-M\nabla S
$$

이며 frozen epoch 안에서

$$
\frac{dS}{d\tau}\le0.
$$

physical Qaether evolution은 admissibilization과 hard acceptance를 통과한

$$
\mathcal Q_n\in\mathscr Q_{2.5}^{\mathrm{adm}}
$$

의 sequence로 정의된다.

마지막으로 v2.5-curvature은 independent $SU(2)$ connection curvature를 도입하지 않으므로

$$
h_C=1_{SU(2)}
$$

는 그대로 유지된다.

따라서 최종적으로

$$
\text{Qaether v2.5-curvature}
=
\text{a rigor-guarded boundary-motif reference-residual action layer}
$$

$$
\text{built on primitive }T/O\text{ edge incidence of the v2.5 core}
$$

$$
\text{with exact admissible hard dynamics and auxiliary off-shell soft relaxation}
$$

$$
\text{while preserving the v2.5 boundary ontology,
canonical-derived square structure,
and flat induced }SU(2)\text{ holonomy}.
$$

[v2.5] Basic Part: Static Boundary-Graph Axioms

Qaether Theory — Sun, 30 Aug 2026 22:08:23 +0900

Static Boundary-Graph Foundation with Flat $SU(2)$ Vertex State and $C_4$-Oriented Square Sector

0. Core Statement

Qaether 이론의 지금 버전은 정적 boundary-graph foundation이다.

이 버전의 핵심은 다음이다.

\[
\text{Qaether}=\text{vertex}
\]

\[
\text{primitive bond}=\text{edge}
\]

\[
\text{primitive structures are boundary structures}
\]

\[
\text{no filled faces, no filled volumes}
\]

즉 Qaether 이론은 채워진 면이나 채워진 부피를 기본 존재자로 두지 않는다.
기본 구조는 vertex–edge network와 그 위의 selected boundary cycles, boundary motifs이다.

v2.5의 정적 기초는 세 층으로 구성된다.

boundary incidence layer
vertex-induced flat $SU(2)$ relative-phase layer
$C_4$-oriented square structural layer

Part 0. Introduction

0.1 Purpose

Qaether 이론의 목적은 공간을 연속체로 먼저 가정하지 않고, 공간의 최소 단위와 그 관계망으로부터 기하학적·물리학적 구조가 어떻게 생길 수 있는지 탐구하는 것이다.

기본 흐름은 다음이다.

minimum units of space $\rightarrow$ selected contact-incidence graph $\rightarrow$ boundary cycles $\rightarrow$ T/O motifs
$\rightarrow$ emergent structure-like sectors

여기서 Qaether는 배경공간 속을 움직이는 입자가 아니다.

\[
\text{Qaether is not a particle inside space.}
\]

오히려 Qaether는 공간 자체를 구성하는 최소 단위이다.

\[
\text{Qaether is a minimum unit of space itself.}
\]

따라서 Qaether 이론에서 “운동”은 일반적인 입자 운동보다는 다음 구조들의 변화로 해석된다.

graph adjacency rearrangement
motif-network evolution
defect propagation
internal $SU(2)$ state evolution

0.2 Present Status

Qaether 이론은 완성된 물리 이론이 아니라 graph-ontological, pre-dynamical boundary-graph motif model이다. 다만 현 버전은 $\rho:V\to\mathbb R^3$라는 보조적(auxiliary) 유클리드 기하 실현을 primitive mathematical data로 사용하므로, 강한 의미에서 모든 기하가 그래프만으로부터 이미 emergent하게 유도되었다고 주장하지 않는다.

Qaether 이론은 일반 상대론을 완전히 유도했다거나 양자장 이론을 완전히 유도했다거나 표준 모형을 유도했다는 뜻으로 만들어지지 않았다. 대신 이 이론을 통해 공간 단위와 boundary motif 구조만으로 물리량-like sector의 기반을 만들 수 있는가에 관심을 두고 있다.

0.3 Scope

이 버전에서 정의하는 것은 다음이다.

Qaether ontology
Qaether graph
auxiliary Euclidean geometric realization
primitive triangular and square boundary cycles
$T/O$ boundary motifs
$SU(2)$ vertex state
flat edge-induced loop holonomy
$C_4$-oriented square double cover
canonical-derived status of the oriented-square cover
relational status of disconnected / isolated Qaether sectors
free-standing primitive triangular cycles
vertex-induced motif overlap with geometric non-interpenetration

이 버전에서 아직 정의하지 않는 것은 다음이다.

$n_\square$ oriented square polarity
$Q_O$ O-frame structural charge
$\Pi_\triangle$ central triangular parity
$\kappa_\square$ color-like square observable
confinement-like dynamics

즉 $(n_\square,\ Q_O,\ \Pi_\triangle,\ \kappa_\square)$는 이후 따로 정의하겠다.

0.4 Logical status convention

v2.5에서는 각 진술의 논리적 지위를 다음 네 종류로 구분한다.

\[
\text{primitive input / axiom}
\]

\[
\text{derived proposition}
\]

\[
\text{Euclidean reference criterion}
\]

\[
\text{future structural definition}
\]

이 구분은 특히 Part III의 정사면체–정팔면체 공간충전 결과와 Qaether boundary-graph ontology를 혼동하지 않기 위해 필요하다.

0.5 v2.5 clarification commitments

v2.5은 core ontology를 변경하지 않고 다음 여섯 지점을 명시적으로 고정한다.

edge는 두 Qaether 사이의 selected primitive contact adjacency이며 독립적인 곡선 또는 path 자유도를 갖지 않는다.
2D boundary closure의 2D는 cycle vertex들이 하나의 2차원 affine plane에서 닫힌다는 뜻이며 filled 2-region을 뜻하지 않는다.
$\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$는 $\mathcal C_\square$에 의해 canonical하게 결정되는 derived components이며 independent degrees of freedom가 아니다.
isolated 또는 disconnected Qaether sector는 금지되지 않지만 다른 connected sector로부터 primitive incidence를 통해 relationally inaccessible하다.
primitive triangular boundary cycle은 $T/O$ motif에 속하지 않는 free-standing cycle일 수 있다.
motif 간 공유는 shared Qaether vertices에서 induced되며 shared vertex/edge/cycle incidence는 허용하지만 geometric carrier의 interior interpenetration은 허용하지 않는다.

Part I. Qaether Configuration and Boundary-Graph Ontology

1.1 Qaether configuration

Qaether v2.5의 full displayed configuration은 다음과 같이 쓴다.

\[
\mathcal Q_{2.5}=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

다만 이 tuple의 모든 성분이 independent primitive data인 것은 아니다. 독립적인 primitive mathematical data는

\[
\mathcal D_{\mathrm{prim}}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

이고, "$\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$ and $\pi_\square$ are canonical derived components determined by $\mathcal C_\square$,not independent degrees of freedom"이다. full displayed configuration에 이 둘을 함께 적는 이유는 이후 square structural sector의 정의역과 orientation-forgetting projection을 명시적으로 보이기 위해서이다.

여기서

\[
G_Q=(V,E)
\]

는 Qaether graph이다.

각 primitive 성분의 의미는 다음과 같다.

\[
V=\text{Qaether vertices}
\]

\[
E=\text{primitive bonds}
\]

\[
\rho\:V\to\mathbb{R}^3
\quad
\text{auxiliary Euclidean vertex realization}
\]

\[
\ell_Q>0
\quad
\text{contact/exclusion scale}
\]

\[
q\:V\to SU(2)
\quad
\text{vertex quaternionic state}
\]

\[
\mathcal C_\triangle = \text{selected primitive triangular boundary-cycle family}
\]

\[
\mathcal C_\square = \text{selected primitive square boundary-cycle family}
\]

\[
\mathcal M_T = \text{tetrahedral boundary motif family}
\]

\[
\mathcal M_O = \text{octahedral boundary motif family}
\]

canonical derived components는 Part VI에서 구체적으로 구성한다.

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
=
\text{oriented }C_4\text{-double cover of square supports}
\]

\[
\pi_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\mathcal C_\square
\]

는 orientation-forgetting projection이다.

1.2 Qaether ontology

기본 존재론은 다음이다.

\[
\text{Qaether}=\text{vertex}
\]

즉 Qaether는 vertex로 표현된다. 하지만 이는 단순 계산용 점이 아니라 공간의 최소 단위를 나타내는 존재론적 단위이다.

두 Qaether 사이의 primitive adjacency는 edge이다.

\[
\text{primitive bond}=\text{edge}
\]

따라서 Qaether graph는

\[
G_Q=(V,E)
\]

이다.

여기서 edge는 독립적인 공간 곡선이나 embedded path가 아니다. 하나의 edge는 unordered endpoint pair 자체로 주어지는 selected primitive contact adjacency이다.

\[
\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
\text{the edge has no independent geometric path degree of freedom.}
\]

즉 Qaether ontology에서 edge에 대해 별도의 곡률, 중간 경로, path shape 같은 자료를 부여하지 않는다. auxiliary 그림에서 두 realization point를 선분으로 연결해 나타낼 수는 있지만 그 선분 자체는 추가적인 primitive object가 아니다.

1.3 Simple graph axiom

Qaether graph는 simple graph이다.

\[
E\subseteq
\left\{
\{v,w\}\:v,w\in V,\ v\neq w
\right\}
\]

따라서 edge는 ordered pair가 아니라 unordered pair이다.

Self-loop는 허용하지 않는다.

\[
\{v,v\}\notin E
\]

Multiple edge도 허용하지 않는다.

1.4 No filled faces and no filled volumes

Qaether 이론은 채워진 면과 채워진 부피를 기본 존재자로 두지 않는다.

따라서 primitive cycles는 filled 2-face가 아니다.

\[
C_\triangle,C_\square\neq\text{filled 2-faces}
\]

또한 $T$-motif와 $O$-motif는 filled 3-cell이 아니다.

\[
T,O\neq\text{filled 3-cells}
\]

이론의 기본 구조는 boundary graph이다.

1.5 Boundary structure principle

Qaether 이론에서 다루는 primitive structures는 다음이다.

vertices, edges, boundary cycles, boundary motifs

즉,

\[
\text{primitive cycle}=\text{2D boundary closure}
\]

\[
\text{primitive motif}=\text{3D-realized boundary graph with distinguished cycle incidence}
\]

이다.

여기서 2D boundary closure의 2D는 cycle 자체가 filled 2-dimensional object라는 뜻이 아니다. cycle을 이루는 Qaether vertices의 realization이 하나의 2차원 affine plane 안에서 비퇴화된 closed polygonal boundary를 이룬다는 뜻이다.

\[
C\text{ is a 2D boundary closure}
\Longrightarrow
\dim\operatorname{aff}\rho(V(C))=2
\]

그리고 그 plane 안에서 cycle이 둘러싸는 영역은 primitive structure에 포함되지 않는다.

\[
\text{planar geometric closure}\neq\text{filled planar region}
\]

따라서 $(C_\triangle,C_\square)$는 planar 2D boundary closure이고 $(T,O)$는 3D-realized boundary graph motif이다.

1.6 Injective auxiliary geometric realization

Qaether graph는 다음의 기하학적 realization을 가진다.

\[
\rho\:V\to\mathbb{R}^3
\]

서로 다른 Qaether는 같은 realization point를 점유하지 않는다.

\[
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
\rho(v)\neq\rho(w)
\]

즉 $\rho$는 injective이다.

중요한 지위 구분은 다음과 같다.

\[
\rho\text{ is auxiliary geometric structure in the present formal model.}
\]

Qaether의 존재론적 primitive는 vertex와 boundary incidence이지만, v2.5의 수학적 정의는 거리, 평면성, 직교성, affine dimension을 판정하기 위해 $\mathbb R^3$의 유클리드 구조를 외부 실현 자료로 사용한다. 따라서 현 버전은 "graph-first ontology"를 취하지만, 유클리드 기하 자체가 이미 graph만으로부터 완전히 유도되었다고 주장하지 않는다.

1.7 Contact/exclusion scale

$\ell_Q>0$는 Qaether의 primitive contact/exclusion scale이다.

서로 다른 Qaether는 최소 거리 조건을 만족한다.

\[
v\neq w
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|\ge \ell_Q
\]

Primitive bond는 contact scale에서만 허용된다.

\[
\{v,w\}\in E
\quad\Longrightarrow\quad
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\]

그러나 역은 공리가 아니다.

\[
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\not\Longrightarrow
\{v,w\}\in E
\]

따라서 $E$는 전체 unit-contact relation이 아니라 그 중에서 선택된 primitive incidence이다.

\[
E\subseteq E_{\mathrm{contact}}
\]

where

\[
E_{\mathrm{contact}}
:=
\left\{
\{v,w\}:v\neq w,
\ |\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\right\}
\]

즉 $G_Q$는 일반적으로 full contact graph가 아니라 selected contact-incidence subgraph이다.

이때 contact condition은 edge의 endpoint relation을 규정한다. edge는 $\rho(v)$에서 $\rho(w)$로 이어지는 별도의 곡선을 뜻하지 않으며 $E$에 포함된 unordered pair가 primitive bond의 전부이다.

\[
\text{primitive edge geometry}
=
\text{selected contact relation of its endpoints}
\]

1.8 Derived local finiteness proposition

Local finiteness는 별도의 독립 공리로 둘 필요가 없다. $\ell_Q>0$와 uniform exclusion condition $v\neq w\Rightarrow |\rho(v)-\rho(w)|\ge\ell_Q$로부터 유도된다.

임의의 compact set $K\Subset\mathbb R^3$에 대하여,

\[
|\rho^{-1}(K)|<\infty
\]

이다. 실제로 $\rho(V)$의 서로 다른 점 주위에 반지름 $\ell_Q/2$의 서로 겹치지 않는 열린 공을 잡으면, compact neighborhood 안에 무한히 많은 such balls를 넣을 수 없다.

따라서 graph degree도 유한하다.

\[
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)<\infty
\]

더 강하게, $\mathbb R^3$에서 모든 neighbor가 $\rho(v)$로부터 정확히 거리 $\ell_Q$에 있고 neighbor들끼리도 최소 $\ell_Q$ 떨어져 있으므로 3차원 kissing-number bound를 적용할 수 있다.

\[
\deg(v)\le 12
\]

이 $12$는 추가 공리가 아니라 현재 Euclidean realization과 exclusion scale에서 따라오는 sharp geometric bound이다.

또한 $\mathbb R^3$를 countable한 compact boxes의 합으로 덮을 수 있고 각 compact box에는 유한 개의 realization point만 존재하므로

\[
|V|\le\aleph_0
\]

도 유도된다. 즉 v2.5의 Qaether vertex set은 자동으로 at most countable이다.

1.9 Disconnected sectors and relational accessibility

Qaether v2.5은 isolated vertex 또는 여러 disconnected graph component의 존재를 금지하지 않는다.

그래프 경로로 연결될 수 있음을

\[
v\sim_G w
\iff
\text{there exists a finite graph path from }v\text{ to }w
\]

로 정의하면 $\sim_G$의 equivalence classes가 Qaether graph의 connected sectors이다.

특히

\[
\deg(v)=0
\]

인 vertex는 singleton connected component를 이룬다. 이러한 isolated Qaether도 mathematical configuration의 원소로 존재할 수 있다.

그러나 서로 다른 connected sectors $S_1,S_2$ 사이에는 primitive edge path가 없으므로

\[
S_1\neq S_2
\Longrightarrow
\text{no primitive-incidence path connects }S_1\text{ and }S_2.
\]

따라서 한 sector 내부의 boundary-incidence layer만으로는 다른 disconnected sector에 relational access를 갖지 않는다. 이 의미에서 isolated/disconnected Qaether는 다른 sector에 대해 relationally inaccessible하며 그 sector의 내부 operational structure에는 별도의 의미를 부여하지 않는다.

이 진술은 auxiliary map $\rho$가 외부 수학적 기술에서 그 vertex를 표시할 수 없다는 뜻이 아니다. 'relationally inaccessible'은 오직 Qaether의 primitive incidence network를 통한 접근 가능성을 뜻한다.

Part II. Primitive Boundary Motifs

2.1 Motif principle

Motif는 채워진 3차원 물체가 아니다.

\[
\text{motif}\neq\text{filled 3-cell}
\]

Qaether 이론에서 motif는 다음 자료를 포함한다.

\[
\text{motif} = \text{1-skeleton boundary graph} + \text{distinguished boundary-cycle incidence}
\]

Primitive boundary motif는 두 종류이다.

\[
\mathcal M_{\mathrm{prim}} = \mathcal M_T\sqcup\mathcal M_O
\]

즉, $T$ = tetrahedral boundary motif, $O$ = octahedral boundary motif 이다.

2.2 Tetrahedral boundary motif

$T$-motif는 다음을 만족하는 element이다.

\[
T\in\mathcal M_T
\]

with data

\[
T=
\left(
V_T,
G_Q[V_T],
\mathcal C_\triangle(T)
\right)
\]

where

\[
V_T=\{a_0,a_1,a_2,a_3\}\subset V
\]

그리고 네개의 vertex는 서로 모두 다르다.

2.3 Tetrahedral boundary graph

모든 쌍 $(i\neq j)$에 대해 다음과 같다.

\[
\{a_i,a_j\}\in E
\]

그래서,

\[
G_Q[V_T]\cong K_4
\]

따라서 $T$-motif는 tetrahedral boundary graph이다.

\[
T \text{ is a } K_4\text{ boundary motif.}
\]

2.4 Tetrahedral geometric nondegeneracy

네 개의 기하학적 점은 하나의 평면에 놓이지 않아야 하며 affine span이 3차원이어야 한다. 즉, 3차원 공간에서 비퇴화(nondegenerate) 상태여야 한다:

\[
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(a_0),\rho(a_1),\rho(a_2),\rho(a_3)\}
=3
\]

$T$의 모든 edge들은 primitive bonds이므로 6개 모든 edge 길이는 $\ell_Q$이다.

따라서 $T$의 geometric realization은 regular tetrahedral boundary graph이다.
그러나

\[
T\neq\text{filled tetrahedron}
\]

2.5 Tetrahedral triangular boundary cycles

$(T)$-모티프는 정확히 4개의 구별된 삼각형 경계 사이클을 가진다.

각 $(i=0,1,2,3)$에 대해, 만약

\[
V_T\setminus\{a_i\} = \{a_j,a_k,a_l\},
\]

라면 다음을 정의한다.

\[
C_\triangle^{(i)} = [a_j,a_k,a_l]_{D_3}
\]

그러면

\[
\mathcal C_\triangle(T) =
\left\{
C_\triangle^{(0)},
C_\triangle^{(1)},
C_\triangle^{(2)},
C_\triangle^{(3)}
\right\}
\]

이고

\[
\mathcal C_\triangle(T)\subseteq\mathcal C_\triangle
\]

이다. 따라서

\[
|\mathcal C_\triangle(T)|=4
\]

이며

\[
T\sim 4C_\triangle
\]

이다. 여기서 $(\sim)$는 경계 사이클 결합(incidence) 분해를 의미하며 채워진 면으로의 분해를 뜻하지 않는다.

