[v1.4] 기본가정 및 공리 - 전하

A7. 전하(Electric Charge) 정의 — 기하학적 스핀의 산술(Arithmetic)

1. 핵심 원리

• 전하는 입자를 이루는 3차원 위상 구조(정사면체·정팔면체)의 꼭짓점들에 놓인 Qaether의 SU(2) 스핀 상태로부터 U(1) 성분을 산술 합하여 얻는 창발적 내부량이다.
• 전하는 외부에서 “붙는 숫자”가 아니라, 최소단위 스핀의 방향성·위상이 만드는 총합 결과다.
• 이 이론에서 “유효 쿼크”의 최소 단위는 정팔면체이며, 전하값은 정팔면체의 축 방향 위상 불균형으로 정해진다(플라켓은 색의 기본 속성만 제공).
• (배경) 스핀 자유도와 루프 홀로노미(SU(2)–SO(3) 이중피복)는 A5에 준함.

 

2. 정의의 계층 구조

(1) 근본 자유도 — 꼭짓점의 SU(2) 스핀

각 꼭짓점 \(i\)의 내부 상태(스핀)는

$$\mathbf q_i=\exp\!\left[i\,\frac{\phi_i}{2}\,\big(\mathbf n_i\!\cdot\!\boldsymbol\sigma\big)\right],\qquad \mathbf n_i\in S^2,\ \ \phi_i\in(-\pi,\pi]$$

로 둔다. (A1과 정합)

(2) U(1) 성분 추출 — 게이지-공변(co-rotating) 축을 쓰는 국소 전하

• 참조축 정의(중요): U(1) 투영축 \(\hat{\mathbf u}\)는 외부 고정 벡터가 아니라 SU(2) 게이지변환과 함께 회전하는 내부 참조축이다. 기준 정점 \(v_0\)에서 \(\hat{\mathbf u}_{v_0}\)를 정하고, 각 꼭짓점 \(i\)에는 병렬수송으로\(\hat{\mathbf u}_i:=\mathcal P_{i\leftarrow v_0}\big(\hat{\mathbf u}_{v_0}\big)\)를 둔다. 게이지변환 \(q_i\!\to\!g_i q_i\)에 대해 \(\hat{\mathbf u}_i\!\to\!g_i\hat{\mathbf u}_i g_i^{-1}\)이므로 투영량은 게이지-공변이다.
• 국소 전하 기여:$$\boxed{\,c_i \;=\; k_0\;\frac{\phi_i}{2}\,\big(\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u}_i\big)\,}$$여기서 \(k_0\)는 정규화 상수.
• 정규화(전자 캘리브레이션): 기준 입자(전자) \(P_{\rm ref}\)에 대해 다음과 같은 방법으로 \(k_0\)를 고정한다. (이 한 번의 고정으로 쿼크 분수 전하가 자동 일치) $$Q_{P_{\rm ref}}=\sum_{i\in V(P_{\rm ref})}k_0\,\frac{\phi_i}{2}\big(\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u}_i\big)=-e$$
• 경로의존성 규약: \(\hat{\mathbf u}_i\) 병렬수송 경로 선택은 (i) 루프 홀로노미가 중심(\(±\mathbb I\))에 잠긴 섹터 또는 (ii) 스패닝 트리 게이지 고정에서 켤레변환 등가로 흡수되어, 물리량 \(Q_P\)에는 영향이 없다.

(3) 기하학적 총합 — 입자의 총 전하

$$\boxed{\,Q_P=\sum_{i\in \text{Vertices}(P)} c_i\,}$$ (여기서 P가 정팔면체이면 한 개의 유효 쿼크에 해당.)

