[v2.2] Qaether Theory: Static Boundary-Graph Axioms

Qaether motif 공간

0. 문서의 지위와 기본 원칙

가장 중요한 원칙은 다음이다.

$$
\boxed{
\text{Qaether는 공간 안의 점이 아니라, 공간의 최소단위 자체이다.}
}
$$

따라서 본 문서에서

$$
v \in V
$$

는 Qaether의 중심점이 아니라 하나의 Qaether unit, 즉 하나의 minimal unit of space를 나타낸다.

이 관점에서 Qaether 공간은 다음과 같은 구조이다.

$$
\boxed{
\text{Qaether 공간} := \text{motif-decorated minimal-space-unit adjacency geometry}.
}
$$

즉 Qaether 공간은 기존 유클리드 공간 안에 점들을 배치한 뒤 그 점들을 연결한 그래프가 아니다. 오히려 공간 자체의 최소단위들이 primitive adjacency relation을 통해 직접 결합하고, 그 위에 triangular closure, (T/O)-motif, cyclic order, phase data가 중첩된 구조이다.

핵심 분리는 다음이다.

$$
\boxed{
T\text{-motif} \neq \text{actual tetrahedral } 3\text{-cell},
\qquad
O\text{-motif} \neq \text{actual octahedral } 3\text{-cell}.
}
$$

또한

$$
\boxed{
T\text{-motif} \neq \text{tetrahedron whose vertices are Qaether centers},
}
$$

$$
\boxed{
O\text{-motif} \neq \text{octahedron whose vertices are Qaether centers}.
}
$$

정확히는 (T)-motif는 네 Qaether unit 사이의 $K_4$-type primitive closure pattern이고, (O)-motif는 여섯 Qaether unit 사이의 opposite-paired $K_{2,2,2}$-type closure pattern이다.

Regular tetrahedron과 regular octahedron의 dihedral angle은 실제 3-cell geometry에서 유도되는 값이 아니라, Qaether motif geometry에 부여하는 effective calibration angle이다.

---

1. 기본 자료: Qaether unit, primitive adjacency, triangular closure

1.1 Qaether unit set

$$
\boxed{
V = \text{the set of Qaether units, i.e. minimal units of space}.
}
$$

한국어로 말하면,

$$
\boxed{
V\text{는 공간의 최소단위인 Qaether들의 집합이다.}
}
$$

각 원소 $v \in V$는 어떤 작은 물체의 중심점이 아니라, 하나의 최소공간단위 자체를 나타낸다.

따라서 이후 문서에서 vertex라는 말은 graph-theoretic representation을 의미할 뿐이며, 기존 배경공간 안에 놓인 점이라는 뜻이 아니다.

1.2 Primitive adjacency relation

두 Qaether unit 사이의 직접 인접 또는 직접 결합 관계를 edge라고 하고,

$$
E \subseteq \binom{V}{2}
$$

라고 둔다. 따라서 edge는 unordered pair

$$
e = \{u, v\}
$$

이다.

해석은 다음과 같다.

$$
\boxed{
\{u,v\} \in E \iff u\text{와 } v\text{라는 두 Qaether unit이 primitive adjacency relation을 가진다.}
}
$$

여기서 $e$는 기존 공간 안의 선분이 아니다. 그것은 두 최소공간단위 사이의 primitive adjacency relation이다.

1.3 Calibrated adjacency scale

모든 primitive adjacency에는 동일한 calibration scale을 부여한다. 이를 Planck adjacency scale이라고 하고,

$$
\ell_P > 0
$$

로 둔다. 모든 $e \in E$에 대해

$$
\ell(e) = \ell_P.
$$

이때 $\ell_P$는 Qaether unit 자체의 지름이 아니다. 또한 두 중심점 사이의 실제 거리라고 해석해서도 안 된다.

$$
\boxed{
\ell_P \text{ is not the diameter of a Qaether unit; it is the calibrated scale assigned to a primitive adjacency relation.}
}
$$

한국어로는 다음과 같다.

$$
\boxed{
\ell_P\text{는 Qaether 자체의 지름이 아니라, 직접 인접 관계에 부여한 기본 길이 척도이다.}
}
$$

기본 adjacency graph는

$$
\boxed{
G_Q = (V, E, \ell_P)
}
$$

이다. 여기서 $G_Q$는 simple graph이다. 즉 self-loop와 multiple edge는 허용하지 않는다.

이 구조를 metric graph라고 부를 수는 있지만, 그 metric은 기존 배경공간의 점들 사이 거리라기보다 primitive adjacency에 부여된 calibrated scale이다.

1.4 Local finiteness

Qaether 공간은 다음 local finiteness 조건을 만족해야 한다.

$$
\deg(v) < \infty \qquad (v \in V),
$$
$$
\#\{f \in F_\triangle : e \subset f\} < \infty \qquad (e \in E),
$$
$$
\#\{\mu \in \mathcal{M}_T \cup \mathcal{M}_O : e \in E(\mu)\} < \infty \qquad (e \in E).
$$

즉 각 Qaether unit과 각 primitive adjacency 주변에는 유한한 수의 adjacency, triangular closure, motif만 incident한다.

1.5 Primitive triangular closure

세 Qaether unit $v_1, v_2, v_3 \in V$가 서로 모두 primitive adjacency로 연결되어 있으면,

$$
\{v_1,v_2\}, \{v_2,v_3\}, \{v_3,v_1\} \in E
$$

이고, 이는 graph-theoretic triangular loop이다. 그러나 모든 triangular loop가 자동으로 triangular closure가 되는 것은 아니다.