2.6 No primitive square inside (T)

$(K_4)$ 내부의 모든 4-사이클은 현(chord)을 가진다.
따라서 $(T)$-모티프는 내부에 원시 현 없는(chordless) 정사각형 경계 사이클을 포함하지 않는다.

\[
\mathcal C_\square(T)=\varnothing
\]

그러므로,

\[
T\sim 4C_\triangle,
\qquad
T\not\sim C_\square
\]

2.7 Octahedral boundary motif

$(O)$-모티프는 다음 데이터를 가지는 원소 $O\in\mathcal M_O$ 이다.

\[
O=
\left(
V_O,
\mathcal P_O,
G_Q[V_O],
\mathcal C_\triangle(O),
\mathcal C_\square(O)
\right)
\]

여기서

\[
V_O =
\left\{
x_1^+,x_1^-,
x_2^+,x_2^-,
x_3^+,x_3^-
\right\}
\subset V
\]

이며 6개의 꼭짓점은 서로 다르다.

마주보는 쌍(opposite-pair) 구조는 다음과 같다.

\[
\mathcal P_O =
\left\{
\{x_1^+,x_1^-\},
\{x_2^+,x_2^-\},
\{x_3^+,x_3^-\}
\right\}
\]

2.8 Octahedral boundary graph

서로 다른 꼭짓점 $(x_i^\epsilon,x_j^\delta\in V_O)$에 대하여,

\[
\{x_i^\epsilon,x_j^\delta\}\in E
\quad\Longleftrightarrow\quad
i\neq j
\]

여기서

\[
i,j\in\{1,2,3\},
\qquad
\epsilon,\delta\in\{+,-\}
\]

따라서 마주보는 쌍은 에지가 아니다.

\[
\{x_i^+,x_i^-\}\notin E
\]

마주보지 않는 모든 쌍은 에지이다.

그러므로

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
\]

이것이 팔면체 경계 그래프이다.

2.9 Octahedral geometric realization

중심점

\[
c\in\mathbb{R}^3
\]

과 정규직교 공간 프레임

\[
(u_1,u_2,u_3)
\]

이 존재하여 다음을 만족한다.

\[
\rho(x_i^\pm) = c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}u_i
\]

$(i\neq j)$에 대하여 거리는

\[
|\rho(x_i^\epsilon)-\rho(x_j^\delta)|=\ell_Q
\]

이며, 마주보는 쌍의 거리는

\[
|\rho(x_i^+)-\rho(x_i^-)|=\sqrt{2}\ell_Q
\]

이다. 따라서 $(O)$의 기하학적 실현은 정팔면체 경계 그래프이다.

하지만 채워진 팔면체는 아니다.

\[
O\neq\text{filled octahedron}
\]

2.10 Three orthogonal square boundary cycles of (O)

$(O)$-모티프는 3개의 구별된 정사각형 경계 사이클을 가진다.

\[
C_\square^{(1)} = [x_2^+,x_3^+,x_2^-,x_3^-]_{D_4}
\]

\[
C_\square^{(2)} = [x_1^+,x_3^+,x_1^-,x_3^-]_{D_4}
\]

\[
C_\square^{(3)} = [x_1^+,x_2^+,x_1^-,x_2^-]_{D_4}
\]

이들은 각각 다음 평면에 놓여 있다.

\[
c+\operatorname{span}(u_2,u_3)
\]

\[
c+\operatorname{span}(u_1,u_3)
\]

\[
c+\operatorname{span}(u_1,u_2)
\]

따라서 이들은 서로 직교하는 정사각형 경계 사이클이다.

\[
\mathcal C_\square(O) =
\left\{
C_\square^{(1)},C_\square^{(2)},C_\square^{(3)}
\right\}
\subseteq
\mathcal C_\square
\]

그러므로

\[
O\sim 3C_\square^\perp
\]

2.11 Eight triangular boundary cycles of (O)

각 $(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3$에 대하여, 다음을 정의한다.

\[
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3} = [x_1^{\epsilon_1},x_2^{\epsilon_2},x_3^{\epsilon_3}]_{D_3}
\]

그러면

\[
\mathcal C_\triangle(O) =
\left\{
C_\triangle^{\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3}
:
(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\in\{+,-\}^3
\right\}
\subseteq
\mathcal C_\triangle
\]

따라서

\[
|\mathcal C_\triangle(O)|=8
\]

이며

\[
O\sim 8C_\triangle
\]

이다.

2.12 O-motif incidence decomposition

$(O)$-모티프는 두 가지 경계 사이클 결합(incidence) 분해를 동시에 가진다.

\[
O\sim 3C_\square^\perp
\]

그리고

\[
O\sim 8C_\triangle
\]

그러므로,

\[
O\sim 3C_\square^\perp\sim 8C_\triangle
\]

이것은 채워진 면이나 채워진 부피 분해가 아니다. 하나의 팔면체 경계 그래프가 3개의 구별된 직교 정사각형 경계 사이클과 8개의 구별된 삼각형 경계 사이클을 지닌다는 것을 의미한다.

2.13 O-square edge incidence proposition

모든 $(O)$-모티프에 대하여,

\[
E(O) = E(C_\square^{(1)}) \sqcup E(C_\square^{(2)}) \sqcup E(C_\square^{(3)})
\]

따라서 3개의 O-정사각형 사이클은 12개의 O-에지를 정확히 한 번씩 덮는다(cover).

동등하게 표현하면,

\[
\forall e\in E(O),
\qquad
\#\{C_\square\in\mathcal C_\square(O)\:e\in E(C_\square)\}=1
\]

이다.

2.14 O-triangle edge incidence proposition

모든 $(O)$-에지에 대하여,

\[
\forall e\in E(O),
\qquad
\#\{C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(O)\:e\in E(C_\triangle)\}=2
\]

따라서 팔면체 경계 그래프의 각 에지는 정확히 두 개의 삼각형 경계 사이클에 속한다.

2.15 Motif cycle families

$(T)$-모티프의 경우,

\[
\mathcal C(T)=\mathcal C_\triangle(T)
\]

$(O)$-모티프의 경우,

\[
\mathcal C(O) = \mathcal C_\triangle(O)\cup\mathcal C_\square(O)
\]

따라서, 만약 $(T)$-모티프와 $(O)$-모티프가 구별된 원시 경계 사이클을 공유한다면, 그 공유된 사이클은 반드시 삼각형이어야 한다.

\[
C\in\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)
\quad\Longrightarrow\quad
C\in\mathcal C_\triangle
\]

그러므로 정사각형 경계 사이클은 T/O 사이클 수준의 인터페이스가 될 수 없다.

\[
C_\square\text{ is not a T/O interface cycle}
\]

이 진술은 $(T)$와 $(O)$가 꼭짓점이나 에지를 공유하는 것을 금지하지 않는다. 단지 구별된 원시 경계 사이클을 공유하는 경우만을 제한하는 것이다.

2.16 Vertex-induced motif overlap and non-interpenetration

Qaether motif는 독립적인 filled 3-cell이 아니라 vertex set과 그 induced boundary incidence로 정의된다. 따라서 서로 다른 motif들은 shared Qaether vertices로부터 유도되는 방식으로 vertex, edge, 또는 허용된 primitive cycle을 공유할 수 있다.

motif의 geometric interpenetration 여부만을 판정하기 위해 다음 auxiliary convex carrier를 정의한다.

\[
H(M):=\operatorname{conv}(\rho(V_M)),
\qquad
M\in\mathcal M_T\cup\mathcal M_O.
\]

중요하게도 $H(M)$은 Qaether ontology에 새로운 filled cell을 추가하지 않는다.

\[
H(M)=\text{auxiliary geometric admissibility carrier, not an ontological 3-cell.}
\]

서로 다른 motifs $M,N$의 geometric contact는 shared Qaether vertices에서 induced되어야 한다. 이를 다음 compatibility condition으로 둔다.

\[
H(M)\cap H(N)
=
\operatorname{conv}(\rho(V_M\cap V_N)).
\]

여기서 convention은

\[
\operatorname{conv}(\varnothing):=\varnothing.
\]

이다. 따라서 shared vertex가 전혀 없는 두 motif의 auxiliary carriers는 서로 만나지 않으며 vertex/edge/cycle 공유가 있는 경우 그 geometric intersection은 shared Qaether vertex set이 생성하는 carrier에 의해 결정된다.

또한 서로 다른 motif의 3-dimensional interiors는 겹칠 수 없다.

\[
\operatorname{int}H(M)
\cap
\operatorname{int}H(N)
=
\varnothing.
\]

이를 motif non-interpenetration axiom이라 부른다.

motif overlap과 Part III의 reference order를 동일한 표기로 비교하기 위해, 각 primitive edge $e\in E$에 대한 motif-incidence multiplicities를

\[
N_T(e)
:=
\#\{T\in\mathcal M_T:e\in E(T)\},
\]

\[
N_O(e)
:=
\#\{O\in\mathcal M_O:e\in E(O)\}
\]

로 정의한다. $e=\{v,w\}$를 포함하는 motif의 나머지 vertices는 $v,w$의 finite neighbor sets에서 선택되어야 하고 각 motif의 vertex 수가 유한하므로, 한 edge 주변에서 가능한 motif incidence 역시 유한하다. Part III의 $N_T(e)=N_O(e)=2$는 이 core-defined counting function에 적용되는 Euclidean reference criterion이지 v2.5의 전역 공리가 아니다.

따라서 v2.5의 motif overlap 원리는 다음과 같다.

\[
\text{shared vertex/edge/allowed cycle incidence is permitted,}
\]

\[
\text{but interior interpenetration is forbidden.}
\]

예를 들어 $T/O$가 하나의 primitive triangular cycle을 공유하는 경우 auxiliary hull들의 교집합은 그 세 shared realization points가 만드는 planar triangular carrier가 될 수 있다. 이 carrier는 overlap admissibility를 판정하기 위한 기하학적 집합일 뿐 Qaether ontology에 filled triangular face가 존재한다는 뜻이 아니다.

\[
\text{auxiliary carrier intersection}
\neq
\text{primitive filled face or volume}.
\]

Part III. T/O Euclidean Reference Geometry and Local-Order Criteria

3.1 Status and assumptions of Part III

Part III은 Qaether boundary-graph ontology 자체의 내부 정리가 아니라, 별도로 도입된 Euclidean reference layer이다.

\[
\text{Part III is a reference complex, not an ontological 3-cell layer.}
\]

여기서만 다음과 같은 보조 참조 상황을 고려한다.

edge length가 모두 $\ell_Q$인 regular tetrahedral cells와 regular octahedral cells
face-to-face 결합
내부 edge 주변이 manifold-like하게 하나의 완전한 $2\pi$ neighborhood를 형성
내부 vertex의 link가 $S^2$의 finite regular polygonal CW cellulation을 형성

이 가정 아래에서 얻은 정리를 Qaether motif network의 local-order benchmark로 사용한다.

\[
\text{reference-complex theorem}
\Longrightarrow
\text{Qaether admissibility / classification criterion}
\]

Qaether의 $T,O$ 자체는 여전히 filled 3-cells가 아니다.

3.2 Tetrahedron-only Euclidean obstruction

regular tetrahedron의 interior dihedral angle은

\[
\alpha_{\mathrm{tet}}
=
\arccos\left(\frac13\right)
\]

이다.

$\alpha_{\mathrm{tet}}/\pi$는 유리수가 아니다. 이를 짧게 확인할 수 있다. 만약 $\alpha_{\mathrm{tet}}/\pi\in\mathbb Q$라면 $z=e^{i\alpha_{\mathrm{tet}}}$는 root of unity이므로 algebraic integer이다. 그러면

\[
z+z^{-1}
=
2\cos\alpha_{\mathrm{tet}}
=
\frac23
\]

역시 algebraic integer여야 한다. 그러나 rational algebraic integer는 정수여야 하므로 $2/3$은 algebraic integer일 수 없다. 모순이다. 따라서

\[
\alpha_{\mathrm{tet}}/\pi\notin\mathbb Q
\]

따라서 어떤 정수 $m\ge1$에 대해서도

\[
m\alpha_{\mathrm{tet}}=2\pi
\]

가 성립하지 않는다.

그러므로 regular tetrahedra만으로 모든 내부 edge에서 정확한 $2\pi$ 각도 닫힘을 갖는 defect-free face-to-face Euclidean 3-complex는 만들 수 없다.

Qaether reference interpretation:

\[
T\text{-only regular Euclidean edge closure is obstructed.}
\]

이 진술은 boundary graph만으로부터의 curvature theorem이 아니라 Euclidean reference geometry에 대한 obstruction이다.

3.3 Mixed T/O edge-closure theorem

regular octahedron의 interior dihedral angle은

\[
\alpha_{\mathrm{oct}}
=
\arccos\left(-\frac13\right)
=
\pi-\alpha_{\mathrm{tet}}
\]

하나의 내부 edge 주변에 tetrahedron이 $m$개, octahedron이 $n$개 결합한다고 하자. 완전한 Euclidean edge closure는

\[
m\alpha_{\mathrm{tet}}
+n\alpha_{\mathrm{oct}}
=2\pi
\]

를 요구한다.

$\alpha_{\mathrm{oct}}=\pi-\alpha_{\mathrm{tet}}$를 대입하면

\[
(m-n)\alpha_{\mathrm{tet}}
=(2-n)\pi
\]

만약 $m\neq n$이면 $\alpha_{\mathrm{tet}}/\pi$가 유리수가 되어 모순이다. 따라서 $m=n$이고, 다시 식에 대입하면

\[
n\pi=2\pi
\]

그러므로

\[
m=n=2
\]

즉 위의 reference assumptions 아래에서 모든 defect-free 내부 edge는 정확히

\[
2T+2O
\]

의 incidence를 가진다.

Qaether에서는 이를 다음의 이상적 edge-count criterion으로 사용한다.

\[
N_T(e)=2,
\qquad
N_O(e)=2
\]

3.4 Cyclic edge types: TOTO and TTOO

$2T+2O$라는 multiset을 하나의 edge 주위에 cyclically 배치하면, 회전과 역순을 같은 cyclic type으로 볼 때 두 가지 adjacency type이 존재한다.

Alternating type:

\[
T-O-T-O
\]

이를 $TOTO$라 한다.

Clustered type:

\[
T-T-O-O
\]

이를 $TTOO$라 한다.

중요하게도,

\[
TTOO\text{ is not a Euclidean closure defect by itself.}
\]

$TTOO$도 $2T+2O$ 각도 닫힘을 만족한다. 따라서 geometrically defect-free T/O honeycomb에서도 clustered order가 나타날 수 있다.

Qaether v2.5에서는 다음처럼 용어를 분리한다.

\[
TOTO=
\text{alternating reference order}
\]

\[
TTOO=
\text{clustered non-alternating reference order}
\]

\[
\text{non-}2T+2O=
\text{Euclidean edge-closure defect relative to Part III}
\]

만약 이후의 Qaether dynamics가 TOTO를 특별히 선호하도록 정의된다면, 그때에 한해 TTOO를

\[
\text{alternation defect relative to a chosen TOTO-order functional}
\]

이라고 부를 수 있다. 이는 v2.5의 기하학적 정리가 아니라 향후 동역학적 선택이다.

3.5 Vertex-link reference structure

filled T/O reference complex의 내부 vertex $v$에 대해 link $\operatorname{Lk}(v)$를 취한다.

reference tetrahedron 하나는 link에 triangular face 하나를 기여한다.

\[
T\longrightarrow\triangle
\]

reference octahedron 하나는 square face 하나를 기여한다.

\[
O\longrightarrow\square
\]

따라서 $\operatorname{Lk}(v)$는 triangle-square spherical cellulation이다.

여기서 link face는 Qaether primitive filled face가 아니다. 이것은 Part III의 auxiliary reference complex에서만 나타나는 spherical face이다.

3.6 Reference local-counting theorem

모든 incident interior edge가 $2T+2O$ closure를 만족하고 $\operatorname{Lk}(v)$가 닫힌 구면 cellulation이라고 하자.

link에서

\[
V_L=f_0,
\qquad
E_L=f_1,
\qquad
t=f_2^\triangle,
\qquad
o=f_2^\square
\]

라 하자.

원래 complex의 하나의 edge는 link의 하나의 vertex에 대응한다. $2T+2O$ 조건 때문에 각 link vertex에는 triangle 두 개와 square 두 개가 incident한다. 따라서

\[
3t=2V_L
\]

및

\[
4o=2V_L
\]

이다.

각 link vertex의 valence는 $4$이므로

\[
2E_L=4V_L
\quad\Longrightarrow\quad
E_L=2V_L.
\]

구면 Euler relation

\[
V_L-E_L+t+o=2
\]

를 사용하면

\[
V_L-2V_L+\frac{2V_L}{3}+\frac{V_L}{2}=2,
\]

따라서

\[
V_L=12.
\]

그러므로

\[
E_L=24,
\qquad
t=8,
\qquad
o=6.
\]

즉

\[
(f_0,f_1,f_2)=(12,24,14)
\]

이고

\[
8\text{ triangles}+6\text{ squares}
\]

이다.

따라서 reference complex의 내부 vertex는

\[
t_v=8,
\qquad
o_v=6
\]

의 local cell count를 가진다.

중요한 caveat:

\[
(12,24,14)\text{ and }8\triangle+6\square
\text{ do not by themselves determine a unique link combinatorics.}
\]

즉 이 counting만으로 cuboctahedron을 자동 결론내리지는 않는다.

3.7 Cuboctahedral alternating reference order

Qaether v2.5은 standard tetrahedral-octahedral honeycomb의 vertex figure인 cuboctahedron을 특별한 alternating reference state로 선택할 수 있다.

이를 위해 단순 counting보다 강한 조건을 사용한다.

\[
\operatorname{Lk}(v)\cong\Sigma_{\mathrm{co}}
\]

where $\Sigma_{\mathrm{co}}$ is the cuboctahedral cellulation with

\[
12\text{ vertices},
\quad
24\text{ edges},
\quad
8\text{ triangular faces},
\quad
6\text{ square faces}.
\]

그 각 vertex에서 face sequence는 alternating

\[
3.4.3.4
\]

이다. 이는 원래 3D edge 주위의 $TOTO$ cyclic order에 대응한다.

그러나 v2.5에서는 다음의 논리적 함의를 무리하게 사용하지 않는다.

\[
TOTO\text{ at each edge}
\not\equiv
\text{a proved uniqueness theorem for the global link}
\]

대신 cuboctahedral local order를 검출할 때는 직접

\[
\operatorname{Lk}(v)\cong\Sigma_{\mathrm{co}}
\]

를 요구한다.

따라서 cuboctahedral state의 정확한 지위는

\[
\text{selected ideal alternating reference figure}
\]

이다.

3.8 Role of Part III in Qaether v2.5

Part III은 다음의 서로 다른 diagnostics를 제공한다.

\[
2T+2O\text{ edge-count test}
\]

\[
TOTO/TTOO\text{ cyclic-order classification}
\]

\[
\operatorname{Lk}(v)\cong\Sigma_{\mathrm{co}}
\text{ cuboctahedral-reference test}
\]

\[
\text{reference-complex defect classification}
\]

이 네 항목은 같은 명제가 아니다.

특히

\[
TTOO\neq\text{automatic geometric defect}
\]

이며,

\[
8T+6O\neq\text{automatic cuboctahedron}
\]

이다.