 

3. 위상 양자화와 전하 양자화

• '격자 위상 조건(A2)'에 의해 링크/회전 위상은 \(\pi/6\) 단위로 양자화된다:

$$\boxed{\,\phi_i = m_i\,\frac{\pi}{6}\ \ (\mathrm{mod}\ 2\pi),\quad m_i\in\mathbb Z\,}$$

• 따라서, \(c_i\)는 다음과 같은 조건으로 \(\pi/12\) 단위의 유리수배가 된다. 결과적으로 \(Q_P=\sum_i c_i\)도 자연스럽게 양자화된다.

$$c_i=k_0\,\frac{\pi}{12}\; m_i\,\big(\mathbf n_i\!\cdot\!\hat{\mathbf u}_i\big)$$

• 입자–반입자 공변성: \(\mathbf n_i\!\to\!-\mathbf n_i\) 또는 \(\phi_i\!\to\!-\phi_i\)이면 \(Q_P\!\to\!-Q_P\).

 

4. 분수 전하의 수학적 유도

• 정사면체(삼각 트라이앵글릿 4개) 구조에서는 공유-대칭으로 일부 꼭짓점 기여가 상쇄되어 \(Q\in\{0,\pm e\}\) 정수 전하가 재현된다.
• 정팔면체(Octahedron) 결합에서 대칭축을 표준형으로 택하고
  • 표준 배치에서 정팔면체의 6꼭짓점을 \(\{\pm\hat x,\pm\hat y,\pm\hat z\}\)로 두고 전하 축을 \(\hat z\)로 잡는다(일반 배치는 공변 축 사용).
  • 안정 정렬 \((\mathbf n\!\cdot\!\hat{\mathbf u}_i)\in\{0,\pm1\}\) 가정 및 적도 상쇄(\(\pm\hat x,\pm\hat y\))를 쓰면, $$Q_{\rm oct}=q_0\,[\,m_{+z}-m_{-z}\,],\qquad q_0:=k_0\,\frac{\pi}{12},$$ 이고 \(m_{\pm z}\in\mathbb Z\). 전자 캘리브레이션으로 \(q_0=e/3\)가 정해지면 $$\boxed{\,Q_{\rm oct}\in\Big\{0,\ \pm\tfrac{e}{3},\ \pm\tfrac{2e}{3},\ \ldots\Big\}\,}$$ 이 되어 분수 전하가 필연적으로 나타난다.
• 맛과의 일치(캘리브레이션 선택): $$u:\ \Delta m_z=+2\ \Rightarrow\ Q=+2e/3,\qquad d:\ \Delta m_z=-1\ \Rightarrow\ Q=-e/3,\qquad s:\ \Delta m_z=-1\ \Rightarrow\ Q=-e/3$$

 

5. 물리적 귀결(요약)

• 전하 양자화: \(\phi_i=\frac{\pi}{6}m_i\)로 \(c_i, Q_P\)가 자동 이산화.
• 중성의 가능성: 대칭 배열로 \(\sum_i c_i=0\) 실현.
• 정수 전하 보장(합성 규칙):
  • 바리온(정팔면체 3개): p(=uud)=+1, n(=udd)=0p(=uud)=+1,\ n(=udd)=0.
  • 메손(정팔면체–반정팔면체): 전하 상쇄(보통 0).
• 게이지/좌표 불변성: SU(2) 회전 시 \(\{\mathbf n_i\},\{\hat{\mathbf u}_i\}\)가 함께 공변 → \(Q_P\) 불변. 경로 선택 차이는 켤레변환 등가로 소거.
• 보존·합성: 결절점에서 \(\sum Q=0\)이 유지되며, 복합 상태 전하는 성분 전하의 산술 합으로 결정된다.
• 견고성: 미소 변형·열요동 하에서도 섹터 전이가 없으면 Q는 유리수 격자(단위 \(q_0\))를 유지한다.

 

6. 결론

Qaether 이론에서 전하는 (i) SU(2) 스핀의 U(1) 공변 투영과 (ii) 꼭짓점 합으로 정의되며, FCC의 \(\pi/6\) 위상 양자화와 기하학적 대칭만으로 정수·분수 전하 스펙트럼이 일관되게 산출된다. 본 정의는 게이지 불변이고, 전자 캘리브레이션을 통해 관측 전하 값들과 정합한다.