Qaether 공간에서는 selected primitive triangular closure set을 별도로 둔다.

$$
\boxed{
F_\triangle \subseteq \{[v_1 v_2 v_3] : v_1 v_2 v_3 v_1 \text{ is a primitive triangular loop}\}
}
$$

여기서 $[v_1 v_2 v_3]$는 unordered triangular boundary, 즉 세 Qaether unit의 집합 $\{v_1, v_2, v_3\}$을 의미한다.

따라서

$$
\boxed{
3\text{-cycle} \nRightarrow \text{primitive triangular closure}.
}
$$

이 구분은 중요하다. 세 Qaether unit이 서로 인접한다고 해서 반드시 공간적 closure를 형성한다고 볼 수는 없기 때문이다.

v2.2에서는 $F_\triangle$를 set으로 둔다. 같은 boundary를 가진 중복 triangular closure는 허용하지 않는다. 중복 closure가 필요해지면 향후 버전에서 별도의 2-cell incidence data로 확장한다.

---

2. (T)-motif와 (O)-motif

2.1 (T)-motif: four-Qaether $K_4$-closure

네 개의 서로 다른 Qaether unit

$$
\tau = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \subset V, \qquad |\tau|=4
$$

가 모든 쌍마다 primitive adjacency로 연결되어 있으면, 이들은 $K_4$-skeleton을 이룬다.

$$
\{v_i, v_j\} \in E \qquad (1 \le i < j \le 4).
$$

이때

$$
E(\tau) = \{\{v_i, v_j\} : 1 \le i < j \le 4\}
$$

이고,

$$
\partial_\triangle \tau := \{[v_1 v_2 v_3], [v_1 v_2 v_4], [v_1 v_3 v_4], [v_2 v_3 v_4]\}.
$$

Admissible (T)-configuration들의 집합은

$$
\boxed{
\operatorname{Adm}_T :=
\left\{
\tau = \{v_1, v_2, v_3, v_4\} \subset V :
\begin{array}{l}
|\tau|=4, \\
\{v_i, v_j\} \in E \quad (1 \le i < j \le 4), \\
\partial_\triangle \tau \subseteq F_\triangle
\end{array}
\right\}.
}
$$

실제로 활성화된 (T)-motif set은 선택된 부분집합이다.

$$
\boxed{
\mathcal{M}_T \subseteq \operatorname{Adm}_T.
}
$$

(T)-motif는 ordered tuple이 아니라 4-element subset이므로 unrooted이다. Qaether unit의 나열 순서는 (T)-motif를 바꾸지 않는다.

정확한 해석은 다음이다.

$$
\boxed{
T\text{-motif} := \text{selected four-Qaether } K_4\text{-type primitive closure pattern}.
}
$$

(T)-motif는 실제 tetrahedral 3-cell이 아니며, Qaether 중심점들이 만든 정사면체도 아니다.

2.2 (O)-motif: six-Qaether opposite-paired $K_{2,2,2}$-closure

(O)-motif는 단순한 6-element subset이 아니라 opposite-pairing을 가진 6-Qaether configuration이다.

$$
\omega = (X_\omega, \mathcal{P}_\omega)
$$

를 하나의 opposite-paired octahedral closure configuration이라고 한다. 여기서

$$
X_\omega \subset V, \qquad |X_\omega|=6,
$$

이고,

$$
\mathcal{P}_\omega = \{P_1, P_2, P_3\}
$$

는 $X_\omega$를 세 개의 unordered two-element subset으로 분할한 partition이다.

중요하게, (O)-motif 자체는 pair

$$
\boxed{
\omega = (X_\omega, \mathcal{P}_\omega)
}
$$

이다. 표기

$$
P_i = \{x_i^+, x_i^-\} \qquad (i=1,2,3)
$$

에서 $(+/-)$ labeling은 auxiliary notation일 뿐이다. 즉 $\mathcal{P}_\omega$는 순서 없는 세 pair의 집합이고, 각 $P_i$도 순서 없는 two-element set이다. 따라서 다음 변화들은 같은 (O)-motif의 다른 presentation일 뿐이다.

$$
P_1, P_2, P_3\text{의 순열}, \qquad x_i^+ \leftrightarrow x_i^-.
$$

같은 opposite pair에 속한 두 Qaether unit은 primitive adjacency로 연결되지 않는다.

$$
\{x_i^+, x_i^-\} \notin E \qquad (i=1,2,3).
$$

서로 다른 opposite pair에 속한 Qaether unit들은 모두 primitive adjacency로 연결된다.

$$
\{x_i^\epsilon, x_j^\eta\} \in E \qquad (i \neq j, \ \epsilon, \eta \in \{+,-\}).
$$

따라서

$$
\boxed{
E(\omega) := \left\{ \{x_i^\epsilon, x_j^\eta\} : 1 \le i < j \le 3, \ \epsilon, \eta \in \{+,-\} \right\}.
}
$$

특히 $\#E(\omega)=12$이고, skeleton은 $K_{2,2,2}$이다.