정확한 최종 지위는 다음과 같다.

\[
\text{T/O Euclidean geometry is an external local-order reference model for Qaether.}
\]

Part IV. Primitive Boundary Cycles

4.1 Cycle principle

원시 사이클은 경계 사이클이며 채워진 면이 아니다.

\[
C_\triangle,C_\square=\text{boundary cycles (경계 사이클)}
\]

\[
C_\triangle,C_\square\neq\text{filled faces (채워진 면)}
\]

원시 사이클은 그래프의 모든 사이클을 의미하지 않는다. 그것은 선택된 물리적 경계 사이클이다.

\[
\mathcal C_\triangle,\mathcal C_\square
\text{ are distinguished subfamilies of graph cycles.}
\]

여기서 primitive cycle을 ``2D boundary closure''라고 부를 때의 2D는 intrinsic filled dimension이 아니라 planar realization condition을 가리킨다.

\[
\dim\operatorname{aff}\rho(V(C))=2
\]

가 primitive triangular/square cycle의 planar carrier condition이며 그 affine plane 안의 enclosed region 자체는 primitive structure가 아니다.

4.2 Unoriented boundary support

경계 결합 수준에서 원시 사이클은 방향이 없다(unoriented).

$(n)$-사이클 지지체(support)는 다음과 같다.

\[
C_n=[v_0,\dots,v_{n-1}]_{D_n}
\]

순환 회전(Cyclic rotations)은 동일하게 취급된다.

\[
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_1,v_2,\dots,v_0]
\]

역순(Reversal) 또한 경계 지지체 수준에서 동일하게 취급된다.

\[
[v_0,v_1,\dots,v_{n-1}] = [v_0,v_{n-1},\dots,v_1]
\]

따라서 경계 결합은 $(D_n)$-몫공간(quotient)을 사용한다.

\[
\text{boundary support level}=D_n\text{-quotient}
\]

4.3 Primitive triangular boundary cycle

원시 삼각형 경계 사이클은 다음과 같다.

\[
C_\triangle=[v_0,v_1,v_2]_{D_3}
\]

여기서 $(v_0,v_1,v_2)$는 서로 다르다.

그 에지 집합은 다음과 같다.

\[
E(C_\triangle) =
\left\{
\{v_0,v_1\},
\{v_1,v_2\},
\{v_2,v_0\}
\right\}
\]

그리고

\[
E(C_\triangle)\subseteq E
\]

기하학적 실현은 비퇴화되어야 한다.

\[
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2)\}
=2
\]

모든 에지의 길이는 $(\ell_Q)$이므로, $(C_\triangle)$는 정삼각형 경계 사이클이다.

하지만 채워진 삼각형 면은 아니다.

\[
C_\triangle\neq\text{filled triangular face}
\]

4.4 Primitive square boundary cycle

원시 정사각형 경계 사이클은 다음과 같다.

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

여기서 $(v_0,v_1,v_2,v_3)$는 서로 다르다.

그 에지 집합은 다음과 같다.

\[
E(C_\square) =
\left\{
\{v_0,v_1\},
\{v_1,v_2\},
\{v_2,v_3\},
\{v_3,v_0\}
\right\}
\]

그리고

\[
E(C_\square)\subseteq E
\]

4.5 Chordless square condition

원시 정사각형 경계 사이클은 graph-theoretically chordless이어야 한다.

\[
\{v_0,v_2\}\notin E
\]

\[
\{v_1,v_3\}\notin E
\]

따라서 원시 정사각형은 대각선 edge에 의해 두 개의 primitive triangle으로 분해되지 않는다.

다만 v2.5의 전체 square definition에서는 이 조건이 4.6의 diagonal-length condition과 1.7의 bond-length implication으로부터 이미 따라온다. 실제로

\[
|\rho(v_0)-\rho(v_2)|
=|\rho(v_1)-\rho(v_3)|
=\sqrt2\,\ell_Q>\ell_Q
\]

이므로, edge가 존재하면 반드시 길이가 $\ell_Q$여야 한다는 공리와 양립할 수 없다. 따라서 chordless condition은 논리적으로 redundant하지만 graph-level primitive-square criterion을 명시하기 위해 유지한다.

4.6 Genuine planar square condition

네 점은 평면상에 있어야 하며 비퇴화되어야 한다.

\[
\dim\operatorname{aff}
\{\rho(v_0),\rho(v_1),\rho(v_2),\rho(v_3)\}
=2
\]

평행사변형 중심 조건은 다음과 같다.

\[
\rho(v_0)+\rho(v_2) = \rho(v_1)+\rho(v_3)
\]

대각선 길이 조건은 다음과 같다.

\[
|\rho(v_0)-\rho(v_2)| = |\rho(v_1)-\rho(v_3)| = \sqrt{2}\ell_Q
\]

네 경계 에지는 접촉 척도 공리에 의해 길이 $(\ell_Q)$를 가진다.

따라서 $(C_\square)$는 완전한 평면형의 현 없는 정사각형 경계 사이클(genuine planar chordless square boundary cycle)이다.

하지만 채워진 정사각형 면은 아니다.

\[
C_\square\neq\text{filled square face}
\]

4.7 Square cycles belong to the O-sector

선택된 모든 원시 정사각형 경계 사이클은 적어도 하나의 $(O)$-모티프에 속한다.

\[
\forall C_\square\in\mathcal C_\square,
\quad
\exists O\in\mathcal M_O
\quad
\text{such that}
\quad
C_\square\in\mathcal C_\square(O)
\]

이 공리는 $(\mathcal C_\square)$ 안의 선택된 원시 정사각형 사이클에 적용되는 것이지, 부수적으로 생기는 모든 그래프 4-사이클에 적용되는 것이 아니다.

따라서,

\[
C_\square\text{ belongs to the O-sector (정사각형 사이클은 O-구역에 속한다)}
\]

반면에,

\[
\mathcal C_\square(T)=\varnothing
\]

이다.

4.8 Free-standing primitive triangular cycles

v2.5은 모든 primitive triangle이 반드시 $T$ 또는 $O$ motif에서 생성되어야 한다고 요구하지 않는다.

\[
C_\triangle\in\mathcal C_\triangle
\not\Longrightarrow
\exists M\in\mathcal M_T\cup\mathcal M_O:
C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(M).
\]

즉 free-standing primitive triangular boundary cycle을 허용한다.

각 $C\in\mathcal C_\triangle$에 대해 motif-incidence sets를

\[
I_T(C)
:=
\{T\in\mathcal M_T:C\in\mathcal C_\triangle(T)\},
\]

\[
I_O(C)
:=
\{O\in\mathcal M_O:C\in\mathcal C_\triangle(O)\}
\]

로 정의한다. 그러면 free-standing triangle은

\[
I_T(C)=I_O(C)=\varnothing
\]

인 primitive triangle이다.

이 자유도는 square sector와 의도적으로 비대칭이다. primitive square는 4.7에 의해 반드시 적어도 하나의 $O$-motif에 속하지만 primitive triangle은 standalone boundary closure로 존재할 수 있다.

4.9 Triangle cycles as T/O interfaces

$(T)$-모티프와 $(O)$-모티프는 구별된 원시 삼각형 경계 사이클을 공유할 수 있다.

\[
C_\triangle\in\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)
\]

이러한 경우, $(C_\triangle)$는 T/O 사이클 수준의 인터페이스이다.

하지만 정사각형 사이클은 T/O 사이클 수준의 인터페이스가 아니다.

\[
\mathcal C_\square\cap\mathcal C(T)\cap\mathcal C(O)=\varnothing
\]

4.10 Bond support axiom and equivalent form

모든 primitive bond는 적어도 하나의 selected primitive boundary cycle에 의해 지지되어야 한다.

\[
\forall e\in E,
\quad
\exists C\in
\mathcal C_\triangle\cup\mathcal C_\square
\quad\text{such that}\quad
e\in E(C).
\]

여기서

\[
E(C_\triangle)=\text{three boundary edges of }C_\triangle
\]

이고

\[
E(C_\square)=\text{four boundary edges of }C_\square.
\]

이 형태는 이전의

\[
C_\triangle\sqcup C_\square\sqcup\mathcal M_T\sqcup\mathcal M_O
\]

지원 조건과 동등하다. 그 이유는 motif의 모든 edge가 이미 motif의 distinguished cycle들에 포함되기 때문이다.

구체적으로 $T$의 각 edge는 정확히 두 개의 $T$-triangle에 속하고, $O$의 각 edge는 정확히 두 개의 $O$-triangle과 정확히 하나의 distinguished $O$-square에 속한다.

따라서

\[
\text{motif support}\Longrightarrow\text{selected cycle support}.
\]

이 공리는 $E$ 안에 아무 boundary structure에도 참여하지 않는 고립된 primitive bond가 존재하는 것을 금지한다.

Part V. Quaternionic Vertex State and Flat Induced Holonomy

5.1 Quaternionic vertex state

각 Qaether 꼭짓점은 단위 사원수 상태(unit quaternionic state)를 지닌다.

\[
q_v\in SU(2)\cong\mathbb H_1
\]

동등하게,

\[
q\:V\to SU(2)
\]

값 $(q_v)$는 내부 꼭짓점 상태이다.

이 단계에서, $(q_v)$ 자체만으로는 아직 스핀, 전하 또는 곡률을 정의하지 않는다.

5.2 Oriented edge set

그래프 에지는 방향이 없지만, 상대 위상을 정의하기 위해서는 방향을 가진 에지가 필요하다.

다음을 정의한다.

\[
E^{\mathrm{or}} = \{(v,w)\in V\times V:\{v,w\}\in E\}
\]

원소 $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$는 방향이 선택된 에지이다.

5.3 Relative quaternionic phase

$(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$에 대해 다음을 정의한다.

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

그러면

\[
h_{wv}=h_{vw}^{-1}
\]

이고

\[
h_{vw}\in SU(2)
\]

이다.

5.4 Edge phases are not independent link variables

상대 위상 $h_{vw}$는 꼭짓점 상태로부터 유도된다.

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

따라서 이것은 독립적인 링크 변수가 아니다.

\[
h_{vw}\text{ is not an independent gauge-link variable.}
\]

이 점이 독립적인 에지 변수를 가지는 격자 게이지 이론(lattice gauge theory)과 Qaether v2.5을 구분 짓는다.

5.5 Closed loop holonomy

다음을 닫힌 그래프 루프라고 하자.

\[
C=(v_0,v_1,\dots,v_n=v_0)
\]

여기서 모든 $(i)$에 대해

\[
\{v_i,v_{i+1}\}\in E
\]

를 만족한다.

에지에서 유도된 루프 홀로노미(edge-induced loop holonomy)를 다음과 같이 정의한다.

\[
h_C = h_{v_0v_1} h_{v_1v_2} \cdots h_{v_{n-1}v_0}
\]

다음을 사용하면,

\[
h_{v_iv_{i+1}} = q_{v_i}^{-1}q_{v_{i+1}},
\]

다음과 같이 연쇄 소거되어 상쇄된다.

\[
h_C = q_{v_0}^{-1}q_{v_1} q_{v_1}^{-1}q_{v_2} \cdots q_{v_{n-1}}^{-1}q_{v_0} = 1_{SU(2)}
\]

따라서 모든 닫힌 그래프 루프에 대해,

\[
h_C=1_{SU(2)}
\]

이다.

5.6 Flat vertex-induced connection

유도된 $SU(2)$ 상대 위상 층은 flat하다.

\[
\forall C\text{ closed graph loop},
\qquad
h_C=1_{SU(2)}.
\]

따라서 더 정확한 표현은

\[
\text{the vertex-induced }SU(2)\text{ discrete connection has zero holonomy curvature.}
\]

이다.

이 명제는 graph-theoretic curvature, metric curvature, motif frustration, 또는 향후 구조적 parity가 모두 0이라는 뜻이 아니다. 오직

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

로 정의된 induced connection의 loop holonomy가 trivial하다는 뜻이다.

5.7 Ordered vertex-cycle product and noncommutativity

edge holonomy와 vertex product를 엄밀히 구분하기 위해, vertex product는 unoriented $D_n$-support $C$ 자체 위에 직접 정의하지 않는다.

먼저 하나의 ordered cyclic representative를 잡는다.

\[
\widetilde C=(v_0,v_1,\dots,v_{n-1}).
\]

이에 대해 ordered vertex-cycle product를

\[
P_{\widetilde C}
:=
q_{v_0}q_{v_1}\cdots q_{v_{n-1}}
\in SU(2)
\]

로 정의할 수 있다.

이 양은 edge holonomy가 아니다.

\[
P_{\widetilde C}\neq h_C
\quad\text{in general.}
\]

$SU(2)$는 비가환이므로 시작 vertex를 바꾸면 product 자체는 일반적으로 변한다. 한 번의 cyclic shift

\[
\sigma\widetilde C=(v_1,\dots,v_{n-1},v_0)
\]

에 대해

\[
P_{\sigma\widetilde C}
=
q_{v_0}^{-1}P_{\widetilde C}q_{v_0}.
\]

따라서 cyclic shift에 대해 자연스럽게 well-defined한 것은 product 자체가 아니라 그 conjugacy data이다.

예를 들어

\[
[P_{\widetilde C}]_{\mathrm{conj}}
\]

또는 fundamental representation에서

\[
\operatorname{Tr}(P_{\widetilde C})
\]

는 시작점 선택에 무관하다.

반면 reversal

\[
\widetilde C^{\mathrm{rev}}
=(v_0,v_{n-1},\dots,v_1)
\]

에 대해서는 일반적으로

\[
P_{\widetilde C^{\mathrm{rev}}}
\neq
P_{\widetilde C},
\qquad
P_{\widetilde C^{\mathrm{rev}}}
\neq
P_{\widetilde C}^{-1}
\]

이다.

따라서 unoriented boundary support $[v_0,\dots,v_{n-1}]_{D_n}$ 위에

\[
\Pi_C=\prod q_v
\]

를 아무 추가 구조 없이 정의하는 것은 well-defined하지 않다.

향후 triangular parity 같은 양을 정의하려면 최소한 다음 중 하나가 추가되어야 한다.

- an oriented/ordered lift
- a motif frame selecting an order
- a conjugacy-invariant observable
- a central-value condition with an explicit reversal law

특히

\[
P_{\widetilde C}=\pm1
\]

이면 $\pm1$이 $SU(2)$의 중심이므로 cyclic starting-point change에는 invariant이다. 그러나 reversal invariance는 별도로 증명하거나 공리화해야 한다.

5.8 Vertex product versus flat edge holonomy

ordered vertex-cycle product가 어떤 frame에서

\[
P_{\widetilde C}=-1
\]

을 만족하더라도,

\[
h_C=1
\]

이라는 flat-holonomy theorem과 모순되지 않는다.

그 이유는 두 양의 정의가 다르기 때문이다.

\[
h_C
=
\prod_{\text{oriented edges}}q_v^{-1}q_w
\]

는 telescoping product이고,

\[
P_{\widetilde C}
=
\prod_{\text{ordered vertices}}q_v
\]

는 비가환 ordered product이다.

따라서

\[
P_{\widetilde C}\text{ data and }h_C\text{ data belong to different structural levels.}
\]

5.9 Role and scope of the $SU(2)$ vertex state

$SU(2)$ vertex state는 향후 구조를 구축하기 위한 내부 quaternionic layer를 제공한다.

가능한 future constructions에는 다음이 포함될 수 있다.

\[
\text{spinor-like sign structure}
\]

\[
\text{frame-dependent central parity}
\]

\[
\text{square phase ordering}
\]

\[
\text{motif compatibility defects}
\]

그러나 v2.5에서 $q$-layer로부터 실제로 유도된 핵심 정리는 다음뿐이다.

\[
\forall C\text{ closed},
\qquad
h_C=1_{SU(2)}.
\]

즉 v2.5은 아직 $q_v$만으로 spin, electric charge, color, triangular parity, 또는 gauge curvature를 정의하지 않는다.

Part VI. $C_4$-Oriented Square Sector

6.1 Motivation

경계 결합 수준에서 정사각형 지지체(support)는 방향이 없다.

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

이것은 순환 회전과 역순이 동일하게 취급된다는 뜻이다.

하지만 차후 도입될 카이랄, 극성, 와인딩, 또는 켤레 같은 구조들은 방향성을 요구한다.

따라서 v2.5은 방향을 가진 정사각형 이중 덮개(double cover)를 도입한다.

6.2 Oriented square lift

정사각형 지지체

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

에 대한 방향을 가진 $(C_4)$-올림(lift)은 다음과 같다.

\[
\vec C_\square = \langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\]

순환 회전은 동일시된다.

\[
\langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4} = \langle v_1,v_2,v_3,v_0\rangle_{C_4}
\]

\[
= \langle v_2,v_3,v_0,v_1\rangle_{C_4} = \langle v_3,v_0,v_1,v_2\rangle_{C_4}
\]

역순(Reversal)은 동일시되지 않는다.

\[
\langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\neq
\langle v_0,v_3,v_2,v_1\rangle_{C_4}
\]

6.3 Reversal

역순된 방향 정사각형을 다음과 같이 정의한다.

\[
-\vec C_\square
:=
\langle v_0,v_3,v_2,v_1\rangle_{C_4}
\]

그러면

\[
-(-\vec C_\square)=\vec C_\square
\]

따라서 각 방향 없는 정사각형 지지체는 정확히 두 개의 방향을 가진 올림을 가진다.

\[
\operatorname{Or}(C_\square) = \{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
\]

6.4 Oriented square double cover

$\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$는 새로운 independent degrees of freedom가 아니다. 이들은 unoriented support family $\mathcal C_\square$와 subgroup relation $C_4<D_4$로부터 canonical하게 구성된다.

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\text{ and }
\pi_\square
\text{ are canonical derived components determined by }
\mathcal C_\square.
\]

전체 방향 정사각형 구역(sector)은 다음과 같다.

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square) = \bigsqcup_{C_\square\in\mathcal C_\square} \operatorname{Or}(C_\square)
\]

방향성을 잊는 사영을 적용하면 다음과 같다.

\[
\pi_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\mathcal C_\square
\]

이때

\[
\pi_\square(\vec C_\square) = \pi_\square(-\vec C_\square) = C_\square
\]

이므로 다음이 성립한다.

\[
\pi_\square^{-1}(C_\square) = \{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
\]

6.5 $C_4$ rotations as equivalent descriptions

방향 정사각형 구역에서, $(C_4)$ 회전은 동일한 방향 정사각형 올림에 대한 동등한 설명이다.

\[
C_4\text{ rotations preserve the oriented square lift.}
\]
($C_4$ 회전은 방향 정사각형 올림을 보존한다.)

이것은 방향을 보존하는 재명명(relabeling) 동치이다.

$SU(2)$ 게이지 이론과의 혼동을 피하기 위해, 이를 독립적인 게이지 대칭으로 부르지 않는 것이 좋다. 이는 단순히 동일한 방향 정사각형을 따라 다른 시작 꼭짓점을 식별하는 것일 뿐이다.

6.6 Reversal as a structural involution

방향 정사각형 sector에서 reversal은 quotient로 제거되지 않는다.

\[
\iota_\square:
\vec C_\square\mapsto-\vec C_\square
\]

그리고

\[
\iota_\square^2=\mathrm{id}.
\]

따라서 v2.5에서 엄밀히 정의된 것은 orientation-reversal involution이다.

\[
\text{reversal}=
\text{structural conjugation involution}
\]

"physical conjugation"이라는 더 강한 해석은 아직 자동으로 따라오지 않는다. 향후 observable $X$가 예를 들어

\[
X(-\vec C_\square)=-X(\vec C_\square)
\]

또는 그에 상응하는 conjugation law를 만족하도록 정의될 때, 그때 reversal에 물리적 conjugation 의미를 부여할 수 있다.

