Qaether 연구일지

수정의 이유: Qaether 이론에서는 기존 site에 쿼터니안을 배치하기로 했다. 그런 경우에는 순수 게이지가 되지 않기 때문에 이에 맞춰 수정했다. 단, 여기에는 아직 SU(3) 구조는 포함하지 않았다. 1) FCC 격자와 최소 루프기본 구조면심입방격자(Face-Centered Cubic, FCC)는 각 격자점이 12개의 최근접 이웃을 가지는 조밀한 3차원 격자다.중심을 \((0,0,0)\)으로 두면 최근접 이웃은 다음 좌표로 표현된다.\[(\pm1,\pm1,0),\ (0,\pm1,\pm1),\ (\pm1,0,\pm1)\]이 격자는 삼각형과 사각형 루프가 동시에 존재해, SO(3) 회전의 짝·홀 패리티와 U(1) 위상축을 모두 정의할 수 있는 최소 구조를 제공한다.최소 루프 (사이클 생성 집합)삼각 ..

1. 사슬(chain)과 경계(boundary)1.1 셀 복합체의 기본 아이디어격자나 다면체를 다룰 때, 다음과 같이 정의할 수 있다.0–(차원) 셀 = 점(vertex)1–(차원) 셀 = 선분(edge)2–(차원) 셀 = 면(face)3–(차원) 셀 = 부피(volume)이 셀들을 정수 계수로 선형 결합한 것이 사슬(chain)이다.예를 들어,\[c = e_1 + e_2 - e_3\]는 세 개의 엣지를 더하거나 빼서 만든 1–사슬.이 사슬을 결합할때 ‘–’ 부호는 방향을 바꿨다는 뜻으로 점은 방향이 없고, 선분은 방향을 가질 수 있으며, 면의 경우는 경계의 회전방향으로 방향을 결정하고 부피의 경우는 기본 축으로 결정. 1.2 경계 연산자 \( \partial \)각 셀은 모두 다음과 같이 자신의 경계를..

사슬군과 경계사상 \(\partial_k\)이 실제로 어떻게 작동하는지 확인하기 위해 FCC 격자의 국소 단위체인 정팔면체(octahedron)를 예로 들어보자.1. 정팔면체의 셀 구조정팔면체는 다음으로 구성됩니다:꼭짓점(0–셀): 6개\[V=\{\pm x,\pm y,\pm z\}\]엣지(1–셀): 12개각 축 방향 쌍 사이를 잇는 선분들.예: \((+x,+y), (+x,-y), (+x,+z), (+x,-z), \dots\)면(2–셀): 8개 삼각형예: \(T_{+x,+y,+z}\)는 꼭짓점 \(+x,+y,+z\)로 이루어진 삼각면.체적(3–셀): 1개 (전체 정팔면체)즉,\[C_0 = \mathbb Z^6,\quadC_1 = \mathbb Z^{12},\quadC_2 = \mathbb Z^{8},\qu..

0. 표기·가정 (공통)\( G=(V,E) \): FCC 최근접결합 그래프 (주기경계).2–셀 \( F \):사면체의 삼각면 ( \(\Delta\) )octahedron의 사각면 ( \(Q\) ) — 대각 사각 루프.사슬군 및 경계사상\[C_2=\mathbb Z^F,\quad C_1=\mathbb Z^E,\quad \partial_2:C_2\to C_1.\]각 링크 \( e\in E \)에 위상차 \( \phi_e\in\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)라고 하면 위상사상 \( \Phi:C_1\to\mathbb R/2\pi\mathbb Z \)는\[\Phi(\operatorname{im}\partial_2)=0 \quad \text{ (모든 2–셀 경계의 위상합이 0) }\]한 엣지 \( e ..

ResearchGate에서 추천해 준 Preprint 수준의 연구과제 내용을 요약해 보면 이 글은 양자장 이론(Quantum Field Theory) 안에서 대칭(symmetry) 이 어떻게 더 복잡해질 수 있는지를 다룬다. 기존에는 대칭이 “뒤집거나 회전해도 똑같은 성질” 같은 것이었지만, 최근 물리학에서는 완전히 되돌릴 수 없는(non-invertible) 대칭 이라는 새로운 형태가 등장했다. 되돌릴수 없는 대칭이라는 말이 애매하긴 한데 나는 이걸 "대칭을 통해 비가역현상을 만들어 낸다"는 뜻으로 이해했고 이걸 가지고 엔트로피 문제에 대입해 보았다. 엔트로피 법칙은 미시적(양자 수준) 법칙은 대칭적이고 가역적이지만 거시적(우리 눈에 보이는 세계) 법칙은 비가역적이다. 즉, “작은 세계는 되돌릴 수 있..

FCC 격자와 이를 바탕으로 한 최소 결합 루프를 수학적으로 정의할 필요가 있다고 생각되어 다음과 같이 구조화를 진행한다. FCC 격자의 위상장(cochain) 구조격자 정의FCC 격자의 그래프를 다음과 같이 둔다. (여기서 \(V\)는 site(정점) 집합, \(E\)는 link(변) 집합이다.)\[G = (V, E)\]격자의 최소 닫힌 루프는 정삼각형과 정사각형 경계로 이루어진다.\[\mathcal{P} = \mathcal{P}_3 \cup \mathcal{P}_4\] 위상(cochain) 변수의 정의 각 site \(i \in V\)에는 위상을 둔다:\[\phi_i \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, \qquad \text{(0-cochain)}\]각 link \(e = (i ..