(O)-motif의 triangular boundary는

$$
\partial_\triangle \omega := \{[x_1^{\epsilon_1} x_2^{\epsilon_2} x_3^{\epsilon_3}] : \epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \in \{+,-\}\}.
$$

Admissible (O)-configuration들의 집합은

$$
\boxed{
\operatorname{Adm}_O :=
\left\{
\omega = (X_\omega, \mathcal{P}_\omega) :
\begin{array}{l}
X_\omega \subset V, \ |X_\omega|=6, \\
\mathcal{P}_\omega = \{P_1, P_2, P_3\} \text{ is a partition of } X_\omega \\
\text{into three unordered two-element subsets}, \\
P_i = \{x_i^+, x_i^-\} \text{ is auxiliary notation}, \\
\{x_i^+, x_i^-\} \notin E \quad (i=1,2,3), \\
\{x_i^\epsilon, x_j^\eta\} \in E \quad (i \neq j, \ \epsilon, \eta \in \{+,-\}), \\
\partial_\triangle \omega \subseteq F_\triangle
\end{array}
\right\}.
}
$$

실제로 활성화된 (O)-motif set은 선택된 부분집합이다.

$$
\boxed{
\mathcal{M}_O \subseteq \operatorname{Adm}_O.
}
$$

따라서

$$
\boxed{
O\text{-motif} := \text{selected six-Qaether opposite-paired } K_{2,2,2}\text{-type closure pattern}.
}
$$

(O)-motif는 실제 octahedral 3-cell이 아니며, Qaether 중심점들이 만든 정팔면체도 아니다.

---

3. Square-type phase channel

(O)-motif는 실제 square face를 갖지 않는다. 정팔면체의 실제 2-face는 모두 삼각형이기 때문이다.

하지만 (O)-motif의 $K_{2,2,2}$-skeleton 안에는 세 개의 canonical induced $K_{2,2}$ subgraph가 있다. 서로 다른 두 opposite pair $(P_i, P_j)$를 고르면 $P_i \cup P_j$ 위의 induced subgraph는 $K_{2,2}$이고, 이를 square-type phase channel로 본다.

각 (O)-motif $\omega$에 대해

$$
\boxed{
\mathcal{C}_\square(\omega) := \{C_{12}(\omega), C_{13}(\omega), C_{23}(\omega)\}.
}
$$

여기서

$$
\boxed{
C_{ij}(\omega) := [x_i^+, x_j^+, x_i^-, x_j^-]_{\mathrm{unor}}.
}
$$

$[x_i^+, x_j^+, x_i^-, x_j^-]_{\mathrm{unor}}$는 cyclic rotation과 reversal을 quotient한 unoriented 4-cycle이다. 이 표기는 opposite-pair의 순서 변경이나 $(+/-)$ 교환에 의존하지 않는다.

Qaether phase theory에서는 motif별 channel contribution을 구분하는 것이 안전하므로, v2.2의 기본 square-channel set은 motif-tagged disjoint union이다.

$$
\boxed{
\widetilde{\mathcal{C}}_\square := \bigsqcup_{\omega \in \mathcal{M}_O} \mathcal{C}_\square(\omega) = \{(\omega, C_{ij}) : \omega \in \mathcal{M}_O, \ 1 \le i < j \le 3\}.
}
$$

필요할 경우 ambient 4-cycle만 보는 quotient를 둘 수 있다.

$$
\boxed{
\mathcal{C}_\square := \widetilde{\mathcal{C}}_\square / \sim_{\mathrm{amb}},
}
$$

여기서 $\sim_{\mathrm{amb}}$는 같은 ambient adjacency 4-cycle을 동일시하는 동치관계이다.

---

4. Qaether 공간의 기본 정의와 유도량

4.1 기본 정의

Geometric Qaether 공간은 다음 tuple이다.

$$
\boxed{
\mathcal{S}_Q := \left( V, E, \ell_P, F_\triangle, \mathcal{M}_T, \mathcal{M}_O, \operatorname{cyc} \right).
}
$$

여기서

- $V = \text{Qaether units}$,
- $E = \text{primitive adjacency relations between Qaether units}$,
- $\ell_P = \text{calibrated Planck-scale adjacency length}$,
- $F_\triangle = \text{selected primitive triangular closures}$,
- $\mathcal{M}_T = \text{selected } K_4\text{-type Qaether closure motifs}$,
- $\mathcal{M}_O = \text{selected opposite-paired } K_{2,2,2}\text{-type Qaether closure motifs}$.

4.2 Edge 주변 incident motif set과 cyclic order

각 primitive adjacency $e \in E$에 대해

$$
I_e := \{\mu \in \mathcal{M}_T \cup \mathcal{M}_O : e \in E(\mu)\}
$$

라고 한다. Local finiteness에 의해 $I_e$는 finite set이다.

$\operatorname{cyc}_e$는 $I_e$ 위의 cyclic order이다.

$$
\boxed{
\operatorname{cyc} := \{\operatorname{cyc}_e : e \in E\}.
}
$$

퇴화 경우에 대해서는 다음 convention을 둔다.

$$
\boxed{
|I_e| \le 2\text{이면 } I_e\text{ 위의 cyclic order는 유일한 degenerate cyclic order로 본다.}
}
$$
$$
\boxed{
|I_e| \ge 3\text{일 때만 일반적인 cyclic order를 사용한다.}
}
$$

Order defect는 오직 $(t_e, o_e) = (2,2)$, 즉 $|I_e| = 4$인 primitive adjacency에서만 사용된다.

중요하게,

$$
\boxed{
\operatorname{cyc}\text{는 adjacency-local abstract cyclic order data일 뿐, global } 3D\text{ realization을 보장하지 않는다.}
}
$$

4.3 Adjacency 주변 (T/O) count

방향성이 있는 모서리($\vec{e}$)가 아니라 각 무방향 primitive adjacency $e \in E$에 대해

$$
\boxed{
t_e := \#\{\tau \in \mathcal{M}_T : e \in E(\tau)\},
}
$$
$$
\boxed{
o_e := \#\{\omega \in \mathcal{M}_O : e \in E(\omega)\}.
}
$$

여기서 반드시 unrooted motif를 센다. Rooted presentation이나 labeled presentation을 세면 안 된다.