따라서 현재 단계의 정확한 원리는

\[
\text{boundary incidence is unoriented, while the square structural lift retains orientation.}
\]

6.7 $D_4$ support versus $C_4$ oriented sector

두 가지 뚜렷한 수준이 존재한다.

경계 지지체 수준(Boundary support level):

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

여기서는 회전과 반사/역순이 모두 동일시된다.

방향 구조 수준(Oriented structural level):

\[
\vec C_\square = \langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\]

여기서는 회전만 동일시된다. 역순은 구분되어 남는다.

따라서,

\[
\text{boundary support}\:D_4\text{-quotient (경계 지지체: }D_4\text{-몫)}
\]

\[
\text{oriented square sector}\:C_4\text{-quotient (방향 정사각형 구역: }C_4\text{-몫)}
\]

6.8 Distinct-label counting caveat

만약 4개의 레이블이 모두 다르고 정사각형 위에서 자유롭게 순열이 가능하다면, 전체 $(D_4)$-몫은 다음 클래스 개수를 준다.

\[
\frac{4!}{8}=3
\]

하지만 방향성을 가진 $(C_4)$-몫은 다음 클래스 개수를 준다.

\[
\frac{4!}{4}=6
\]

따라서,

\[
D_4\text{ three-class counting applies only when reflections are quotiented.}
\]
($D_4$의 3-클래스 카운팅은 반사가 몫으로 처리될 때만 적용된다.)

$(C_4)$ 방향 정사각형 구역에서 역순은 몫으로 처리되지 않으며 구조적 reversal involution으로 남는다.

이 카운팅은 4개의 구별되는 레이블과 자유 대칭 작용을 가정한다. 레이블이 반복되거나 추가적인 제약이 부과되면 카운팅이 달라질 수 있다.

6.9 Preparation for later square polarity

v2.5은 아직 정사각형 극성 $(n_\square)$를 정의하지 않는다. 그러한 극성이 나중에 정의될 수 있도록 정의역을 준비할 뿐이다.

나중에 다음과 같이 정의될 수 있다.

\[
n_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\{-1,0,+1\}
\]

역순 법칙(reversal law)은 다음과 같다.

\[
n_\square(-\vec C_\square) = -n_\square(\vec C_\square)
\]

하지만 이것은 향후 구조적 전하 구역에 속하며 현재의 v2.5 핵심에는 속하지 않는다.

6.10 Final principle of Part VI

Part VI의 중심 원리는 다음과 같다:

\[
\text{Boundary incidence is unoriented.}
\]
(경계 결합은 방향이 없다.)

\[
\text{Square structural polarity/chirality sector is oriented.}
\]
(정사각형 구조적 극성/카이랄 구역은 방향을 가진다.)

따라서 동일한 정사각형 지지체 $(C_\square)$는 하나의 경계 결합 정체성을 가지지만, 두 개의 방향을 가진 구조적 올림(lifts)을 지닌다.

\[
C_\square
\quad\leadsto\quad
\{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
\]

이를 통해 v2.5은 향후 polarity/chirality observable을 정의할 수 있는 방향 구조를 준비하면서 동시에 boundary-graph ontology를 보존한다.

Part VII. Logical Closure and Consistency Status

7.1 Primitive and canonical-derived data

Qaether v2.5의 independent primitive mathematical data는

\[
\mathcal D_{\mathrm{prim}}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

이다.

여기에 simple-graph condition, exclusion/contact condition, motif definitions, cycle definitions, O-sector square condition, free-triangle permission, bond-support condition, 그리고 motif non-interpenetration condition이 붙는다.

한편

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\quad
\pi_\square
\]

는 $\mathcal C_\square$로부터 canonical하게 유도되는 components이다. 따라서 full displayed configuration은 편의상

\[
\mathcal Q_{2.5}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

로 쓰되 $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$를 독립 자유도로 세지 않는다.

7.2 Derived propositions inside the v2.5 core

다음 명제들은 별도의 Qaether 물리 가정이 아니라, v2.5의 정의와 공리 및 표준적인 유클리드 기하·그래프 이론의 결과로부터 유도된다.

T-motif cycle structure

모든 $T\in\mathcal M_T$에 대하여,

\[
G_Q[V_T]\cong K_4
\]

이고 $\mathcal C_\triangle(T)$는 $V_T$의 세 꼭짓점 부분집합들에 대응하는 네 개의 삼각형 경계 사이클로 정의되므로,

\[
|\mathcal C_\triangle(T)|=4
\]

이다.

또한 $K_4$의 모든 $4$-cycle에는 chord가 존재하므로,

\[
\mathcal C_\square(T)=\varnothing.
\]

따라서

\[
T\sim4C_\triangle
\]

이다.

O-motif cycle structure

모든 $O\in\mathcal M_O$에 대하여,

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}.
\]

세 opposite pair 각각에서 하나의 꼭짓점을 선택하면 하나의 distinguished triangular boundary cycle이 결정되므로,

\[
|\mathcal C_\triangle(O)|=2^3=8.
\]

또한 $K_{2,2,2}$에서 두 part를 선택하여 얻는 세 $K_{2,2}$ subgraph가 정확히 세 개의 primitive chordless square support를 결정하므로,

\[
|\mathcal C_\square(O)|=3.
\]

따라서

\[
O\sim3C_\square^\perp\sim8C_\triangle.
\]

O-motif edge incidence

세 distinguished square cycles는 $O$-motif의 12개 edge를 서로 중복 없이 정확히 한 번씩 덮는다.

\[
E(O)
=
\bigsqcup_{i=1}^{3}
E(C_\square^{(i)}).
\]

따라서 모든 $e\in E(O)$에 대하여,

\[
\#\left\{
C_\square\in\mathcal C_\square(O)
:
e\in E(C_\square)
\right\}
=1.
\]

또한 모든 $O$-edge는 정확히 두 개의 distinguished triangular boundary cycles에 속하므로,

\[
\#\left\{
C_\triangle\in\mathcal C_\triangle(O)
:
e\in E(C_\triangle)
\right\}
=2.
\]

Geometric local finiteness and countability

uniform exclusion condition

\[
\ell_Q>0,
\qquad
v\neq w
\Longrightarrow
|\rho(v)-\rho(w)|\ge\ell_Q
\]

으로부터 $\rho(V)\subset\mathbb R^3$는 uniformly discrete하다.

따라서 모든 compact $K\Subset\mathbb R^3$에 대하여,

\[
|\rho^{-1}(K)|<\infty.
\]

즉 geometric realization은 locally finite이다.

또한 $\mathbb R^3$는 countably many compact bounded regions로 덮을 수 있으므로,

\[
|V|\le\aleph_0.
\]

Vertex degree bound

uniform exclusion condition과 primitive contact condition

\[
\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\]

을 함께 사용하면, 한 vertex $v$의 모든 neighbor는 중심 $\rho(v)$에서 거리 $\ell_Q$에 있으며 서로 간 거리도 최소 $\ell_Q$이다.

따라서 3차원 kissing-number bound에 의해,

\[
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)\le12.
\]

Flat vertex-induced $SU(2)$ holonomy

모든 oriented edge $(v,w)\in E^{\mathrm{or}}$에 대하여

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

이므로, 임의의 closed graph loop

\[
C=(v_0,v_1,\ldots,v_n=v_0)
\]

에 대해

\[
h_C
=
h_{v_0v_1}
h_{v_1v_2}
\cdots
h_{v_{n-1}v_0}
\]

는 연쇄적으로 소거된다.

따라서

\[
h_C=1_{SU(2)}
\qquad
\text{for every closed graph loop }C.
\]

즉 vertex-induced relative-phase connection은 flat하다.

Canonical oriented-square double cover

모든 primitive square support

\[
C_\square\in\mathcal C_\square
\]

는 네 개의 서로 다른 꼭짓점을 가지며 boundary-support level에서는 $D_4$-quotient로 정의된다.

방향을 보존하는 cyclic relabeling만 quotient하면 정확히 두 개의 $C_4$-oriented lifts가 남는다.

따라서

\[
\operatorname{Or}(C_\square)
=
\{\vec C_\square,-\vec C_\square\}
\]

이고

\[
\left|
\pi_\square^{-1}(C_\square)
\right|
=2.
\]

전체적으로,

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
=
\bigsqcup_{C_\square\in\mathcal C_\square}
\operatorname{Or}(C_\square)
\]

와

\[
\pi_\square:
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\to
\mathcal C_\square
\]

는 $\mathcal C_\square$로부터 canonical하게 결정된다.

따라서

\[
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)
\text{ and }
\pi_\square
\text{ are canonical derived components determined by }
\mathcal C_\square,
\text{ not independent degrees of freedom.}
\]

isolated or disconnected Qaether sectors의 허용, free-standing primitive triangular cycles의 허용, 그리고 motif-carrier non-interpenetration 조건은 위의 derived propositions가 아니라 v2.5에서 명시적으로 선택된 admissibility principles이다.

이들은 Part III의 Euclidean $T/O$ reference-order criteria와 독립적이다.

7.3 External reference results

다음은 Qaether ontology 단독의 내부 정리가 아니다.

\[
2T+2O\text{ Euclidean edge closure}
\]

\[
TOTO/TTOO\text{ cyclic reference type}
\]

\[
8T+6O\text{ spherical-link counting}
\]

\[
\Sigma_{\mathrm{co}}\text{ cuboctahedral reference state}
\]

이들은 Part III의 auxiliary filled-cell reference complex에서 얻어져 Qaether motif network의 benchmark로 사용된다.

7.4 Explicit finite consistency witness

현재 공리들이 서로 양립 가능한지 확인하기 위해 하나의 명시적 finite model을 만들 수 있다.

먼저 다음 네 점을 regular tetrahedral set으로 잡는다.

\[
\begin{aligned}
\rho(a_0)&=(0,0,0),\\
\rho(a_1)&=(\ell_Q,0,0),\\
\rho(a_2)&=\left(\frac{\ell_Q}{2},\frac{\sqrt3\,\ell_Q}{2},0\right),\\
\rho(a_3)&=\left(\frac{\ell_Q}{2},\frac{\sqrt3\,\ell_Q}{6},\sqrt{\frac23}\,\ell_Q\right).
\end{aligned}
\]

이 네 점의 모든 pairwise distance는 $\ell_Q$이다.

다음으로

\[
c=(10\ell_Q,0,0)
\]

를 잡고 standard orthonormal basis $(e_1,e_2,e_3)$에 대해

\[
\rho(x_i^\pm)=c\pm\frac{\ell_Q}{\sqrt2}e_i,
\qquad i=1,2,3
\]

로 regular octahedral set을 둔다. 이때 non-opposite pair의 거리는 $\ell_Q$이고 opposite pair의 거리는 $\sqrt2\,\ell_Q$이다. 또한 두 motif 사이의 최소 거리는 $\ell_Q$보다 훨씬 크다.

\[
V_T=\{a_0,a_1,a_2,a_3\},
\qquad
V_O=\{x_i^\pm:i=1,2,3\}
\]

\[
V=V_T\sqcup V_O.
\]

$E$는 $T$ 내부의 여섯 edge와 $O$ 내부의 열두 edge만으로 둔다.

\[
E=E(T)\sqcup E(O)
\]

$\mathcal C_\triangle$에는 $T$의 네 triangle과 $O$의 여덟 triangle을 넣고,
$\mathcal C_\square$에는 $O$의 세 distinguished square를 넣는다. 각 square support에서 두 $C_4$ orientation class를 canonical하게 구성하여 $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$를 얻고, $\pi_\square$는 두 orientation을 원래 $D_4$ support로 보내는 canonical projection으로 둔다.

\[
\mathcal M_T=\{T\},
\qquad
\mathcal M_O=\{O\}.
\]

그리고 모든 vertex에서

\[
q_v=1_{SU(2)}
\]

로 둔다.

이 구성은 simple graph, injectivity, exclusion/contact scale, T/O motif geometry, selected-cycle conditions, O-square sector, bond support, motif non-interpenetration, canonical oriented-square double cover, flat induced holonomy를 동시에 만족한다.

따라서 표준 집합론과 Euclidean geometry를 배경으로 할 때 v2.5의 formal core에는 적어도 하나의 비자명한 model이 존재한다.

\[
\text{The v2.5 core is jointly satisfiable.}
\]

이는 물론 물리적 진실성을 증명하는 것이 아니라, 현재 공리계가 내부적으로 즉시 모순되는 체계는 아니라는 consistency witness이다.

7.5 Connected T/O interface consistency witness

2.16의 motif overlap axiom이 단지 서로 멀리 떨어진 motifs에서만 만족되는 것은 아니다. 하나의 primitive triangle을 실제로 공유하는 connected $T/O$ configuration도 명시적으로 만들 수 있다. 여기서는 계산 편의를 위해 $\ell_Q=1$로 둔다.

공유 triangle을

\[
A=(0,0,0),\quad
B=(1,0,0),\quad
C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right)
\]

로 놓는다. regular tetrahedral apex를

\[
D=
\left(
\frac12,
\frac{\sqrt3}{6},
\sqrt{\frac23}
\right)
\]

로 두면 $A,B,C,D$의 모든 pairwise distance는 $1$이다.

공유 triangle의 반대쪽에 regular octahedron의 중심을

\[
c=
\left(
\frac12,
\frac{\sqrt3}{6},
-\frac{\sqrt6}{6}
\right)
\]

로 두고

\[
A'=2c-A,
\qquad
B'=2c-B,
\qquad
C'=2c-C
\]

를 정의한다. 그러면

\[
V_O=\{A,B,C,A',B',C'\}
\]

는 regular octahedral vertex set이며 opposite pairs는

\[
\{A,A'\},\quad
\{B,B'\},\quad
\{C,C'\}
\]

이다. opposite distance는 $\sqrt2$, 모든 non-opposite distance는 $1$이다.

또한 tetrahedral apex와 새 octahedral vertices 사이에는

\[
|D-A'|=|D-B'|=|D-C'|=\sqrt3>1
\]

이므로 exclusion scale을 위반하지 않는다.

기하학적으로 tetrahedral carrier는 공유 plane $z=0$의 한쪽에, octahedral carrier는 반대쪽에 놓이며

\[
H(T)\cap H(O)
=
\operatorname{conv}\{A,B,C\}
\]

이고

\[
\operatorname{int}H(T)\cap\operatorname{int}H(O)=\varnothing.
\]

이제

\[
V=\{A,B,C,D,A',B',C'\}
\]

로 두고 $E$는 $T$와 $O$의 primitive edge sets의 합집합으로 둔다.

\[
E=E(T)\cup E(O).
\]

공유 triangle $[A,B,C]_{D_3}$의 세 edge는 하나의 simple-graph edge로만 존재한다. $\mathcal C_\triangle$에는 $T$와 $O$의 distinguished triangles를 넣고, $\mathcal C_\square$에는 $O$의 세 distinguished squares를 넣는다. $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$는 Part VI에 따라 canonical하게 구성하고 모든 vertex에서 $q_v=1_{SU(2)}$로 둔다.

그러면 bond support, square O-sector, flat induced holonomy까지 포함하여 v2.5의 core conditions가 모두 만족된다. 따라서 triangle-level $T/O$ interface는 contact/exclusion axiom과 motif non-interpenetration axiom을 동시에 만족하는 connected consistency witness를 실제로 갖는다.

여기서

\[
\operatorname{conv}\{A,B,C\}
\]

는 auxiliary carrier intersection이지 primitive filled face가 아니다.

7.6 Firewall for later layers

다음 양들은 아직 v2.5 core에 정의되지 않는다.

\[
n_\square,
\quad
Q_O,
\quad
\Pi_\triangle,
\quad
\kappa_\square
\]

또한 다음도 아직 정의되지 않는다.

- energy functional
- time-evolution law
- motif creation/annihilation rule
- defect dynamics
- continuum limit
- gravitational field equation
- quantum measurement rule
- Standard-Model identification

따라서 이후 층은 현재 정리와 충돌하지 않도록 별도의 definition/theorem chain으로 추가되어야 한다.

특히 future triangular parity는 Part V의 비가환 ordered-product caveat를 반드시 존중해야 하고, future square polarity는 Part VI의 reversal involution 위에서 정의되어야 한다.

v2.5 Formal Core Summary (공식 핵심 요약)

Qaether v2.5은 static boundary-graph foundation이다.

독립 primitive data는

\[
\mathcal D_{\mathrm{prim}}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right)
\]

이고, full displayed configuration은

\[
\mathcal Q_{2.5}
=
\left(
V,E,\rho,\ell_Q,q,
\mathcal C_\triangle,
\mathcal C_\square,
\operatorname{Or}(\mathcal C_\square),
\pi_\square,
\mathcal M_T,
\mathcal M_O
\right).
\]

여기서 $\operatorname{Or}(\mathcal C_\square)$와 $\pi_\square$는 $\mathcal C_\square$에 의해 canonical하게 결정되는 derived components이며 independent degrees of freedom가 아니다.

존재론적 core는

\[
\text{Qaether}=\text{vertex}
\]

\[
\text{primitive bond}=\text{edge}
\]

\[
\text{primitive structures are boundary structures}
\]

\[
\text{no filled faces, no filled volumes in the Qaether ontology}
\]

이다.

현재의 $\rho:V\to\mathbb R^3$는 auxiliary Euclidean vertex realization이다. v2.5은 graph-first ontology를 취하지만 Euclidean geometry 자체를 아직 graph에서 완전히 유도하지 않는다.

Contact/exclusion structure는

\[
|\rho(v)-\rho(w)|\ge\ell_Q
\quad(v\neq w)
\]

및

\[
\{v,w\}\in E
\Longrightarrow
|\rho(v)-\rho(w)|=\ell_Q
\]

를 만족한다. 역은 요구하지 않으므로 $E$는 full contact relation의 selected subgraph이다. edge는 unordered endpoint pair로 주어지는 primitive contact adjacency이며 별도의 embedded curve/path 자유도를 갖지 않는다.

uniform exclusion condition으로부터 geometric local finiteness와 countability가 유도되어

\[
|V|\le\aleph_0
\]

이고, uniform exclusion condition과 primitive contact condition을 함께 사용하면 3차원 kissing-number bound에 의해

\[
\forall v\in V,
\qquad
\deg(v)\le12
\]

이다.

primitive cycle의 ``2D boundary closure''는 cycle vertices가 하나의 2D affine plane 안에서 닫힌다는 뜻이며 filled planar region을 primitive object로 포함한다는 뜻이 아니다.

$T$-motif는

\[
G_Q[V_T]\cong K_4
\]

이고

\[
T\sim4C_\triangle,
\qquad
\mathcal C_\square(T)=\varnothing.
\]

$O$-motif는

\[
G_Q[V_O]\cong K_{2,2,2}
\]

이고

\[
O\sim3C_\square^\perp\sim8C_\triangle.
\]

각 $O$-edge는 정확히 두 distinguished triangles와 하나의 distinguished square에 속한다.

선택된 모든 primitive square는 O-sector에 속한다.

\[
\forall C_\square\in\mathcal C_\square,
\quad
\exists O\in\mathcal M_O:
C_\square\in\mathcal C_\square(O).
\]

반면 primitive triangle은 반드시 motif에 속할 필요가 없으므로 free-standing triangle을 허용한다.

모든 primitive bond는 적어도 하나의 selected primitive boundary cycle에 의해 지지된다.

\[
\forall e\in E,
\quad
\exists C\in\mathcal C_\triangle\cup\mathcal C_\square:
e\in E(C).
\]

isolated/disconnected Qaether sector도 금지되지 않는다. 다만 서로 다른 connected sectors 사이에는 primitive-incidence path가 없으므로 boundary-incidence layer에서 relationally inaccessible하다.

각 motif의 auxiliary carrier를

\[
H(M)=\operatorname{conv}(\rho(V_M))
\]

로 두면 distinct motifs는

\[
H(M)\cap H(N)=\operatorname{conv}(\rho(V_M\cap V_N))
\]

및

\[
\operatorname{int}H(M)\cap\operatorname{int}H(N)=\varnothing
\]

을 만족한다. 따라서 motif contact는 shared Qaether vertices에서 induced되며 interior interpenetration은 금지된다. 이 auxiliary hull은 filled-cell ontology를 추가하지 않는다.

각 vertex는

\[
q_v\in SU(2)
\]

상태를 갖고 oriented edge에는

\[
h_{vw}=q_v^{-1}q_w
\]

가 유도된다. 모든 closed graph loop에 대해

\[
h_C=1_{SU(2)}.
\]

따라서 이 induced discrete connection은 flat하다.

반면 ordered vertex-cycle product

\[
P_{\widetilde C}=q_{v_0}q_{v_1}\cdots q_{v_{n-1}}
\]

는 unoriented $D_n$ cycle support 위의 quantity가 아니며 시작점 변경 아래 conjugation되고 reversal에는 별도의 transformation law가 필요하다. 따라서 future $\Pi_\triangle$는 반드시 oriented/frame/conjugacy structure를 추가하여 정의해야 한다.

primitive square support는

\[
C_\square=[v_0,v_1,v_2,v_3]_{D_4}
\]

로 unoriented이지만 oriented structural lift는

\[
\vec C_\square=\langle v_0,v_1,v_2,v_3\rangle_{C_4}
\]

로 정의된다. 각 square support는 정확히 두 oriented lifts를 가진다.

\[
\operatorname{Or}(C_\square)=\{\vec C_\square,-\vec C_\square\}.
\]

reversal은

\[
\iota_\square(\vec C_\square)=-\vec C_\square,
\qquad
\iota_\square^2=\mathrm{id}
\]

인 structural involution이다. 이것을 physical conjugation으로 해석하려면 future observable의 transformation law가 추가되어야 한다.

Part III의

\[
\boxed{2T+2O}
\]

\[
\boxed{TOTO/TTOO}
\]

\[
\boxed{8T+6O}
\]

\[
\boxed{\Sigma_{\mathrm{co}}}
\]

는 boundary-graph ontology에서 자동으로 나오는 내부 정리가 아니라 Euclidean filled-cell reference complex에서 가져온 local-order criteria이다.

그 안에서도

\[
TTOO\neq\text{automatic Euclidean defect}
\]

이고

\[
8T+6O\neq\text{automatic cuboctahedral uniqueness}
\]

임을 명시한다.

v2.5 formal core는 서로 분리된 regular $T/O$ finite model뿐 아니라 하나의 primitive triangle을 공유하는 non-interpenetrating connected $T/O$ model도 명시적으로 갖는다. 따라서 표준 집합론과 Euclidean geometry를 배경으로 할 때 jointly satisfiable하다.

Final Statement

\[
\text{Qaether v2.5 is a consistent static boundary-graph foundation with auxiliary Euclidean realization.}
\]

\[
\text{It separates primitive data, canonical-derived components, derived propositions, and Euclidean reference criteria.}
\]

\[
\text{Its edges are selected contact adjacencies with no independent path degree of freedom.}
\]

\[
\text{Its primitive cycles are planar boundary closures, not filled faces.}
\]

\[
\text{Its motifs may share vertex-induced boundary incidence but may not geometrically interpenetrate.}
\]

\[
\text{Its vertex-induced }SU(2)\text{ connection is flat, while noncommutative vertex products require ordered/frame data.}
\]

\[
\text{Its square support is unoriented, while its structural square lift carries a }\mathbb Z_2\text{ reversal involution.}
\]

\[
\text{It permits free-standing primitive triangles and relationally inaccessible disconnected Qaether sectors.}
\]

\[
\text{It prepares but does not yet define }n_\square,Q_O,\Pi_\triangle,\kappa_\square,\text{ spin, charge, color, or dynamics.}
\]

\[
\text{Those belong to later structural and dynamical layers.}
\]

[v2.4] Q-CDT-O: Persistent $K_{2,2,2}$ Shell and Boundary-Exact Coherent Causal $S^2\times I$ Worldtube

Qaether Theory — Thu, 6 Aug 2026 23:17:29 +0900

0. 지위와 목적

본 모듈은 persistent-vertex Q-CDT 위에서 정의되는 causal shell worldtube의 최소 구조를 정의한다.

본 모듈에서는 O-motif를 정의하지 않는다.

따라서

$$
\mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing
$$

를 유지할 수 있다.

본 모듈의 기본 구조는 다음과 같다.

persistent vertex identity $\longrightarrow$ persistent $K_{2,2,2}$ pattern $\longrightarrow$ octahedral $S^2$ shell $\longrightarrow$ boundary-exact causal $S^2\times I$ worldtube

본 버전은 다음을 명시적으로 구분한다.

vertex identity persistence
graph-pattern persistence
spatial shell realization
boundary-exact causal relative-product transport
multi-sandwich worldtube gluing

특히 한 시간층에 $K_{2,2,2}$가 존재한다는 사실만으로 causal worldtube가 자동으로 형성되는 것은 아니다.

1. Persistent-vertex Q-CDT carrier

Q-CDT spacetime configuration을

$$
Q=(K,\tau,\lambda)
$$

로 둔다.

여기서 $K$는 finite causal simplicial spacetime complex이고,

$$
\tau:K^{(0)}
\longrightarrow
\{0,1,\ldots,N_\tau\}
$$

는 discrete time-layer function이다.

시간층 $n$의 simplicial vertex set은

$$
V_n= \{v\in K^{(0)}:\tau(v)=n\}
$$

이다.

persistent physical vertex identity의 유한 집합을 $\mathcal V_Q$라고 한다.

각 시간층마다

$$
\lambda_n:=\lambda|_{V_n}:V_n
\xrightarrow{\sim}
\mathcal V_Q
$$

가 bijection이라고 가정한다.

따라서

$$
|V_n|=|\mathcal V_Q|
\qquad
\forall n
$$

이는 단순한 vertex-number conservation보다 강하다.

각 physical vertex identity는 모든 시간층에서 정확히 하나의 simplicial representative를 갖는다.

2. Canonical identity transport

인접 시간층 사이의 canonical vertex transport를

$$
\iota_n=\lambda_{n+1}^{-1}\circ\lambda_n
:
V_n
\longrightarrow
V_{n+1}
$$

로 정의한다.

따라서

$$
\lambda_{n+1}(\iota_n(v))=\lambda_n(v)
$$

즉 $v$와 $\iota_n(v)$는 동일한 persistent physical vertex의 successive representatives이다.

여러 시간층 사이의 transport는

$$
\iota_{n\to m}=\iota_{m-1}\circ\cdots\circ\iota_n,
\qquad n<m
$$

으로 정의한다.

이 transport는 별도로 선택되는 graph matching이 아니라 persistent vertex identity에서 canonical하게 유도된다.

3. Causal realization of persistent identity

identity persistence와 causal connection은 구분한다.

본 worldtube support에 속하는 vertex들에 대해서는

$$
{v,\iota_n(v)}
\in E_t(S_n)
$$

를 요구한다.

따라서 해당 physical vertex는

$$
v^{(n_0)}
\to
v^{(n_0+1)}
\to
\cdots
\to
v^{(n_1)}
$$

이라는 discrete causal identity track을 갖는다.

이 timelike edge는 spatial Qaether bond를 의미하지 않는다.

$$
\text{identity timelike edge}
\neq
\text{spatial primitive bond}
$$

4. Persistent six-vertex support

persistent physical vertex set에서

$$
X =
\{
x_1^+,x_1^-,
x_2^+,x_2^-,
x_3^+,x_3^-
\}
\subset\mathcal V_Q
$$

를 선택한다.

각 시간층에서 corresponding representatives를

$$
X_n=
\lambda_n^{-1}(X)
\subset V_n
$$

로 둔다.

공간층의 spatial $1$-skeleton을

$$
G_n=
\operatorname{sk}_1(K_n)
$$

이라 한다.

$X_n$이 생성하는 induced spatial subgraph를

$$
H_n=
G_n[X_n]
$$

으로 정의한다.

induced condition은 $X_n$의 여섯 vertex 사이에 $G_n$에서 존재하는 모든 spatial edge를 $H_n$에 포함한다는 뜻이다.

5. Persistent $K_{2,2,2}$ pattern condition

physical six-vertex support $X$에 fixed opposite-pair matching

$$
P_X=
\left\{
{x_1^+,x_1^-},
{x_2^+,x_2^-},
{x_3^+,x_3^-}
\right\}
$$

을 둔다.

시간층 $n$에서 corresponding opposite pairs를

$$
P_{X,n}=
\left\{
\{
\lambda_n^{-1}(x_i^+),
\lambda_n^{-1}(x_i^-)
\}
:
i=1,2,3
\right\}
$$

로 정의한다.

어떤 discrete time interval

$$
I_N=\{n_0,n_0+1,\ldots,n_1\}
$$

에서

$$
E(H_n)=
\binom{X_n}{2}
\setminus P_{X,n}
\qquad
\forall n\in I_N
$$

을 요구한다.

따라서

$$
H_n\cong K_{2,2,2}
\qquad
\forall n\in I_N
$$

canonical identity transport는 graph incidence를 보존한다.

$$
{u,v}\in E(H_n)
\iff
{\iota_n(u),\iota_n(v)}
\in E(H_{n+1})
$$

따라서

$$
\iota_n|_{X_n}:H_n
\xrightarrow{\sim}
H_{n+1}
$$

은 canonical graph isomorphism이다.

이 조건을 persistent $K_{2,2,2}$ pattern condition이라 한다.

중요하게도

$$
\text{vertex identity persistence}
\not\Rightarrow
K_{2,2,2}\text{ pattern persistence}
$$

본 버전에서 pattern persistence는 causal-worldtube admissibility condition이다.

6. Auxiliary octahedral shell

$H_n\cong K_{2,2,2}$의 maximal clique는 모두 3-clique이다.

세 opposite pair 각각에서 하나의 vertex를 선택하므로 정확히

$$
2^3=8
$$

개의 triangular clique가 존재한다.

(H_n)의 (2)-dimensional clique complex를

$$
\widehat{\mathcal B}_n=
\operatorname{Cl}_2(H_n)
$$

로 정의한다.

그 maximal (2)-simplices는

$$
[x_1^{\epsilon_1},
x_2^{\epsilon_2},
x_3^{\epsilon_3}],
\qquad
\epsilon_i\in \{+,-\}
$$

따라서

$$
f_0=6,
\qquad
f_1=12,
\qquad
f_2=8
$$

이 complex는 octahedron boundary와 조합적으로 동형이다.

$$
\widehat{\mathcal B}_n
\cong
\partial\mathrm{Oct}
$$

따라서

$$
|\widehat{\mathcal B}_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

Euler characteristic

$$
6-12+8=2
$$

는 이 combinatorial identification의 consistency check이다.

7. Auxiliary shell과 Q-CDT spatial simplex의 구분

$\widehat{\mathcal B}_n$은 graph clique data에서 생성한 abstract simplicial complex이다.

따라서 $H_n\cong K_{2,2,2}$만으로 그 8개의 triangular clique가 실제 $K_n^{(2)}$에 속한다고 할 수 없다. 또한, $\widehat{\mathcal B}_n$은 primitive Qaether filled surface가 아니다.

이는 Q-CDT의 auxiliary simplicial carrier 위에서 정의되는 incidence object이다.

8. Shell-realization condition

worldtube를 실제 Q-CDT simplicial carrier 안에서 정의하기 위해

$$
\widehat{\mathcal B}_n
\hookrightarrow
K_n
$$

인 simplicial embedding이 존재한다고 요구한다.

이 embedding은 $H_n$의 vertex와 edge incidence를 그대로 보존한다.

동치로, 8개의 triangular clique 모두가 actual spatial triangles로 realization된다.

$$
\widehat{\mathcal B}_n^{(2)}
\subseteq
K_n^{(2)}
$$

그 realized image를

$$
\mathcal B_n
\subseteq
K_n
$$

이라 한다.

따라서

$$
\mathcal B_n
\cong
\partial\mathrm{Oct}
$$

이고

$$
|\mathcal B_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

9. Internal-shell status

$\mathcal B_n$은 공간층의 manifold boundary가 아니다.

기존 T-only Q-CDT에서는

$$
\partial K_n=\varnothing
$$

이므로

$$
\mathcal B_n
\not\subseteq
\partial K_n
$$

또한

$$
|K_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
\Sigma
$$

인 closed spatial topology를 그대로 유지한다.

따라서

$$
\mathcal B_n
= \text{embedded internal }S^2\text{-shell subcomplex}
$$

본 모듈에서는 puncture 또는 manifold-with-boundary spatial sector를 도입하지 않는다.

10. Shell identity transport

persistent graph transport는 shell의 simplicial incidence도 canonical하게 운반한다.

$$
F=[u,v,w]
\in
\mathcal B_n^{(2)}
$$

이면

$$
\iota_n(F)
=[\iota_n(u),\iota_n(v),\iota_n(w)]
\in
\mathcal B_{n+1}^{(2)}
$$

따라서

$$
\iota_n^{\mathcal B}
:
\mathcal B_n
\xrightarrow{\sim}
\mathcal B_{n+1}
$$

은 canonical simplicial isomorphism이다.

이는 별도로 선택한 shell matching이 아니라 persistent vertex identity에서 유도된다.

11. Boundary-exact coherent causal relative-product condition

shell identity가 존재한다는 것만으로 worldtube가 자동으로 형성되지는 않는다.

각 sandwich

$$
S_n
$$

안에 3-dimensional simplicial subcomplex

$$
W_n\subseteq S_n
$$

가 존재한다고 요구한다.

또한 다음 PL homeomorphism of triples가 존재해야 한다.

$$
\Psi_n:
\Bigl(
|\mathcal B_n|\times[0,1];
|\mathcal B_n|\times{0},
|\mathcal B_n|\times{1}
\Bigr)
\xrightarrow{\cong_{\mathrm{PL}}}
\Bigl(
|W_n|;
|W_n|\cap|K_n|,
|W_n|\cap|K_{n+1}|
\Bigr)
$$

이를 boundary-exact coherent causal relative-product condition이라 한다.

추가로 다음 endpoint identifications를 요구한다.

11.1 Lower boundary identification

모든

$$
x\in|\mathcal B_n|
$$

에 대해

$$
\Psi_n(x,0)=x
$$

따라서 정확히

$$
|W_n|\cap|K_n|=
|\mathcal B_n|
$$

$W_n$과 $K_n$은 동일한 ambient simplicial complex의 subcomplex이므로 동치로

$$
W_n\cap K_n=
\mathcal B_n
$$

11.2 Upper boundary identification

모든

$$
x\in|\mathcal B_n|
$$

에 대해

$$
\Psi_n(x,1)
= |\iota_n^{\mathcal B}|(x)
$$

따라서 정확히

$$
|W_n|\cap|K_{n+1}|
=|\mathcal B_{n+1}|
$$

동치로

$$
W_n\cap K_{n+1}
= \mathcal B_{n+1}
$$

11.3 Persistent-vertex compatibility

모든 shell vertex

$$
v\in V(\mathcal B_n)
$$

에 대해

$$
\Psi_n({v}\times[0,1])
=|{v,\iota_n(v)}|
$$

즉 product의 vertical vertex track은 persistent physical vertex의 identity timelike edge와 일치한다.

11.4 No extra spatial-slice contact

11.1과 11.2에 의해

$$
|W_n|
\cap
\left(
|K_n|\cup|K_{n+1}|
\right)=
|\mathcal B_n|
\sqcup
|\mathcal B_{n+1}|
$$

따라서 worldtube interior는 sandwich의 lower 또는 upper spatial slice와 추가적인 접촉을 갖지 않는다.

이 조건은 v-0.4에서 endpoint image만으로 암묵적으로 사용했던 boundary-intersection property를 명시적으로 닫는다.

12. Triangular prism PL subpolyhedra

각 $F\in\mathcal B_n^{(2)}$에 대해 corresponding prism piece의 geometric realization을

$$
|\Pi_{F,n}|
:=
\Psi_n
\bigl(
|F|\times[0,1]
\bigr)
\subseteq
|W_n|
$$

로 정의한다.

이를 triangular prism PL subpolyhedron이라 한다.

일반적인 CW5 history에서는

$|\Pi_{F,n}|$이 현재 선택된 triangulation의 simplicial subcomplex일 필요는 없다.

그러나 $\Psi_n$이 PL homeomorphism이므로

$$
|\Pi_{F,n}|
\cong_{\mathrm{PL}}
|F|\times[0,1].
$$

11절의 boundary-exact condition에 의해

$$
|\Pi_{F,n}|
\cap
|K_n|=|F|
$$

이고

$$
|\Pi_{F,n}|
\cap
|K_{n+1}|=|\iota_n^{\mathcal B}(F)|
$$

또한 두 shell triangles $(F,F')$에 대해 $\Psi_n$의 injectivity로부터

$$
|\Pi_{F,n}|
\cap
|\Pi_{F',n}|
=\Psi_n
\left(
(|F|\cap|F'|)
\times[0,1]
\right)
$$

특히

$$
F\cap F'=e
$$

가 공통 edge이면

$$
|\Pi_{F,n}|
\cap
|\Pi_{F',n}|
\cong_{\mathrm{PL}}
|e|\times[0,1]
$$

따라서 prism pieces의 incidence는 하나의 global product structure $\Psi_n$에 의해 coherent하게 고정된다.

필요하다면 적절한 common subdivision 후 이 PL subpolyhedra를 simplicial subcomplex로 표현할 수 있으나, 본 버전에서는 이를 worldtube 정의에 요구하지 않는다.

13. One-sandwich causal worldtube

11절의 relative-product condition으로부터 직접

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
|\mathcal B_n|\times[0,1]
$$

그리고

$$
|\mathcal B_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

이므로

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[0,1]
$$

따라서 $W_n$은 하나의 Q-CDT sandwich 안에서 정의되는 3-dimensional causal shell worldtube piece이다.

그 spatial intersections는 정확히

$$
W_n\cap K_n=\mathcal B_n,
\qquad
W_n\cap K_{n+1}=\mathcal B_{n+1}
$$

14. Graph worldsheet와 shell worldtube

$K_{2,2,2}$의 $1$-skeleton만 시간방향으로 운반하면

$$
|K_{2,2,2}|\times[0,1]
$$

을 얻는다.

이는 2-dimensional graph worldsheet이다.

반면 본 모듈에서는

$$
\mathcal B_n\cong S^2
$$

인 spatial shell 전체를 운반하므로

$$
S^2\times[0,1]
$$

인 3-dimensional causal worldtube를 얻는다.

따라서

$$
\text{graph worldsheet}
\neq
\text{causal shell worldtube}
$$

또한 $K_{2,2,2}$ graph의 단순 regular-neighborhood thickening을 $\mathcal B_n$과 동일시하지 않는다.