다음 자료들은 기본 선택 자료가 아니라 유도 자료이다.

$$
\boxed{
\widetilde{\mathcal{C}}_\square, \mathcal{C}_\square, t_e, o_e, K_Q, \delta_{\mathrm{geom}}, \delta_{\mathrm{ord}} \text{ are derived data.}
}
$$

---

5. Effective angle calibration과 adjacency defect

5.1 Effective calibration angles

(T/O)-motif는 실제 다면체 cell이 아니지만, 각각 regular tetrahedron과 regular octahedron의 dihedral angle을 effective angle로 갖는다고 calibration한다.

$$
\boxed{
\theta_T = \arccos\left(\frac{1}{3}\right), \qquad \theta_O = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right).
}
$$

그러면

$$
\theta_O = \pi - \theta_T, \qquad \theta_T + \theta_O = \pi.
$$

따라서

$$
2\theta_T + 2\theta_O = 2\pi.
$$

이 관계가 (2T+2O) balance가 특별한 이유이다. 단, $\theta_T, \theta_O$는 실제 graph embedding에서 자동 유도되는 값이 아니라 effective calibration angle이다.

5.2 Qaether adjacency defect

Primitive adjacency $e = \{u, v\} \in E$ 주변의 Qaether effective defect를

$$
\boxed{
K_Q(e) := 2\pi - \left(t_e \theta_T + o_e \theta_O\right)
}
$$

로 정의한다.

더 정확한 해석은 다음이다.

$$
\boxed{
K_Q(e) := \text{motif-residual defect around the primitive adjacency } u \sim v.
}
$$

즉 $K_Q(e)$는 기존 공간 안의 선분 주변 곡률이 아니라, 두 Qaether unit의 primitive adjacency 주변에 쌓인 motif balance defect이다.

- $K_Q(e) > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{effective angle deficit}$,
- $K_Q(e) = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{the adjacency is motif-angle-balanced under regular calibration}$,
- $K_Q(e) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{effective angle excess 또는 bonding stress}$.

여기서 curvature는 Riemann curvature tensor가 아니다.

$$
\boxed{
K_Q(e) = \text{adjacency-local effective angular defect}.
}
$$

5.3 (2T+2O) 조건의 유일성

Proposition 5.1

Regular calibration 아래에서

$$
\boxed{
K_Q(e) = 0 \iff (t_e, o_e) = (2,2).
}
$$

**Proof**
Local finiteness와 motif counting 정의에 의해
$$
t_e, o_e \in \mathbb{Z}_{\ge 0}.
$$
$K_Q(e) = 0$이면
$$
t_e \theta_T + o_e \theta_O = 2\pi.
$$
$\theta_O = \pi - \theta_T$이므로
$$
t_e \theta_T + o_e (\pi - \theta_T) = 2\pi.
$$
따라서
$$
(t_e - o_e) \theta_T + (o_e - 2)\pi = 0.
$$
양변을 $\pi$로 나누면
$$
(t_e - o_e)\frac{\theta_T}{\pi} + o_e - 2 = 0.
$$
이제 $\theta_T/\pi \notin \mathbb{Q}$이다. 실제로 $\theta_T/\pi \in \mathbb{Q}$라면 Niven theorem에 의해 rational angle의 rational cosine은
$$
0, \quad \pm\frac{1}{2}, \quad \pm 1
$$
중 하나여야 한다. 그러나 $\cos\theta_T = 1/3$이므로 모순이다.

따라서 정수 계수 식 $(t_e - o_e)\frac{\theta_T}{\pi} + o_e - 2 = 0$ 이 성립하려면
$$
t_e - o_e = 0, \qquad o_e - 2 = 0
$$
이어야 한다. 즉 $t_e = o_e = 2$.
반대로 $(t_e, o_e) = (2,2)$이면
$$
t_e \theta_T + o_e \theta_O = 2\theta_T + 2\theta_O = 2\pi,
$$
따라서 $K_Q(e) = 0$이다. $\blacksquare$

이 명제는 regular calibration 아래에서만 참이다.

---

6. Defect indicators와 sector

6.1 Geometric defect

Geometric defect indicator를 $\delta_{\mathrm{geom}} : E \to \{0,1\}$ 로 정의한다.

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e) :=
\begin{cases}
0, & K_Q(e) = 0, \\
1, & K_Q(e) \neq 0.
\end{cases}
}
$$

Regular calibration 아래에서
$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{geom}}(e) = 0 \iff (t_e, o_e) = (2,2).
}
$$

6.2 Order defect

Order defect는 모든 primitive adjacency에서 정의하지 않는다. 정의역은 geometric defect-free adjacency들의 집합이다.

$$
E_{\mathrm{geom}=0} := \{e \in E : \delta_{\mathrm{geom}}(e) = 0\}.
$$

Regular calibration 아래에서는
$$
E_{\mathrm{geom}=0} = \{e \in E : (t_e, o_e) = (2,2)\}.
$$

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}} : E_{\mathrm{geom}=0} \to \{0,1\}.
}
$$

만약 $e \in E_{\mathrm{geom}=0}$이면 $e$ 주변에는 두 개의 (T)-motif와 두 개의 (O)-motif가 있다. 이 네 motif의 cyclic type은 cyclic rotation과 reversal을 같은 것으로 보면 정확히 두 가지이다.

$$
T-O-T-O, \qquad T-T-O-O.
$$

이를 각각 TOTO, TTOO라고 부른다.