15. Multi-sandwich gluing

기존 Q-CDT sandwich structure에서

$$
S_{n-1}\cap S_n=K_n
$$

또한 11절에 의해

$$
W_{n-1}\cap K_n=
\mathcal B_n
$$

이고

$$
W_n\cap K_n=
\mathcal B_n
$$

그리고

$$
W_{n-1}\subseteq S_{n-1},
\qquad
W_n\subseteq S_n
$$

이므로

$$
W_{n-1}\cap W_n
\subseteq
S_{n-1}\cap S_n=K_n
$$

따라서

$$
W_{n-1}\cap W_n=\mathcal B_n
$$

즉 v-0.5에서는 successive worldtube intersection equality가 boundary-exact relative-product condition과 Q-CDT sandwich intersection에서 유도된다.

추가로 adjacent product structures가 intermediate shell의 동일한 persistent identity identification을 사용하도록 요구한다.

전체 worldtube history를

$$
W=\bigcup_{n=n_0}^{n_1-1}W_n
$$

으로 정의한다.

그러면 모든 intermediate slice에서

$$
W\cap K_n=\mathcal B_n
$$

successive relative-product structures를 canonical shell identification으로 gluing하면

$$
|W|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[n_0,n_1]
$$

따라서 $W$를 Q-CDT causal worldtube라고 한다.

16. T-motif number와의 독립성

본 worldtube condition은 전체 spatial tetrahedron 수의 보존을 요구하지 않는다.

시간층마다

$$
N_T(n)=N_3(K_n)
$$

은 변할 수 있다.

즉

$$
N_T(n+1)\neq N_T(n)
$$

를 허용한다.

보존되는 것은 전체 tetrahedral triangulation이 아니라 persistent six-vertex support와 그 realized shell의 causal history이다.

따라서

$$
N_V=\text{persistent},
\qquad
N_T=\text{dynamical}
$$

17. O-motif와의 독립성

본 모듈에서는

$$
H_n\cong K_{2,2,2}
$$

라는 사실만으로 (H_n)을 O-motif라고 부르지 않는다.

또한

$$
\mathcal B_n\cong\partial\mathrm{Oct}
$$

라는 사실만으로 O-sector를 도입하지 않는다.

따라서

$$
\mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing
$$

를 유지하면서 causal worldtube를 정의할 수 있다.

즉

$$
\text{Q-CDT causal worldtube}
\not\Rightarrow
O\text{-motif}
$$

추후 별도의 Qaether O-admissibility 조건을 만족하는 경우에만 해당 worldtube에 O-like 또는 O-motif interpretation을 부여할 수 있다.

18. Relabelling invariance

persistent physical vertex의 이름표 자체는 물리량이 아니다.

두 configurations 사이에 time-preserving simplicial isomorphism

$$
\varphi:K\to K'
$$

과 global persistent-identity relabelling

$$
\pi:\mathcal V_Q\to\mathcal V_Q'
$$

가 존재하여

$$
\tau'\circ\varphi=\tau
$$

및

$$
\lambda'\circ\varphi
= \pi\circ\lambda
$$

를 만족하면 동일한 relabelling class로 본다.

worldtube support 역시

$$
X\mapsto\pi(X)
$$

로 함께 운반한다.

따라서

$$
H_n\cong K_{2,2,2},
$$

$$
\mathcal B_n\cong S^2,
$$

$$
W_n\cong S^2\times I
$$

이라는 성질은 persistent relabelling에 대해 불변이다.

본 모듈에서는

$$
q_v,
\qquad
h_{vw},
\qquad
\text{independent internal link field}
$$

를 도입하지 않는다.

따라서 vertex persistence 또는 worldtube persistence를 표현하기 위해 별도의 timelike (SU(2)) 또는 (U(1)) gauge-link variable을 추가하지 않는다.

19. 최소 admissibility 조건

Q-CDT causal-worldtube history는 다음 조건을 만족하는 history로 정의한다.

CW5-A1. Persistent vertex identity

$$
\lambda_n:
V_n\xrightarrow{\sim}\mathcal V_Q.
$$

CW5-A2. Persistent six-vertex support

$$
X\subset\mathcal V_Q,
\qquad
|X|=6
$$

가 주어진 시간구간 전체에서 동일하다.

CW5-A3. Causal identity realization

$$
{v,\iota_n(v)}
\in E_t(S_n)
$$

가 모든

$$
v\in X_n
$$

에 대해 성립한다.

CW5-A4. Persistent $K_{2,2,2}$ pattern

$$
H_n
= G_n[X_n]
\cong
K_{2,2,2}
$$

이고 fixed opposite-pair matching $P_X$가 identity transport 아래 유지된다.

CW5-A5. Auxiliary octahedral shell

$$
\widehat{\mathcal B}_n
= \operatorname{Cl}_2(H_n)
\cong
\partial\mathrm{Oct}
$$

CW5-A6. Shell realization

$$
\widehat{\mathcal B}_n
\hookrightarrow
K_n
$$

인 incidence-preserving simplicial embedding이 존재한다.

CW5-A7. Internal-shell status

$$
\mathcal B_n\subset K_n,
\qquad
\partial K_n=\varnothing.
$$

따라서

$$
\mathcal B_n
\not\subseteq
\partial K_n.
$$

CW5-A8. Boundary-exact coherent causal relative product

3-dimensional simplicial subcomplex

$$
W_n\subseteq S_n
$$

과 PL homeomorphism of triples

$$
\Psi_n:
\Bigl(
|\mathcal B_n|\times I;
|\mathcal B_n|\times{0},
|\mathcal B_n|\times{1}
\Bigr)
\xrightarrow{\cong_{\mathrm{PL}}}
\Bigl(
|W_n|;
|W_n|\cap|K_n|,
|W_n|\cap|K_{n+1}|
\Bigr)
$$

이 존재하며

$$
\Psi_n(x,0)=x,
$$

$$
\Psi_n(x,1)
= |\iota_n^{\mathcal B}|(x),
$$

그리고 모든 shell vertex $v$에 대해

$$
\Psi_n({v}\times I)
= |{v,\iota_n(v)}|
$$

따라서

$$
W_n\cap K_n=\mathcal B_n,
\qquad
W_n\cap K_{n+1}=\mathcal B_{n+1}.
$$

CW5-A9. Successive identity coherence

인접한 worldtube product structures는 intermediate shell $\mathcal B_n$에서 동일한 persistent-vertex identification을 사용한다.

Q-CDT sandwich intersection과 CW5-A8에 의해

$$
W_{n-1}\cap W_n
= \mathcal B_n
$$

은 자동으로 따른다.

20. Causal Worldtube Proposition

명제 20.1

CW5-A1–CW5-A9를 만족하는 history가 있다고 하자.

그러면 모든 시간층 $n\in I_N$에

$$
|\mathcal B_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

인 realized octahedral shell이 존재한다.

또한 각 sandwich에

$$
W_n\subseteq S_n
$$

인 3-dimensional simplicial subcomplex가 존재하여

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[0,1]
$$

그리고 전체 union

$$
W
= \bigcup_{n=n_0}^{n_1-1}W_n
$$

에 대해

$$
|W| \cong_{\mathrm{PL}} S^2\times[n_0,n_1]
$$

증명

CW5-A4에 의해

$$
H_n\cong K_{2,2,2}.
$$

따라서

$$
\widehat{\mathcal B}_n
= \operatorname{Cl}_2(H_n)
\cong
\partial\mathrm{Oct},
$$

그러므로

$$
|\widehat{\mathcal B}_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

CW5-A6에 의해 이 abstract shell은 실제 spatial subcomplex

$$
\mathcal B_n\subseteq K_n
$$

으로 realization된다.

CW5-A8은 직접

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
|\mathcal B_n|\times[0,1]
$$

을 주므로

$$
|W_n|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[0,1]
$$

또한 CW5-A8에 의해

$$
W_n\cap K_n=\mathcal B_n,
\qquad
W_n\cap K_{n+1}=\mathcal B_{n+1}
$$

Q-CDT sandwich structure에서

$$
S_{n-1}\cap S_n=K_n
$$

이고

$$
W_{n-1}\subset S_{n-1},
\qquad
W_n\subset S_n
$$

이므로

$$
W_{n-1}\cap W_n
= \mathcal B_n
$$

마지막으로 CW5-A9에 의해 successive relative-product structures가 intermediate shells에서 동일한 persistent identity identification을 사용하므로 이 product cobordisms를 순차적으로 gluing할 수 있다.

따라서

$$
|W|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[n_0,n_1].
\square$$

21. 비공허성 정리

정리 21.1 — Joint consistency

CW5-A1–CW5-A9를 동시에 만족하는 configuration은 적어도 하나 존재한다.

특히

$$
\Sigma=S^3
$$

인 경우 causal-worldtube configuration class는 공집합이 아니다.

증명

octahedron boundary simplicial complex를

$$
\mathcal B
\cong
\partial\mathrm{Oct}
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2
$$

라 하자.

$\mathcal B$에 속하지 않는 두 새로운 vertex

$$
p_+,
\qquad
p_-
$$

를 도입한다.

다음 simplicial $3$-complex를 정의한다.

$$
K_\star
= (p_+^\mathcal B)
\cup_{\mathcal B}
(p_-^\mathcal B)
$$

이는 $\mathcal B$의 simplicial suspension이다.

따라서

$$
|K_\star|
\cong_{\mathrm{PL}}
\Sigma S^2
\cong
S^3
$$

$\mathcal B$의 여섯 vertex가 생성하는 induced graph는

$$
K_{2,2,2}
$$

또한 $\mathcal B$의 각 triangular face $F$는 정확히 두 tetrahedra

$$
p_+^F,
\qquad
p_-^F
$$

에 incident한다.

따라서 $K_\star$는 closed combinatorial $3$-manifold이고 $\mathcal B$는 그 내부에 embedded된 simplicial $S^2$-shell이다.

모든 시간층에 $K_\star$의 copy

$$
K_{\star,n}
$$

를 사용하고 각 spatial vertex에 동일한 persistent identity를 부여한다.

따라서

$$
\lambda_n:
V(K_{\star,n})
\xrightarrow{\sim}
\mathcal V_Q
$$

를 정의할 수 있다.

$K_\star^{(0)}$에 하나의 global vertex ordering을 고정한다.

각 ordered tetrahedron

$$
[v_0,v_1,v_2,v_3],
\qquad
v_0<v_1<v_2<v_3
$$

의 prism을 standard staircase triangulation

$$
[v_0^0,v_1^0,v_2^0,v_3^0,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_1^0,v_2^0,v_2^1,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_1^0,v_1^1,v_2^1,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_0^1,v_1^1,v_2^1,v_3^1]
$$

으로 분해한다.

이들은 각각

$$
(4,1),
\qquad
(3,2),
\qquad
(2,3),
\qquad
(1,4)
$$

type이다.

global ordering을 사용하므로 인접 tetrahedral prisms의 공통 face에서 triangulation이 일치한다.

따라서

$$
S_\star
\cong_{\mathrm{PL}}
K_\star\times[0,1]
$$

인 허용 Q-CDT sandwich가 얻어진다.

모든 persistent vertex $v$에 대해 vertical edge

$$
{v^0,v^1}
$$

가 존재하므로 causal identity realization을 만족한다.

같은 product triangulation을

$$
\mathcal B\times[0,1]
$$

에 제한하면

$$
W_\star
\subseteq
S_\star
$$

인 3-dimensional simplicial subcomplex가 얻어진다.

그리고

$$
|W_\star|
\cong_{\mathrm{PL}}
S^2\times[0,1]
$$

product construction 자체로

$$
W_\star\cap K_{\star,0}
= \mathcal B_0,
\qquad
W_\star\cap K_{\star,1}
= \mathcal B_1
$$

이며 worldtube interior는 두 spatial boundary slices와 추가로 만나지 않는다.

따라서 CW5-A8의 boundary-exact relative-product condition을 만족한다.

동일 construction을 반복하여 gluing하면 CW5-A9도 만족한다.

따라서

$$
\mathfrak C_{\mathrm{CW5}}\neq\varnothing
$$

$$
\square
$$

주의

정리 21.1은 CW5 조건들의 joint consistency를 증명한다.

본 버전에서는 임의의 closed $3$-manifold $\Sigma$에 대해 이러한 worldtube-admissible configuration이 항상 존재한다고 주장하지 않는다.

22. 정리의 성격

Causal Worldtube Proposition은

$$
\boxed{
\text{CW5-admissible history}
\Longrightarrow
S^2\times I\text{ causal worldtube}
}
$$

를 주장한다.

그러나

$$
\boxed{
\text{모든 persistent-vertex Q-CDT history가
CW5-admissible하다}
}
$$

고 주장하지 않는다.

특히

$$
\text{vertex persistence}
\not\Rightarrow
K_{2,2,2}\text{ persistence},
$$

$$
K_{2,2,2}\text{ persistence}
\not\Rightarrow
\text{shell realization},
$$

그리고

$$
\text{shell persistence}
\not\Rightarrow
\text{boundary-exact coherent causal relative product}.
$$

따라서 본 버전의 worldtube preservation은

$$
\text{restricted causal-history class에서의 구조적 보존 명제}
$$

이다.

다만 정리 21.1에 의해 그 history class는 명시적 realization을 가지므로 vacuous하지 않다.

[v2.4] 양자격자공간: FCC 기준 진공 realization의 차원 적층 호환 가정

Qaether Theory — Tue, 4 Aug 2026 15:15:30 +0900

FCC 기준 진공 realization의 차원 적층 호환 가정

1. 지위

본 항목은 Qaether의 근본 존재론적 공리가 아니라, defect-free 진공의 기준 기하 realization(실현)에 관한 가정이다.

Qaether의 primitive ontology는 vertex(정점), edge(변), selected boundary cycle 및 T/O boundary motif로 구성된다. 연속적인 배경 공간이나 채워진 고차원 cell은 primitive object로 가정하지 않는다.

다만 공식 Qaether v2.4는 boundary graph와 motif의 기하적 비퇴화(non-degeneracy) 및 접촉 관계를 표현하기 위해 다음과 같은 기준 realization을 사용한다.

$$ \rho:V\longrightarrow\mathbb R^3 $$

본 가정에서 말하는 3차원은 Qaether보다 더 근본적인 배경 실체가 아니라, defect-free 기준 진공을 나타내는 realization dimension이다.

2. FCC형 3차원 기준 realization

다음 rank-3 root lattice를 정의한다.

$$ A_3 := \left\{ x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb Z^4 : x_1+x_2+x_3+x_4=0 \right\} $$

$A_3$는 초평면

$$ H_0 := \left\{ x\in\mathbb R^4 : x_1+x_2+x_3+x_4=0 \right\} $$

안에 놓인 3차원 유클리드 격자이며, 전체 회전과 스케일을 제외하면 face-centered cubic(FCC) lattice와 등거리 동형(isometry)이다.

따라서 Qaether defect-free 기준 진공 configuration $\mathcal Q_{\mathrm{vac}}$의 vertex realization은 다음과 같이 선택된다.

$$ \rho(V_{\mathrm{vac}}) \cong \frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}A_3 \cong \frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}\mathrm{FCC} $$

여기서 $\ell_Q$는 Qaether의 primitive contact scale이다. 무스케일 $A_3$의 최소 비영 벡터 길이가 $\sqrt{2}$이므로, $\ell_Q/\sqrt{2}$ 배율은 최근접 vertex 사이의 거리를 $\ell_Q$로 맞춘다.

FCC 또는 $A_3$는 진공 configuration 전체가 아니라 그 기준 vertex realization lattice이다. 실제 defect-free 진공은 이 vertex set과 함께 선택된 다음의 boundary-incidence 구조를 포함한다.

$$ E_{\mathrm{vac}},\quad \mathcal C_{\triangle,\mathrm{vac}},\quad \mathcal C_{\square,\mathrm{vac}},\quad \mathcal M_{T,\mathrm{vac}},\quad \mathcal M_{O,\mathrm{vac}} $$

이 incidence 구조는 regular tetrahedral–octahedral reference geometry의 defect-free periodic realization에 대응하도록 선택된다. 따라서 다음과 같은 구분이 명확해야 한다.

- 오개념: $\text{FCC} = \text{Qaether 자체}$
- 정의: $\text{FCC} = \text{defect-free Qaether 진공의 기준 vertex realization} $

3. 4차원 root-lattice 적층 호환성

Qaether의 square dihedral symmetry $D_4^{\mathrm{sq}}$와 혼동하지 않도록, rank-4 root lattice는 다음과 같이 표기한다.

$$ \Lambda_{D_4} := \left\{ x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb Z^4 : x_1+x_2+x_3+x_4 \in 2\mathbb Z \right\} $$

각 $k\in\mathbb Z$에 대하여 평행 초평면을 다음과 같이 정의한다.

$$ H_{2k} := \left\{ x\in\mathbb R^4 : x_1+x_2+x_3+x_4=2k \right\} $$

그러면 다음이 성립한다.

$$ \Lambda_{D_4} \cap H_0 = \left\{ x\in\mathbb Z^4 : x_1+x_2+x_3+x_4=0 \right\} = A_3 $$

따라서,

$$ \Lambda_{D_4} \cap H_0 = A_3 $$

즉 $A_3$는 $\Lambda_{D_4}$의 정확한 여차원 1 lattice section(단면)이다.

4. $A_3$ coset 층 분해

높이 준동형(height homomorphism)을 다음과 같이 정의한다.

$$ \nu:\Lambda_{D_4}\longrightarrow\mathbb Z, \quad \nu(x) := \frac{1}{2}(x_1+x_2+x_3+x_4) $$

그러면 $\ker\nu = A_3$가 성립한다. 또한 $p:=(1,1,0,0)\in\Lambda_{D_4}$라 하면 $\nu(p)=1$이고, $p_k:=kp=(k,k,0,0)$로 두면 다음과 같다.

$$ \nu^{-1}(k) = \Lambda_{D_4} \cap H_{2k} = p_k + A_3 $$

실제로 $x \in \Lambda_{D_4} \cap H_{2k}$이면 $x-p_k \in A_3$이고, 역으로 $a \in A_3$이면 $p_k+a \in \Lambda_{D_4} \cap H_{2k}$이다. 따라서

$$ \Lambda_{D_4} \cap H_{2k} = p_k + A_3 $$

이며, 서로 다른 $k$의 level set은 서로소이므로 다음과 같이 분해된다.

$$ \Lambda_{D_4} = \bigsqcup_{k\in\mathbb Z} (p_k+A_3) $$

더 나아가 자유 아벨 군(free abelian group)으로서는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \Lambda_{D_4} = A_3 \oplus \mathbb Zp $$

그러나 이 식은 유클리드 직교합을 의미하지 않는다. 실제로 $p=(1,1,0,0)$는 $A_3$가 놓인 $H_0$의 법선 $n=(1,1,1,1)$과 평행하지 않다.

따라서 $\Lambda_{D_4} \neq A_3 \perp \mathbb Zp$이며, $\Lambda_{D_4}$는 직교 적층이 아니라 각 층 사이에 횡방향 shift를 갖는 평행한 $A_3$ coset 층들의 적층이다.

5. 공식 가정

가정 D1 — FCC 기준 진공 realization의 여차원 1 적층 호환성

Qaether의 defect-free 기준 진공 configuration은 그 vertex realization 수준에서 다음으로 실현된다.

$$ \rho(V_{\mathrm{vac}}) \cong \frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}A_3 \cong \frac{\ell_Q}{\sqrt{2}}\mathrm{FCC} $$

이 vertex realization과 함께 선택된 edge, boundary cycle 및 T/O motif incidence는 defect-free periodic tetrahedral–octahedral reference geometry의 boundary-incidence 구조를 실현한다.

한편, $\Lambda_{D_4} = \{ x\in\mathbb Z^4 : \sum_{i=1}^4 x_i \in 2\mathbb Z \}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$ A_3 = \Lambda_{D_4} \cap H_0 = \ker\nu $$

$$ \Lambda_{D_4} = \bigsqcup_{k\in\mathbb Z}(p_k+A_3), \quad p_k=(k,k,0,0) $$

따라서 FCC형 $A_3$ 기준 진공 realization은 $\Lambda_{D_4}$의 정확한 여차원 1 lattice section이며, 동시에 $\Lambda_{D_4}$를 구성하는 평행하고 횡방향으로 이동된 $A_3$ coset 층의 기본형이다.

이 의미에서 Qaether의 FCC 기준 진공 realization은 3차원에 고립된 임의의 격자 선택이 아니라, rank-one 고차원 lattice extension과 정확히 호환되는 기준 기하 실현이다.

6. 게이지 및 표현 독립성

본 가정은 Qaether의 내부 $SU(2)$ vertex-state 구조를 변경하지 않는다. $q_v \in SU(2)$, $h_{vw} = q_v^{-1}q_w$에 대해 공통 좌작용 $q_v \mapsto gq_v$ ($g \in SU(2)$)을 적용하면 다음이 성립한다.

$$ h_{vw} \mapsto (gq_v)^{-1}(gq_w) = q_v^{-1}g^{-1}gq_w = h_{vw} $$

D1은 $q_v$ 또는 $h_{vw}$에 추가 조건을 부과하지 않으므로 기존 Qaether의 내부 $SU(2)$ gauge redundancy 및 flat vertex-induced loop holonomy와 충돌하지 않는다.

또한 다음 선택에는 독립적인 물리적 의미를 부여하지 않는다.

$$ \begin{aligned} &\text{1. } \mathbb Z^4 \text{ 좌표축의 선택} \\ &\text{2. } H_0 \text{를 기준층으로 정하는 선택} \\ &\text{3. } p=(1,1,0,0) \text{이라는 coset representative의 선택} \\ &\text{4. } k \mapsto k+k_0 \text{에 의한 층 번호 원점의 이동} \\ &\text{5. } k \mapsto -k \text{에 의한 적층 방향의 반전} \end{aligned} $$

별도의 인과적 또는 동역학적 구조가 이를 구별하지 않는 한, 이들은 동일한 lattice structure의 서로 다른 표현일 뿐이다.

7. 제한 사항

본 가정은 다음 사항을 주장하지 않는다.

$$ \begin{aligned} &\text{- 물리적 공간 또는 시공간이 실제로 } \Lambda_{D_4} \text{라는 주장} \\ &\text{- 물리적 추가 차원이 실제로 존재한다는 주장} \\ &\text{- 관측되는 공간 차원이 3임을 유도했다는 주장} \\ &\text{- 시간이 } \Lambda_{D_4} \text{의 네 번째 좌표라는 주장} \\ &\text{- 모든 차원에서 최밀 격자가 같은 적층 법칙을 따른다는 주장} \\ &\text{- Qaether configuration 전체가 vertex lattice만으로 결정된다는 주장} \end{aligned} $$

또한 본 가정은 $A_n \to D_{n+1}$ 형태의 무한한 차원 재귀 법칙을 확립하지 않는다. 본 가정이 확립하는 것은 오직 다음과 같다.

$$ \begin{aligned} &\text{1. FCC형 } A_3 \text{ 진공 vertex realization의 비고립성} \\ &\text{2. 그 realization의 } \Lambda_{D_4} \text{ 여차원 1 단면 성질} \\ &\text{3. 평행한 } A_3 \text{ coset 층에 의한 rank-one lattice-extension 호환성} \end{aligned} $$

8. 정합성 명제

명제 D1.1. 가정 D1은 공식 Qaether v2.4의 boundary-graph ontology, contact-scale realization, T/O reference geometry 및 vertex-induced flat $SU(2)$ holonomy와 모순되지 않는다.

증명.

D1은 FCC를 primitive ontology로 도입하지 않고, $\rho(V_{\mathrm{vac}})$의 기준 realization으로만 사용한다.
Edge, cycle 및 T/O motif incidence는 vertex lattice와 구별된 Qaether configuration data로 유지된다.
$\Lambda_{D_4}$는 물리적 배경 공간으로 도입되지 않고, $A_3$ realization의 고차원 lattice compatibility를 나타내는 보조적 수학 구조로만 사용된다.
D1은 $q_v$, $h_{vw}$, closed-loop holonomy 또는 oriented $C_4$ square sector를 변경하지 않는다.
$\Lambda_{D_4}$의 $D_4$는 root-lattice 명칭이며, square support의 dihedral symmetry $D_4^{\mathrm{sq}}$와 명시적으로 구별된다.

따라서 공식 v2.4의 primitive ontology와 gauge structure는 보존된다. $\square$

References

[1] F. W. Han, *Tetrahedral–Octahedral Complexes with Cuboctahedral Vertex Figures*, Qaether Lab, 2026.

[2] J. H. Conway and N. J. A. Sloane, *Sphere Packings, Lattices and Groups*, 3rd ed., Springer, New York, 1999. DOI: 10.1007/978-1-4757-6568-7.

[3] F. W. Han, *Qaether v2.4: Static Boundary-Graph Foundation with Flat $SU(2)$ Vertex State and $C_4$-Oriented Square Sector*, Qaether Lab, 2026.

[v2.4] Q-CDT: Pure (3+1)-Dimensional CDT with a Qaether-Inspired T-Motif Boundary-Graph Interpretation

Qaether Theory — Tue, 4 Aug 2026 08:16:05 +0900

0. 지위와 범위

Q-CDT은 순수 (3+1)차원 Causal Dynamical Triangulations에 Qaether-inspired T-motif boundary-graph interpretation을 부여한 기준 이론이다.

공간 기하의 CDT building block은 공간 tetrahedron이며, 인접 공간층은 표준 causal $4$-simplex로 연결된다. 표준 (3+1)차원 CDT에서는 공간층이 등변 tetrahedron으로 triangulate되고, sandwich가 $(4,1)$, $(3,2)$ simplex와 그 시간반전으로 구성된다. [1]

Q-CDT에서 simplices는 Regge 경로적분을 위한 보조적인 piecewise-flat cell이다. 이들을 공식 Qaether v2.4의 원초적 filled face 또는 filled volume으로 해석하지 않는다.

Qaether-inspired 해석은 다음에 한정된다.

$$ \text{공간 tetrahedron의 $1$-skeleton} \longmapsto \text{T-motif boundary graph} $$

본 버전은 다음을 정의한다.

$$ \text{T-interpreted 공간층} + \text{CDT causal sandwich} + \text{Euclidean Regge 작용} + \text{유한-cutoff 상태합} $$

다음은 포함하지 않는다.

O-motif와 matter sector
$q_v\in SU(2)$ 및 edge-relative phase
square winding, 전하, 색, 스핀
Qaether square-local time
성장 알고리즘과 Monte Carlo move
transfer matrix와 Hamiltonian
구체적인 관측량
continuum limit
Qaether 고유 추가 작용항

따라서 Q-CDT은 공식 Qaether v2.4 configuration의 부분공간이나 직접적인 동역학적 extension이 아니다.

1. 고정 자료

고정된 이론 자료를

$$ \Theta_{\mathrm{QCDT}} = \left( \Sigma,N_\tau,a,\alpha,G_N,\Lambda \right) $$

로 둔다.

여기서 $\Sigma$는 고정된 연결된 닫힌 $3$차원 PL 다양체이고, 다음은 sandwich의 수이다.

$$N_\tau\in\mathbb N,\qquad N_\tau\geq1$$

또한, $a>0$는 모든 spatial edge의 길이이고,

$\alpha>\frac{7}{12}$는 공간·시간 edge 길이의 비대칭 매개변수이다.

$G_N>0$은 bare Newton coupling이고,

$\Lambda\in\mathbb R$는 bare cosmological constant이다.

조건 $\alpha>\frac7{12}$는 Wick rotation 후 ($4,1$) 및 ($3,2$) Euclidean $4$-simplex가 비퇴화하도록 한다. [1]

2. Configuration

Q-CDT configuration은

$$
Q=(K,\tau)
$$

이다.

여기서 $K$는 유한하고 연결된 순수 $4$차원 추상 simplicial complex이고,

$$ \tau:K^{(0)} \longrightarrow \{0,1,\ldots,N_\tau\} $$

는 vertex 시간층 함수이다.

모든 edge $\{v,w\}\in K^{(1)}$는

$$
|\tau(v)-\tau(w)|\leq1
$$

을 만족한다.

모든 $4$-simplex는 정확히 두 인접 시간층에 걸쳐 있어야 한다. 즉, 모든

$$
\sigma^4\in K^{(4)}
$$

에 대해 어떤 $n\in \{0,\ldots,N_\tau-1\}$이 존재하여

$$ {\tau(v):v\in\sigma^4} = \{n,n+1\} $$

을 만족한다.

3. 공간층

시간 $n$의 vertex 집합을

$$V_n= \left\{ v\in K^{(0)}:\tau(v)=n \right\}$$

으로 정의한다.

시간 $n$의 공간층은 $V_n$이 생성하는 full subcomplex

$$K_n:=K[V_n]$$

이다.

각 $K_n$은 연결된 닫힌 combinatorial $3$-manifold이고,

$$|K_n|\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma$$

를 만족한다.

따라서 모든 공간층은 동일한 PL 위상을 가진다.

동치로, 모든

$$
\sigma^k\in K_n,\qquad k=0,1,2
$$

에 대해

$$
\operatorname{Lk}_{K_n}(\sigma^k)
\cong
S^{2-k}
$$

이다.

특히 모든 공간 triangle

$$
f\in K_n^{(2)}
$$

은 정확히 두 공간 tetrahedron에 incident한다.

4. 공간 및 시간 edge

전체 edge 집합은

$$K^{(1)}=E_s\sqcup E_t$$

로 분해한다.

공간 edge는

$$E_s=\left\{ \{v,w\}\in K^{(1)} : \tau(v)=\tau(w) \right\}$$

이다.

시간 edge는

$$E_t= \left\{ \{v,w\}\in K^{(1)}: |\tau(v)-\tau(w)|=1 \right\}$$

이다.

Lorentzian 제곱길이는

$$ \ell_s^2=a^2, \qquad \ell_t^2=-\alpha a^2 $$

로 고정한다.

공간층의 $1$-skeleton

$$
G_n:=\operatorname{sk}_1(K_n)
$$

은 Qaether-inspired spatial boundary graph로 해석한다.

그러나 다음 등식은 공리로 두지 않는다.

$$E_s = E_{\mathrm{Qaether}\ v2.4}$$

즉, $E_s$를 공식 Qaether v2.4의 primitive bond 집합과 동일시하지 않으며, 공식 v2.4의 전역 realization

$$ \rho:V\to\mathbb R^3$$

나 contact scale $\ell_Q$의 존재도 요구하지 않는다.

5. T-motif boundary-graph interpretation

5.1 해석 사상

공간 tetrahedron

$$
\sigma^3=[a,b,c,d]\in K_n^{(3)}
$$

에 대해 그 Qaether-inspired T-motif 해석을

$$\mathfrak B_T(\sigma^3)=T_\sigma$$

로 정의한다.

여기서

$$T_\sigma=\left(\operatorname{sk}_1(\sigma^3),\mathcal C_\triangle(\sigma^3)\right)$$

이고,

$$
\operatorname{sk}_1(\sigma^3)\cong K_4
$$

또한

$$\mathcal C_\triangle(\sigma^3)=\left\{\operatorname{sk}_1(f):f\prec\sigma^3,\ \dim f=2\right\}$$

는 $\sigma^3$의 네 triangular 2-face에서 추출한 네 distinguished triangular boundary cycle의 집합이다.

따라서

$$
|\,\mathcal C_\triangle(\sigma^3) \,|=4
$$

이고,

$$
T_\sigma\sim4C_\triangle
$$

여기서 T-motif는 filled tetrahedron 자체가 아니라

$$ K_4\text{ boundary graph} + 4\text{ distinguished triangular boundary cycles}$$

이다.

5.2 지정된 motif family

시간층 $n$의 지정된 T-motif family를

$$\mathcal M_{T,n}^{\mathrm{int}}=\left\{ \mathfrak B_T(\sigma^3): \sigma^3\in K_n^{(3)} \right\}$$

로 정의한다.

전체 지정 T-motif family는

$$ \mathcal M_T^{\mathrm{int}} = \bigsqcup_{n=0}^{N_\tau} \mathcal M_{T,n}^{\mathrm{int}}$$

이다.

지정 O-motif family는

$$\mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing$$

로 둔다.

따라서 Q-CDT의 pure T 조건은 " 지정된 O-motif가 없는 해석 sector"를 뜻한다.

전체 공간 $1$-skeleton 안에 우연히 $K_{2,2,2}$와 동형인 부분그래프가 존재하는 것은 금지하지 않는다. 그러한 accidental subgraph는 지정 motif가 아니므로 O-motif로 해석되지 않는다.

5.3 제외되는 $K_4$

다음은 T-motif가 아니다.

timelike tetrahedral $3$-face의 $1$-skeleton,
어떤 공간 $3$-simplex에도 대응하지 않는 accidental graph $K_4$,
서로 다른 시간층에 걸친 $K_4$.

즉, $ T_\sigma $는 오직 $\sigma^3\in K_n^{(3)}$에서만 정의된다.

6. Sandwich 구조

시간층 $n$과 $n+1$ 사이의 sandwich를

$$ S_n=K[V_n\cup V_{n+1}]$$

으로 정의한다.

전체 시공간은

$$K=\bigcup_{n=0}^{N_\tau-1}S_n$$

으로 분해된다.

인접 sandwich는 공통 공간층에서 만난다.

$$
S_{n-1}\cap S_n=K_n
$$

각 (S_n)은 경계를 가진 combinatorial $4$-manifold이고,

$$\partial S_n=K_n\sqcup K_{n+1}$$

및

$$|S_n| \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,1]$$

을 만족한다.

따라서 spatial topology change, 분기 및 합체를 허용하지 않는다.

전체 $K$는 경계를 가진 combinatorial $4$-manifold이며,

$$ |K| \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,N_\tau]$$

이고,

$$ \partial K=K_0\sqcup K_{N_\tau}$$

초기층과 최종층은 동형일 수 있지만 서로 quotient로 동일시하지 않는다.

7. 허용되는 causal $4$-simplex

허용되는 $4$-simplex 유형은

$$
(4,1),\qquad
(3,2),\qquad
(2,3),\qquad
(1,4)
$$

뿐이다.

7.1 $(4,1)$ simplex

$$
[a,b,c,d\mid x]
$$

에서

$$
a,b,c,d\in V_n,
\qquad
x\in V_{n+1}.
$$

하부 공간 tetrahedron과 상부 vertex가 하나의 $4$-simplex를 구성한다.

기호

$$
T_\sigma\longrightarrow x
$$

는 T-motif가 vertex로 변환된다는 뜻이 아니다. 이는

$$
\sigma^3\cup{x}
$$

가 하나의 $(4,1)$ simplex를 이룬다는 incidence 표기이다.

7.2 $(3,2)$ simplex

$$
[a,b,c\mid x,y]
$$

에서

$$
a,b,c\in V_n,
\qquad
x,y\in V_{n+1}.
$$

하부 공간 triangle과 상부 공간 edge가 하나의 $(3,2)$ simplex를 구성한다.

$$
C_{\triangle,n}\longrightarrow e_{n+1}
$$

는 해당 $4$-simplex 내부의 incidence를 나타낼 뿐, 전역적인 결정론적 변환을 뜻하지 않는다.

$(2,3)$과 $(1,4)$는 각각 시간반전 simplex이다.

8. 공간 tetrahedron의 sandwich incidence

정리 8.1

각 하부 공간 tetrahedron

$$
\sigma^3\in K_n^{(3)}
$$

은 정확히 하나의 $(4,1)$ simplex의 base이다.

즉,

$$
\forall\sigma^3\in K_n^{(3)},
\qquad
\exists!x\in V_{n+1}
:
[\sigma^3\mid x]\in S_n^{(4)}
$$

마찬가지로 각 상부 공간 tetrahedron은 정확히 하나의 ((1,4)) simplex의 상부 base이다.

따라서

$$
N_{4,1}(S_n)=N_3(K_n),
$$

$$
N_{1,4}(S_n)=N_3(K_{n+1})
$$

증명

$K_n$은 $S_n$의 boundary component이다. 경계를 가진 combinatorial $4$-manifold에서 boundary $3$-simplex는 정확히 하나의 $4$-simplex에 incident한다.

해당 $4$-simplex는 네 개의 $n$-층 vertex를 포함하고, 허용 $4$-simplex 조건에 의해 다섯 번째 vertex는 $n+1$층에 있어야 한다. 따라서 그 simplex는 유일한 $(4,1)$ simplex이다.

상부층의 경우도 동일하다. $\square$

표준 CDT에서도 각 공간 tetrahedron은 과거와 미래의 두 $(4,1)$-계열 simplex 사이의 interface가 된다. [1]

9. 공간 triangle의 sandwich link

하부 공간 triangle

$$
f=[a,b,c]\in K_n^{(2)}
$$

을 공유하는 두 공간 tetrahedron을

$$
[f,d_L],
\qquad
[f,d_R]
$$

라고 하자.

$f$는 $S_n$의 boundary $2$-simplex이므로

$$ \operatorname{Lk}_{S_n}(f) \cong B^1 $$

또한

$$ \operatorname{Lk}_{K_n}(f) = \{d_L,d_R\} \cong S^0$$

이다.

따라서 어떤 $r\geq0$와 서로 다른 상부 vertex

$$
x_0,\ldots,x_r\in V_{n+1}
$$

가 존재하여

$$ \operatorname{Lk}_{S_n}(f) = d_L-x_0-x_1-\cdots-x_r-d_R $$

가 된다.

양 끝 link edge는 $(4,1)$ simplex에 대응한다.

$$ [d_L,x_0] \longleftrightarrow [f,d_L\mid x_0], $$

$$ [x_r,d_R] \longleftrightarrow [f,d_R\mid x_r] $$

중간 link edge는 $(3,2)$ simplex에 대응한다.

$$ [x_i,x_{i+1}] \longleftrightarrow [f\mid x_i,x_{i+1}], \quad 0\leq i<r $$

상부층에서 $f$가 유도하는 구조는

$$ P_f^+ = x_0-x_1-\cdots-x_r$$

이다.

이는 possibly trivial spatial path이다.

$$
\begin{array}{c|c}
r & P_f^+\\
\hline
0 & \text{상부 vertex 하나}\\
1 & \text{상부 edge 하나}\\
r\geq2 & \text{상부 edge path}
\end{array}
$$

따라서 정확한 관계는

$$
\text{하부 triangle}
\longmapsto
\text{possibly trivial upper spatial path}
$$

이다.

Q-CDT은 결정론적인

$$
T\mapsto v,
\qquad
C_\triangle\mapsto e
$$

쌍대화를 공리로 요구하지 않는다.