$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e) = 0 \iff \operatorname{cyc}_e \sim TOTO.
}
$$
$$
\boxed{
\delta_{\mathrm{ord}}(e) = 1 \iff \operatorname{cyc}_e \sim TTOO.
}
$$

따라서

$$
\boxed{
TOTO = \text{adjacency-geometrically defect-free and order defect-free},
}
$$
$$
\boxed{
TTOO = \text{adjacency-geometrically defect-free but order-defective}.
}
$$

주의할 점은 다음이다.
$$
\boxed{
TOTO \not\Rightarrow \text{cuboctahedral one-Qaether neighborhood in abstract Qaether space}.
}
$$
그 결론을 얻으려면 별도의 vertex-link compatibility axiom이 필요하다.

6.3 Sector, internal adjacency, internal Qaether unit

Qaether sector는 $\mathcal{S}_Q$의 부분집합이 아니라, subgraph와 내부 adjacency/internal Qaether unit data로 정의한다.

$$
\boxed{
U = (V_U, E_U, E_U^{\mathrm{int}}, V_{U,\star}^{\mathrm{int}}, V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}})
}
$$
where
$$
V_U \subseteq V, \qquad E_U \subseteq E, \qquad E_U^{\mathrm{int}} \subseteq E_U,
$$
$$
V_{U,\star}^{\mathrm{int}} \subseteq V_U, \qquad V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}} \subseteq V_U.
$$

내부 adjacency의 canonical choice는 다음이다.
$$
\boxed{
E_U^{\mathrm{int}} := \{e \in E_U : \mu \in I_e \Rightarrow V(\mu) \subseteq V_U \text{ and } E(\mu) \subseteq E_U\}.
}
$$
여기서
$$
V(\tau) = \tau \quad (\tau \in \mathcal{M}_T), \qquad V(\omega) = X_\omega \quad (\omega \in \mathcal{M}_O).
$$

만약 $I_e = \varnothing$이면 위 조건은 공허하게 참이다. 이 경우 $e$는 motif-free internal adjacency가 될 수 있으며, $(t_e, o_e) = (0,0)$이므로 regular calibration 아래에서 geometric defect adjacency로 분류된다. Motif-supported internal adjacency만 다루고 싶다면 추가로 $I_e \neq \varnothing$을 요구한 부분집합을 사용할 수 있다.

내부 Qaether unit은 두 단계로 정의한다.

먼저 adjacency-star-internal Qaether unit을
$$
\boxed{
V_{U,\star}^{\mathrm{int}} := \left\{ v \in V_U : \{v,u\} \in E \Rightarrow u \in V_U \text{ and } \{v,u\} \in E_U \right\}
}
$$
로 둔다. 즉 $v$와 직접 인접한 모든 Qaether unit이 sector 안에 있으며, 그 primitive adjacency도 sector 안에 있다.

그다음 full-internal Qaether unit을
$$
\boxed{
V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}} := V_{U,\star}^{\mathrm{int}} \cap \left\{ v \in V_U : \mu \in I_v \Rightarrow V(\mu) \subseteq V_U \text{ and } E(\mu) \subseteq E_U \right\}
}
$$
로 정의한다. 여기서
$$
I_v := \{\mu \in \mathcal{M}_T \cup \mathcal{M}_O : v \in V(\mu)\}.
$$

즉 $v \in V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}$이면 $v$의 adjacency star와 $v$에 incident한 모든 motif가 sector 안에 완전히 포함된다. Vertex-link compatibility는 boundary Qaether unit이 아니라 $V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}$에 대해서만 적용한다.

만약 sector graph를 induced subgraph로 제한한다면
$$
E_U = E \cap \binom{V_U}{2}
$$
를 추가할 수 있고, 이 경우 $V(\mu) \subseteq V_U$만으로 $E(\mu) \subseteq E_U$가 자동으로 따른다.

Intrinsic counts는
$$
t_e^U := \#\{\tau \in \mathcal{M}_T : e \in E(\tau), \ V(\tau) \subseteq V_U, \ E(\tau) \subseteq E_U\},
$$
$$
o_e^U := \#\{\omega \in \mathcal{M}_O : e \in E(\omega), \ V(\omega) \subseteq V_U, \ E(\omega) \subseteq E_U\}.
$$

위 canonical interior definition을 쓰면 내부 adjacency $e \in E_U^{\mathrm{int}}$에서
$$
t_e = t_e^U, \qquad o_e = o_e^U.
$$
Sector classification은 항상 $e \in E_U^{\mathrm{int}}$에 대해 적용한다.

6.4 Sector types

**1) (T)-only curved bare sector**
$$
\boxed{
U\text{ is } T\text{-only} \iff o_e = 0 \text{ and } t_e > 0 \quad (e \in E_U^{\mathrm{int}}).
}
$$
Regular calibration 아래에서 (T)-only sector는 항상 adjacency-geometric defect를 갖는다. 단, $K_Q(e)$의 부호는 $t_e$에 따라 달라질 수 있다.

**2) (2T+2O) relaxed sector**
$$
\boxed{
(t_e, o_e) = (2,2) \quad (e \in E_U^{\mathrm{int}}).
}
$$
이면 $K_Q(e) = 0$이다. 따라서 이는 adjacency-geometrically defect-free relaxed sector 또는 locally angle-balanced sector이다.

**3) (TOTO) order-perfect sector**
모든 내부 adjacency에서
$$
(t_e, o_e) = (2,2), \qquad \operatorname{cyc}_e \sim TOTO
$$
이면 $U$를 (TOTO) order-perfect sector라고 한다.

**4) Order-defective relaxed sector and pure (TTOO) sector**
모든 내부 adjacency에서 $(t_e, o_e) = (2,2)$이지만 적어도 하나의 내부 adjacency에서 $\operatorname{cyc}_e \sim TTOO$이면, $U$는 order-defective relaxed sector이다.
모든 내부 adjacency에서
$$
(t_e, o_e) = (2,2), \qquad \operatorname{cyc}_e \sim TTOO
$$
이면 $U$를 pure (TTOO) sector라고 부른다.

**5) (T/O)-imbalance defect sector**
어떤 내부 adjacency에서
$$
(t_e, o_e) \neq (2,2)
$$
이면 regular calibration 아래에서 $K_Q(e) \neq 0$이고, 해당 sector는 adjacency-geometric defect 또는 bonding stress sector이다.

---

7. Phase-extended Qaether 공간

7.1 Oriented data

Oriented adjacency set은
$$
E^{\mathrm{or}} := \{(u,v) : \{u,v\} \in E\}
$$
이다.

각 unordered triangular closure $[v_1 v_2 v_3] \in F_\triangle$는 두 orientation을 갖는다.
$$
[(v_1, v_2, v_3)]_{\mathrm{cyc}}, \qquad [(v_1, v_3, v_2)]_{\mathrm{cyc}}.
$$
여기서
$$
(v_1, v_2, v_3) \sim_{\mathrm{cyc}} (v_2, v_3, v_1) \sim_{\mathrm{cyc}} (v_3, v_1, v_2).
$$
따라서
$$
\boxed{
F_\triangle^{\mathrm{or}} := \left\{ [(v_1, v_2, v_3)]_{\mathrm{cyc}}, [(v_1, v_3, v_2)]_{\mathrm{cyc}} : [v_1 v_2 v_3] \in F_\triangle \right\}.
}
$$

각 motif-tagged square channel $(\omega, C_{ij}) \in \widetilde{\mathcal{C}}_\square$도 정확히 두 orientation을 갖는다. 이들의 집합을
$$
\boxed{
\widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}
}
$$
라고 한다.

7.2 Edge phase connection

Additive notation에서는
$$
A : E^{\mathrm{or}} \to \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}
$$
를 둔다. Orientation reversal compatibility는
$$
\boxed{
A(v,u) = -A(u,v) \quad \pmod{2\pi}.
}
$$

Multiplicative notation에서는
$$
\phi : E^{\mathrm{or}} \to U(1), \qquad \phi(v,u) = \phi(u,v)^{-1}.
$$

Phase-extended Qaether 공간은
$$
\boxed{
\mathcal{S}_Q^{\mathrm{ph}} := \left( \mathcal{S}_Q, E^{\mathrm{or}}, F_\triangle^{\mathrm{or}}, \widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}, A \right).
}
$$

7.3 Phase holonomy defect

Oriented loop $\gamma = (v_0, v_1, \dots, v_k = v_0)$ 에 대해
$$
\operatorname{Hol}_A(\gamma) := \sum_{i=0}^{k-1} A(v_i, v_{i+1}) \quad \pmod{2\pi}.
$$

각 oriented triangular closure 또는 oriented channel $c \in F_\triangle^{\mathrm{or}} \cup \widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}$ 에 대해
$$
\boxed{
F_A(c) := \operatorname{Hol}_A(\partial c) \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}
}
$$
라고 정의한다.

$F_A(c)$는 selected closure/channel loop holonomy defect이다. 이는 Riemann curvature가 아니며, square-type channel의 경우 실제 2-cell curvature도 아니다.

Orientation reversal에 대해
$$
\boxed{
F_A(\bar{c}) = -F_A(c).
}
$$
따라서 $F_A(c)$는 oriented defect이다. Unoriented defect가 필요하면 $\{F_A(c), -F_A(c)\}$ 또는 적절한 orientation-invariant norm $|F_A(c)|_{2\pi}$를 별도로 정의해야 한다.

7.4 Phase-closed sector

Phase closure는 일반적인 $\mathcal{S}_Q^{\mathrm{ph}}$의 정의에 포함하지 않는다. 그것은 special phase-closed sector를 정의하는 추가 조건이다.

선택된 oriented loop family를 $\mathcal{C}_{\mathrm{cl}} \subseteq F_\triangle^{\mathrm{or}} \cup \widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}$ 라고 하자. Phase-extended sector가 $\mathcal{C}_{\mathrm{cl}}$ 위에서 phase-closed라는 것은
$$
\boxed{
F_A(c) = 0 \qquad \text{for all } c \in \mathcal{C}_{\mathrm{cl}}
}
$$
이라는 뜻이다.

전체 selected triangular closure와 square-type channel에 대해 phase closure를 요구하려면 $\mathcal{C}_{\mathrm{cl}} = F_\triangle^{\mathrm{or}} \cup \widetilde{\mathcal{C}}_\square^{\mathrm{or}}$ 로 둔다.

7.5 $D_4$-ordering type

Square-type phase channel에 네 개의 서로 다른 phase-label $a, b, c, d$가 배치되어 있고, 실제 phase value가 아니라 boundary ordering만을 본다면, square의 dihedral symmetry group $D_4$로 quotient한 inequivalent ordering type은 정확히 3개이다.
$$
\boxed{
\#\{\text{distinct label orderings of } a,b,c,d \text{ on a square}\}/D_4 = 3.
}
$$
하지만 일반적인 phase value configuration space $(U(1))^4 / D_4$ 는 3개의 원소가 아니라 연속적인 quotient space이다.