10. 이산 인과구조

각 timelike edge를 낮은 시간층에서 높은 시간층으로 향하게 한다.

$$
v\longrightarrow w
\quad\Longleftrightarrow\quad
\{v,w\}\in E_t,
\qquad
\tau(w)=\tau(v)+1
$$

두 vertex $u,v$에 대해

$$
u\prec v
$$

를 $u$에서 $v$로 가는 future-directed timelike edge path가 존재한다는 뜻으로 정의한다.

future-directed path를 따라 $\tau$는 엄격히 증가하므로

$$
u\prec v
\quad\Longrightarrow\quad
\tau(u)<\tau(v)
$$

따라서 future-directed closed edge path는 존재하지 않는다.

$$
v_0\to v_1\to\cdots\to v_m=v_0
$$

는 불가능하다.

본 버전의 인과구조는 이 foliation-compatible combinatorial causal order로 한정한다. 연속적인 PL causal curve, local light cone 또는 continuum proper time은 별도로 정의하지 않는다.

11. Wick rotation

Lorentzian 영역에서

$$
\ell_t^2=-\alpha a^2
$$

복소 $\alpha$-평면의 lower-half plane을 통해

$$
\alpha\longmapsto-\alpha
$$

로 analytic continuation한다.

회전 후 양의 비대칭 매개변수의 크기를 다시 $\alpha$라고 표기하면

$$
\ell_{t,E}^2=+\alpha a^2
$$

$$
\alpha>\frac7{12}
$$

이므로 Euclideanized $(4,1)$ 및 $(3,2)$ simplex는 비퇴화한다. [1]

Lorentzian 작용과 Euclidean 작용은

$$
iS_L[K]
\longmapsto
-S_E[K]
$$

로 연결된다.

12. Euclidean Regge 작용

$4$차원 Regge calculus에서 hinge는 triangle이다.

내부 triangle

$$
h\subset\operatorname{int}K
$$

의 deficit angle은

$$ \delta_h = 2\pi- \sum_{\sigma^4\supset h}\theta_{\sigma^4,h} $$

이다.

경계 triangle

$$ h\subset\partial K $$

의 exterior angle은 outward-normal convention에서

$$ \psi_h = \pi- \sum_{\sigma^4\supset h} \theta_{\sigma^4,h}$$

이다.

Euclidean Regge 작용을

$$
S_E[K] = \frac{1}{8\pi G_N} \left( \sum_{h\subset\operatorname{int}K} A_h\delta_h + \sum_{h\subset\partial K}
A_h\psi_h \right) + \frac{\Lambda}{8\pi G_N} \sum_{\sigma^4\in K^{(4)}} V_4(\sigma^4) $$

로 정의한다.

여기서

$ A_h $는 hinge triangle의 Euclidean 면적,

$\theta_{\sigma^4,h}$는 $\sigma^4$가 $h$에서 갖는 Euclidean dihedral angle,

$V_4(\sigma^4)$는 Euclidean $4$-volume이다.

이 기하량들은

$$
a,\quad\alpha,\quad
\sigma^4\text{의 }(p,q)\text{-type},\quad
h\text{의 incidence type}
$$

에 의해 결정된다.

초기·최종 경계를 가진 gravitational state sum에는 외재곡률에 대응하는 Regge 경계항이 필요하다. [1]

정리 12.1 — Sandwich 가법성

$$ S_E[K] = \sum_{n=0}^{N_\tau-1}S_E[S_n] $$

증명

중간층 $K_n$의 triangle $h$는 두 인접 sandwich에서 각각 boundary hinge이다.

따라서 두 exterior angle의 합은

$$
\begin{aligned}
\psi_h^{(-)}+\psi_h^{(+)}
&= \left( \pi-\sum_{\sigma\subset S_{n-1}}\theta_{\sigma,h} \right) + \left( \pi-\sum_{\sigma\subset S_n}\theta_{\sigma,h} \right)\\
&= 2\pi-\sum_{\sigma\subset K}\theta_{\sigma,h}\\
&=\delta_h
\end{aligned}
$$

중간층의 두 경계항이 전체 $K$에서의 하나의 bulk deficit term으로 결합한다. $4$-volume 항은 simplex별로 명백히 가법적이다. $\square$

Q-CDT에서는 별도의 counting-variable action을 정의하지 않는다.

13. Simplicial 대칭과 gauge quotient

Q-CDT에는

$$
q_v,\quad h_{vw},
\quad\text{independent link variable}
$$

가 존재하지 않는다.

따라서 본 버전에는 별도의 내부

$$
SU(2),\quad U(1)
$$

local gauge sector가 없다.

남는 redundancy는 vertex와 simplex의 이름표를 바꾸는 simplicial relabelling이다.

두 configuration $(K,\tau)$, $(K',\tau')$는 시간표지를 보존하는 simplicial isomorphism

$$
\varphi:K\longrightarrow K'
$$

이 존재하여

$$
\tau'\circ\varphi=\tau
$$

를 만족할 때 동치로 본다.

또한 $\varphi$는 초기 및 최종 boundary component의 순서를 보존해야 한다.

$$ \varphi(K_0)=K'_0, \qquad \varphi(K_{N_\tau})=K'_{N_\tau} $$

foliation $\tau$는 quotient되는 gauge coordinate가 아니라 configuration을 정의하는 보존 자료이다.

14. 유한-cutoff 상태합

초기 및 최종 공간 triangulation의 isomorphism class를 각각

$$
g_i,\qquad g_f
$$

라고 하며,

$$
|g_i|\cong_{\mathrm{PL}}|g_f|
\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma
$$

를 요구한다.

다음 조건을 만족하는 configuration의 isomorphism class 집합을

$$
\mathfrak C_N(g_i,g_f;N_\tau)
$$

로 정의한다.

$K_0\cong g_i,$
$K_{N_\tau}\cong g_f,$
$N_4(K)\leq N,$
$K_n\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma \quad\text{for all }n,$
$\sigma^4$는 허용된 네 causal type 중 하나
$K${는 위 공리를 만족하는 combinatorial $4$-manifold

시간표지를 보존하는 automorphism group을

$$ \operatorname{Aut}_\tau (K;\partial_-K,\partial_+K) $$

로 정의한다.

$$ \operatorname{Aut}_\tau (K;\partial_-K,\partial_+K) = \left\{ \varphi\in\operatorname{Aut}(K): \tau\circ\varphi=\tau \right\}$$

시간표지 보존 조건으로 인해 초기 및 최종 경계는 각각 setwise 보존된다.

symmetry factor는

$$ C_\tau(K) = \left| \operatorname{Aut}_\tau (K;\partial_-K,\partial_+K) \right| $$

이다.

유한-cutoff Euclidean 상태합은

$$ Z_N[g_i,g_f;N_\tau] = \sum_{[K,\tau]\in \mathfrak C_N(g_i,g_f;N_\tau)} \frac{1}{C_\tau(K)} e^{-S_E[K]} $$

이다.

표준 dynamical triangulations에서도 inequivalent triangulation을 합하고 automorphism group의 크기로 나누는 symmetry weight $1/C(T)$를 사용한다. [2]

$N<\infty$이면 $K$의 vertex 수는 $N_4(K)$에 의해 유한하게 제한된다. 따라서 가능한 유한 abstract simplicial complex의 isomorphism class 수 역시 유한하다.

그러므로

$$
Z_N[g_i,g_f;N_\tau]
$$

은 유한한 합으로 잘 정의된다.

이는 정규화된 확률분포가 아니라 symmetry-weighted state sum이다.

cutoff 제거 $N\to\infty$ 및 격자간격 제거 $a\to0$는 Q-CDT의 정의에 포함하지 않는다.

15. 비공허성 정리

정리 15.1

Q-CDT의 허용 configuration class는 공집합이 아니다.

증명

$\Sigma$의 임의의 유한 triangulation을 $L$이라 하고, $L^{(0)}$에 전역적인 vertex 순서를 부여한다.

하나의 tetrahedron

$$
[v_0,v_1,v_2,v_3],
\qquad
v_0<v_1<v_2<v_3
$$

의 prism

$$
[v_0,v_1,v_2,v_3]\times[0,1]
$$

을 다음 네 $4$-simplex로 triangulate한다.

$$
[v_0^0,v_1^0,v_2^0,v_3^0,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_1^0,v_2^0,v_2^1,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_1^0,v_1^1,v_2^1,v_3^1],
$$

$$
[v_0^0,v_0^1,v_1^1,v_2^1,v_3^1]
$$

이들은 각각

$$
(4,1),\qquad
(3,2),\qquad
(2,3),\qquad
(1,4)
$$

유형이다.

전역 vertex 순서를 사용했으므로 서로 인접한 tetrahedral prism들의 공통 face에서 triangulation이 일치한다.

따라서

$$
S\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma\times[0,1]
$$

인 허용 sandwich가 존재한다.

이 sandwich를 $N_\tau$번 접합하면

$$
K\cong_{\mathrm{PL}}
\Sigma\times[0,N_\tau]
$$

인 허용 configuration을 얻는다.

각 spatial tetrahedron의 $1$-skeleton에 T-motif interpretation을 부여하고

$$
\mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing
$$

로 두면 모든 Q-CDT 공리를 만족한다. $\square$

따라서 충분히 큰 $N$에 대해 적어도 일부 경계 자료에서는

$$
\mathfrak C_N(g_i,g_f;N_\tau)\neq\varnothing
$$

특정 $g_i,g_f$ 사이에 허용 history가 없을 수는 있으며, 이 경우에는

$$
Z_N[g_i,g_f;N_\tau]=0
$$

이다. 이는 상태합 정의의 모순이 아니다.

16. 최소 형식 요약

Q-CDT은 다음 자료와 조건으로 요약된다.

$$
Q=(K,\tau),
$$

$$ \tau:K^{(0)} \to {0,\ldots,N_\tau},$$

$$
K_n=K[V_n], \qquad |K_n|\cong_{\mathrm{PL}}\Sigma,
$$

$$\mathcal M_{T,n}^{\mathrm{int}} = \left \{ \mathfrak B_T(\sigma^3): \sigma^3\in K_n^{(3)} \right\}, $$

$$ \mathcal M_O^{\mathrm{int}}=\varnothing,$$

$$ |\Delta\tau|\leq1 \quad\text{on every edge},$$

$$ \sigma^4\in \{(4,1),(3,2),(2,3),(1,4)\}, $$

$$ S_n=K[V_n\cup V_{n+1}],$$

$$ |S_n| \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,1],$$

$$ K \cong_{\mathrm{PL}} \Sigma\times[0,N_\tau],$$

$$ \ell_s^2=a^2, \qquad \ell_t^2=-\alpha a^2, \qquad \alpha>\frac7{12},$$

$$ \alpha\mapsto-\alpha, \qquad iS_L\mapsto-S_E,$$

$$ S_E = \text{boundary term을 포함한 Euclidean Regge 작용},$$

$$ Z_N = \sum_{[K,\tau]} C_\tau(K)^{-1}e^{-S_E[K]}$$

References
[1]: https://arxiv.org/pdf/1302.2173 "Fig24x.tex"
[2]: https://arxiv.org/pdf/hep-th/0105267 "arXiv:hep-th/0105267v1 27 May 2001"

De Sitter Universe from Causal Dynamical Triangulations without Preferred Foliation

Qaether Theory — Sun, 26 Jul 2026 23:09:39 +0900

제시된 논문 "De Sitter Universe from Causal Dynamical Triangulations without Preferred Foliation" (S. Jordan, R. Loll 작성)의 핵심 내용 요약입니다:

De_Sitter_Universe_from_Causal_Dynamical_Triangulations_without_preferred_Foliation.pdf

1.20MB

1. 연구 배경 및 목적

인과적 동적 삼각분할 (CDT): 양자 중력을 비섭동적으로 정식화하는 접근법으로, 기존의 유클리드 DT 모델과 달리 각 시공간 이력에 선호되는 시간 엽층화(preferred time foliation) 및 인과 구조를 도입하여 대규모에서 4차원 데 시터(de Sitter) 우주를 재현하는 데 성공했습니다.
연구 목적: CDT의 성공이 "선호되는 시간 엽층화"라는 배경 구조에 필수적으로 의존하는지, 아니면 단지 "인과성(causality)" 유지만으로 충분한지를 검증하기 위해 엽층화가 없는 비엽층화 CDT(nonfoliated CDT) 모델을 구축하고 분석했습니다.

2. 주요 정식화 및 방법론

새로운 사면체 블록 도입: 기존 엽층화 CDT에서 사용하던 (3,1), (2,2) 사면체 외에, 다른 형태의 로런츠 서명 사면체($T_2, T_3$ 등)를 추가하여 시공간을 구성했습니다.
국소적 인과성 조건: 정점(vertex) 및 링크(link) 주변에서 광추(light cone) 구조가 깨지지 않도록 국소적 인과성 규칙을 적용하여 엽층화 없이도 국소적으로 잘 정의된 인과 구조를 유지시켰습니다.
새로운 몬테카를로 이동법(Monte Carlo moves) 개발: 버블(bubble) 및 핀칭(pinching)과 같은 새로운 시공간 구조가 포함됨에 따라 이를 수치적으로 시뮬레이션하기 위한 확장된 몬테카를로 알고리즘을 구현했습니다.
시간 좌표의 재정의: 명확한 시간 슬라이스가 존재하지 않으므로, 정점 간 시공간 경로의 평균 거리를 이용하여 거시적 시간 좌표 $t$ 및 부피 프로필(volume profile)을 정의했습니다.

3. 주요 연구 결과

약한 엽층화의 자발적 출현: 엽층화 제약을 제거했음에도 불구하고, 영점 전하/결합 상수 영역에 따라 삼각분할 구조 내에서 교대로 일어나는 약한 엽층화 패턴(weak foliation)이 동역학적으로 자발 형성됨을 확인했습니다.
거시적 3차원 우주의 출현: 유효 크기 스케일링(finite-size scaling) 분석을 통해 거시적 시공간 차원을 측정한 결과, $d \approx 3$ 차원에 수렴함을 밝혔습니다.
데 시터 우주와의 일치: 관측된 우주의 시간별 공간 부피 분포 $\langle N_2(t) \rangle$가 3차원 연속체 데 시터 우주의 이론적 부피 프로필인 $V_2(t) = a \cos^2(bt)$ 함수와 극도로 높은 정확도로 일치했습니다.

4. 결론 및 의의

시간 엽층화의 불필요성 증명: CDT의 기하학적 핵심 성과(데 시터 우주의 출현)는 특정 시간 엽층화 구조에 필수적으로 의존하지 않으며, 국소적 인과성 조건만으로도 유효함이 증명되었습니다.
보편성 클래스(Universality Class) 공유: 엽층화 유무와 관계없이 CDT 양자 중력 모델이 동일한 대규모 연속체 한계(continuum limit) 및 보편성 클래스에 속함을 시사합니다.

Lorentzian 3d gravity with wormholes via matrix models

Qaether Theory — Sun, 19 Jul 2026 21:02:41 +0900

lorentzian-3d-gravity.pdf

0.38MB

"Lorentzian 3d gravity with wormholes via matrix models" (J. Ambjørn 등, 2001년)의 핵심 내용은 비평탄(Non-perturbative) 방식으로 정식화된 3차원 로렌츠 양자 중력 이론(Lorentzian quantum gravity)과 고체물리/통계물리에서 다루어지는 ABAB 상호작용을 가진 에르미트 2-행렬 모델(Hermitian two-matrix model) 사이에 놀라운 상응 관계가 존재함을 밝힌 연구입니다.

1. 연구 배경 및 목적

기존의 2차원 유클리드 양자 중력 모델은 우주가 진화하면서 무수히 많은 '아기 우주(baby universes)'로 갈라지는 분기 현상이 발생합니다.
반면, 인과율(Causality)을 보존하도록 정식화된 로렌츠 양자 중력은 이러한 공간 분기를 허용하지 않아 유클리드 모델과 전혀 다른 양자 기하학적 특성을 보입니다.
본 연구는 2차원에서 매우 강력한 해석적 도구였던 행렬 모델(Matrix model) 기술을 3차원 로렌츠 양자 중력에 적용하여, 시스템의 파동 함수와 해밀토니안을 해석적으로 분석할 수 있는 틀을 마련하고자 했습니다.

2. 시공간 디스크리타이제이션 (이산화)

3차원 시공간을 이산화하기 위해 시간 방향을 정수 격자 단위로 나눕니다.
공간 단면은 사각형들로 이루어진 구(Sphere, $S^2$) 위상 격자로 구성하며, 인접한 두 공간 단면 사이의 시공간 샌드위치를 (4,1) 피라미드, (1,4) 피라미드, 그리고 (2,2) 사면체라는 3가지 근본적인 기하학적 블록으로 채워 넣습니다.

3. 2-행렬 모델(2-Matrix Model)과의 상응성

이산화된 3차원 중력의 '전이 행렬(Transfer matrix)'을 계산하는 조합론적 문제가, 격자 단면을 이중선 그래프(Double-line graph)로 변환함으로써 특정 4차 2-행렬 모델($tr A^4, tr B^4, tr ABAB$ 상호작용 항을 가짐)의 섭동 전개식과 일치함을 증명했습니다.
결과적으로 중력의 전이 행렬은 이 2-행렬 적구(Matrix integral)의 로그 형태로 표현될 수 있습니다.

4. 중력의 두 가지 상(Phases) 구조

행렬 모델의 기려진 해법(Kazakov & Zinn-Justin 솔루션)을 중력 이론으로 재해석한 결과, 중력 결합 상수의 크기에 따라 시스템은 두 가지 상(Phase)을 가집니다.

약한 중력 상 (Weak-coupling Phase, $\kappa > 1$): 공간적 단면이 제대로 된 2차원 우주의 형태를 유지하며 고유 시간(Proper time)을 따라 전파됩니다. 컴퓨터 시뮬레이션에서 관측된 일반적인 로렌츠 중력 상태에 해당합니다.
강한 중력 상 (Strong-coupling Phase, $\kappa \le 1$): 뉴턴 중력 상수($G_N$)가 커짐에 따라 공간 슬라이스가 기하학적으로 붕괴합니다. 공간 단면들이 수많은 작은 컴포넌트들로 찢어지고, 이들이 컷오프 사이즈의 웜홀(Wormholes)들로 복잡하게 연결된 '가지 달린 중합체(Branched Polymer)' 구조를 띱니다.

결론 및 의의

본 논문은 인과적 동적 삼각형 분할(CDT) 기반의 3차원 로렌츠 양자 중력을 해석적인 행렬 모델의 언어로 번역하는 데 성공했으며, 중력이 강해질 때 시공간 격자가 '웜홀'에 의해 어떻게 위상적으로 파괴되고 거시적 차원이 변하는지(변칙적 스케일링 행동)를 엄밀하게 보여준 연구입니다.

접촉 pair 구분	\((j_{C_x},j_{C_y},j_{C_z})\)	독립 상태 수
\(P_x-P_y\)	\((\tfrac12,\tfrac12,0)\)	4
\(P_y-P_z\)	\((0,\tfrac12,\tfrac12)\)	4
\(P_z-P_x\)	\((\tfrac12,0,\tfrac12)\)	4

관계 pair	전체 \(J\)	에너지	차원
접촉 pair singlet	0	\(\tfrac92\beta\)	12
비접촉 대향 pair singlet 및 triplet	0, 1	\(6\beta\)	12
접촉 pair triplet	1	\(\tfrac{13}{2}\beta\)	36