---

8. Qaether link와 cuboctahedral compatibility

8.1 Motif-tagged candidate Qaether link

추상 Qaether 공간에서는 하나의 Qaether unit 주변 link가 자동으로 $S^2$의 cell decomposition이 되지 않는다. 따라서 먼저 motif-tagged candidate adjacency-neighborhood incidence structure를 정의한다.

각 $v \in V$에 대해 link vertex set은
$$
\boxed{
\operatorname{Lk}_Q(v)^{(0)} := \{u \in V : \{u,v\} \in E\}.
}
$$
즉 $v$와 직접 인접한 Qaether unit들이 link-vertices이다.

따라서 $\operatorname{Lk}_Q(v)$는 연속공간의 미소구면이 아니라,
$$
\boxed{
v\text{라는 하나의 Qaether unit 주변의 직접 인접 Qaether들의 incidence pattern}
}
$$
이다.

**1) (T)-motif가 주는 tagged triangular link face**
만약 $\tau = \{v, a, b, c\} \in \mathcal{M}_T$ 이면, $\operatorname{Lk}_Q(v)$ 안에 motif-tagged triangular 2-face
$$
\boxed{
(\tau, v; [abc])
}
$$
를 넣는다. 여기서 $[abc]$는 link vertex set 안의 triangular boundary이다.

**2) (O)-motif가 주는 tagged square link face**
만약 $v \in \omega \in \mathcal{M}_O$이고, auxiliary presentation을 잡아 $v = x_i^\sigma$ $(\sigma \in \{+,-\})$ 라고 하자. 그러면 $v$와 $\omega$ 안에서 primitive adjacency로 연결된 네 Qaether unit은 나머지 두 opposite pair의 unit들이다.
$$
P_j \cup P_k \qquad (\{i,j,k\} = \{1,2,3\}).
$$
이 네 Qaether unit은 link 안에서 motif-tagged square 2-face를 이룬다고 정의한다.
$$
\boxed{
(\omega, v; [x_j^+, x_k^+, x_j^-, x_k^-]_{\mathrm{unor}}).
}
$$
이 square boundary는 opposite-pair의 순서나 $(+/-)$ labeling 선택에 의존하지 않는 unoriented square boundary이다.

따라서 link 2-faces는 먼저 tagged disjoint union으로 둔다.
$$
\boxed{
\operatorname{Lk}_Q(v)^{(2)} := \operatorname{Lk}_{Q,T}(v)^{(2)} \sqcup \operatorname{Lk}_{Q,O}(v)^{(2)}.
}
$$

$\operatorname{Lk}_Q(v)$의 1-cells는 tagged triangular faces와 tagged square faces의 boundary edges로 생성한다.

이렇게 얻은 $\operatorname{Lk}_Q(v)$는 일반적으로 candidate incidence structure이다. 자동으로 regular cell complex이거나 sphere일 필요는 없다. 서로 다른 tagged faces가 같은 ambient boundary를 갖는다면, 이는 multiplicity를 가진 incidence로 남긴다. Cuboctahedral compatibility를 요구할 때는 이러한 multiplicity가 regular cell complex로 내려갈 수 있는지 별도로 검사한다.

8.2 Cuboctahedral one-Qaether neighborhood compatibility axiom

Cuboctahedral local order를 갖는 Qaether sector에서는 boundary Qaether unit이 아니라 full-internal Qaether unit에 대해 다음 axiom을 추가로 요구한다.

$$
\boxed{
\operatorname{Lk}_Q(v) \text{ is a regular cell complex and } \operatorname{Lk}_Q(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}} \qquad (v \in V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}).
}
$$

여기서 $\Sigma_{\mathrm{co}}$는 cuboctahedral spherical figure의 combinatorial type이다.

이 명제의 의미는 접공간의 구면분할이 아니라,
$$
\boxed{
v\text{라는 하나의 Qaether unit의 직접 인접구조가 cuboctahedral incidence type을 가진다는 뜻이다.}
}
$$

따라서 정확한 논리 관계는 다음이다.
$$
\boxed{
2T+2O \Rightarrow K_Q(e)=0.
}
$$
$$
\boxed{
2T+2O+TOTO \Rightarrow \text{adjacency-local order defect-free}.
}
$$
하지만
$$
\boxed{
2T+2O+TOTO \not\Rightarrow \operatorname{Lk}_Q(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}} \text{ in abstract Qaether space}.
}
$$

Cuboctahedral/FCC-type local order는 추가 compatibility axiom 또는 별도 존재정리가 필요한 상위 구조이다.

---

9. FCC-type skeleton과 vacuum candidate

9.1 Standard FCC graph as reference model

표준 FCC lattice를
$$
\boxed{
\Lambda_{\mathrm{FCC}} := \{(i,j,k) \in \mathbb{Z}^3 : i+j+k \equiv 0 \pmod{2}\}
}
$$
로 둔다. 표준 FCC nearest-neighbor graph를
$$
\boxed{
\Gamma_{\mathrm{FCC}} = (\Lambda_{\mathrm{FCC}}, E_{\mathrm{FCC}})
}
$$
라고 하고, $\{p,q\} \in E_{\mathrm{FCC}} \iff |p-q| = \sqrt{2}$ 로 정의한다. 필요하면 전체 graph를 homothety로 rescale하여 nearest-neighbor length를 $\ell_P$로 맞춘다.

그러나 이 FCC lattice는 Qaether unit들이 기존 유클리드 공간 안에 점으로 박혀 있다는 뜻이 아니다. 그것은 Qaether adjacency graph의 local combinatorial type을 비교하기 위한 reference graph이다.

$$
\boxed{
\text{The FCC lattice is used only as a reference graph for local adjacency type; it is not assumed that Qaether units are embedded as points in a pre-existing Euclidean space.}
}
$$

한국어로는 다음과 같다.
$$
\boxed{
FCC\text{ lattice는 Qaether들이 기존 유클리드 공간 안에 점으로 박혀 있다는 뜻이 아니라, Qaether adjacency graph의 표준 비교모델이다.}
}
$$

9.2 FCC-type local skeleton

Sector $U = (V_U, E_U, E_U^{\mathrm{int}}, V_{U,\star}^{\mathrm{int}}, V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}})$가 반경 $r$에서 FCC-type local skeleton을 갖는다는 것은, 모든 $v \in V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}$에 대해 $G_Q|_U$에서의 radius-$r$ graph ball이 $\Gamma_{\mathrm{FCC}}$의 어떤 vertex 주변 radius-$r$ graph ball과 graph-isomorphic이라는 뜻이다.

$$
\boxed{
B_{G_Q|_U}(v,r) \cong B_{\Gamma_{\mathrm{FCC}}}(p,r) \quad \text{for some } p \in \Lambda_{\mathrm{FCC}}.
}
$$

모든 finite radius $r$에 대해 이 조건이 성립하면, $U$는 locally FCC-type skeleton을 갖는다고 한다. Global FCC skeleton을 요구하려면 $G_Q|_U$ 전체가 $\Gamma_{\mathrm{FCC}}$의 subgraph 또는 rescaled copy와 graph-isomorphic이어야 한다.

중요하게,
$$
\boxed{
FCC\text{-type skeleton은 } TOTO\text{에서 따라오지 않는다. 별도 조건이다.}
}
$$

9.3 Vacuum candidate

FCC nearest-neighbor graph는 Qaether 공간의 가능한 reference skeleton 후보가 될 수 있다. 그러나 FCC skeleton 자체가 curvature나 order를 결정하지 않는다.
$$
\boxed{
FCC\text{ skeleton} \neq \text{Qaether vacuum}.
}
$$

곡률과 order는 $\mathcal{M}_T, \ \mathcal{M}_O, \ \operatorname{cyc}$ 에 의해 결정된다.

Qaether vacuum candidate는 다음 조건을 만족하는 sector로 정의할 수 있다.
$$
\boxed{
\mathcal{S}_Q^{\mathrm{vac}} := \text{FCC-type adjacency skeleton} + 2T+2O + TOTO + \text{one-Qaether cuboctahedral neighborhood compatibility}.
}
$$

더 구체적으로, sector $U$가 vacuum candidate이면 다음을 만족한다.

1. $G_Q|_U$는 FCC-type local adjacency skeleton이다.
2. 모든 $e \in E_U^{\mathrm{int}}$에 대해 $(t_e, o_e) = (2,2)$이다.
3. 모든 $e \in E_U^{\mathrm{int}}$에 대해 $\operatorname{cyc}_e \sim TOTO$이다.
4. 모든 $v \in V_{U,\mathrm{full}}^{\mathrm{int}}$에 대해 $\operatorname{Lk}_Q(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}}$이다.

그러나 다음은 아직 정의가 아니라 별도의 증명 또는 물리적 postulate가 필요하다.
$$
\boxed{
\text{global } TOTO\text{ decoration의 존재성, 유일성, 안정성, 물리적 vacuum 해석.}
}
$$

---

10. 최종 압축 정의

Qaether 공간 v2.2은 다음 구조이다.

$$
\boxed{
\mathcal{S}_Q := \left( V, E, \ell_P, F_\triangle, \mathcal{M}_T, \mathcal{M}_O, \operatorname{cyc} \right).
}
$$

여기서
- $\boxed{V = \text{set of Qaether units, i.e. minimal units of space}}$
- $\boxed{E = \text{primitive adjacency relations between Qaether units}}$
- $\boxed{\ell_P = \text{calibrated Planck-scale adjacency length}}$
- $\boxed{F_\triangle = \text{selected primitive triangular closures}}$
- $\boxed{\mathcal{M}_T \subseteq \operatorname{Adm}_T = \text{selected four-Qaether } K_4\text{-type closure motifs}}$
- $\boxed{\mathcal{M}_O \subseteq \operatorname{Adm}_O = \text{selected six-Qaether opposite-paired } K_{2,2,2}\text{-type closure motifs}}$
- $\boxed{\operatorname{cyc} := \text{adjacency-local cyclic order data on incident motifs}}$

Regular calibration은
$$
\boxed{
\theta_T = \arccos\left(\frac{1}{3}\right), \qquad \theta_O = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right).
}
$$

Qaether adjacency defect는
$$
\boxed{
K_Q(e) = 2\pi - (t_e \theta_T + o_e \theta_O).
}
$$

Regular calibration 아래에서
$$
\boxed{
K_Q(e) = 0 \iff (t_e, o_e) = (2,2).
}
$$

(2T+2O) adjacency에서
$$
\boxed{
TOTO = \text{adjacency-geometrically defect-free and order defect-free},
}
$$
$$
\boxed{
TTOO = \text{adjacency-geometrically defect-free but order-defective}.
}
$$

하지만 추상 Qaether 공간에서는
$$
\boxed{
TOTO \not\Rightarrow \operatorname{Lk}_Q(v) \cong \Sigma_{\mathrm{co}}, \qquad TOTO \not\Rightarrow FCC.
}
$$

Cuboctahedral/FCC order는 별도의 one-Qaether neighborhood compatibility axiom 또는 존재정리가 필요한 상위 구조이다.

 

Qaether_Motif_Spaces__A_Combinatorial_Effective_Framework_for_Minimal_Space_Unit_Adjacency_Geometry.pdf

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